設(shè)在某變化過程中有兩個(gè)變量x、y,如果對(duì)于x在某一范圍內(nèi)的每一個(gè)確定的值,y都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)，以下是函數(shù)的概念專題強(qiáng)化練習(xí)，希望對(duì)考生復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)有幫助。
一、選擇題
1.(文)(2014新課標(biāo)文，5)設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)的定義域?yàn)镽，且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是()
A.f(x)g(x)是偶函數(shù)
B.|f(x)|g(x)是奇函數(shù)
C.f(x)|g(x)|是奇函數(shù)
D.|f(x)g(x)|是奇函數(shù)
[答案] C
[解析] 本題考查函數(shù)的奇偶性.
由f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，得
f(-x)=-f(x)，g(-x)=g(x).
f(x)g(x)是奇函數(shù)，|f(x)|g(x)是偶函數(shù)，
f(x)|g(x)|是奇函數(shù)，|f(x)g(x)|是偶函數(shù)，選C.
[方法點(diǎn)撥] 函數(shù)奇偶性判定方法：
緊扣函數(shù)奇偶性的定義和函數(shù)的定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱、函數(shù)圖象的對(duì)稱性等對(duì)問題進(jìn)行分析轉(zhuǎn)化，特別注意奇函數(shù)若在x=0處有定義，則一定有f(0)=0，偶函數(shù)一定有f(|x|)=f(x)在解題中的應(yīng)用.
(理)(2015安徽理，2)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又存在零點(diǎn)的是()
A.y=cos x B.y=sin x
C.y=ln x D.y=x2+1
[答案] A
[解析] 考查函數(shù)的奇偶性和函數(shù)零點(diǎn)的概念.
由選項(xiàng)可知，B，C項(xiàng)均不是偶函數(shù)，故排除B，C;A，D項(xiàng)是偶函數(shù)，但D項(xiàng)與x軸沒有交點(diǎn)，即D項(xiàng)的函數(shù)不存在零點(diǎn)，故選A.
2.(文)函數(shù)f(x)=+的定義域?yàn)?)
A.(-3,0] B.(-3,1]
C.(-，-3)(-3,0] D.(-，-3)(-3,1]
[答案] A
[解析] 本題考查了定義域的求法.
由題意知即即
-30，解得x0或x1，選C.
[方法點(diǎn)撥] 1.求解函數(shù)的定義域一般應(yīng)遵循以下原則：
f(x)是整式時(shí)，定義域是全體實(shí)數(shù);f(x)是分式時(shí)，定義域是使分母不為零的一切實(shí)數(shù);f(x)為偶次根式時(shí)，定義域是使被開方數(shù)為非負(fù)值時(shí)的實(shí)數(shù)的集合;對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，且當(dāng)對(duì)數(shù)函數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時(shí)，底數(shù)需大于0且不等于1;零指數(shù)冪的底數(shù)不能為零;若f(x)是由有限個(gè)基本初等函數(shù)運(yùn)算合成的函數(shù)，則其定義域一般是各基本初等函數(shù)的定義域的交集;對(duì)于求復(fù)合函數(shù)定義域的問題，一般步驟是：若已知f(x)的定義域?yàn)閇a，b]，其復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的定義域應(yīng)由不等式ab解出;對(duì)于含字母參數(shù)的函數(shù)求其定義域，根據(jù)具體情況需對(duì)字母參數(shù)進(jìn)行分類討論;由實(shí)際問題確定的函數(shù)，其定義域除使函數(shù)有意義外，還要符合問題的實(shí)際意義.
2.高考中常將指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)或冪函數(shù)(例如分式函數(shù)、含偶次方根的函數(shù))等結(jié)合起來考查，這時(shí)一般應(yīng)從外到內(nèi)逐層剝離解決.
例如，y=，從總體上看是分式，故先由分母不為0得到0，再由偶次方根下非負(fù)得到2-log3x0，即log3x2，最后由對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性及對(duì)數(shù)函數(shù)定義域得到00時(shí)，函數(shù)y=f[f(x)]+1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()
A.1 B.2
C.3 D.4
[答案] D
[解析] 結(jié)合圖象分析.當(dāng)k0時(shí)，f[f(x)]=-1，則f(x)=t1(-，-)或f(x)=t2(0,1).對(duì)于f(x)=t1，存在兩個(gè)零點(diǎn)x1、x2;對(duì)于f(x)=t2，存在兩個(gè)零點(diǎn)x3、x4，共存在4個(gè)零點(diǎn)，故選D.
6.函數(shù)f(x)=log(x2-4)的單調(diào)遞增區(qū)間為()
A.(0，+) B.(-，0)
C.(2，+) D.(-，-2)
[答案] D
[解析] 本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，f(x)=log(x2-4)由y=logu及u=x2-4復(fù)合而成，y=logu在定義域內(nèi)為減函數(shù)，而u=x2-4在(-，-2)上是減函數(shù)，在(2，+)上是增函數(shù)，所以f(x)=log(x2-4)的單調(diào)遞增區(qū)間(-，-2)，選D.
7.(文)已知函數(shù)f(x)=g(x)=log2x，則f(x)與g(x)兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為()
A.4 B.3
C.2 D.1
[答案] C
[解析] 畫出兩函數(shù)的圖象知，當(dāng)01時(shí)，f(x)=00，排除D，故選C.
解法2：利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，由于u=cosx在區(qū)間(-，0)、(0，)上分別為增函數(shù)和減函數(shù)，而y=logu為減函數(shù)，故復(fù)合函數(shù)f(x)=logcosx在區(qū)間(-，0)、(0，)上分別為減函數(shù)和增函數(shù)，故選C.
8.(文)如果我們定義一種運(yùn)算：gh=已知函數(shù)f(x)=2x1，那么函數(shù)f(x-1)的大致圖象是()
[答案] B
[解析] 由定義知，當(dāng)x0時(shí)，2x1，f(x)=2x，當(dāng)x0時(shí)，2x1，f(x)=1，
f(x)=其圖象易作，f(x-1)的圖象可由f(x)的圖象向右平移1個(gè)單位得到，故選B.
[方法點(diǎn)撥] 1.新定義題型要準(zhǔn)確理解把握新定義的含義，發(fā)掘出其隱含條件.
2.恒成立問題要注意恒成立的臨界點(diǎn)及特值法應(yīng)用.
3.分段函數(shù)的單調(diào)性和最值問題，一般是在各段上分別討論.
(理)定義兩種運(yùn)算：ab=，ab=，則函數(shù)f(x)=為()
A.奇函數(shù) B.偶函數(shù)
C.既是奇函數(shù)又為偶函數(shù) D.非奇函數(shù)且非偶函數(shù)
[答案] A
[解析] 本題考查對(duì)新運(yùn)算的理解和應(yīng)用以及函數(shù)奇偶性的判斷方法，難度中等.
根據(jù)所給的運(yùn)算定義得函數(shù)f(x)==，求出函數(shù)的定義域?yàn)閇-2,0)(0,2]，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且x-20，所以函數(shù)f(x)===，易知f(-x)=-f(x)，所以原函數(shù)為奇函數(shù)，故選A.
[易錯(cuò)分析] 本題中常見錯(cuò)誤是不化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式而直接將-x代入，導(dǎo)致選擇錯(cuò)誤答案D.
9.(文)已知f(x)=，則f(2016)等于()
A.-1 B.2
C.0 D.1
[答案] D
[解析] 2016=4035-2，f(2016)=f(-2)=log22=1.
(理)(2016湖南理，3)已知f(x)、g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且f(x)-g(x)=x3+x2+1，則f(1)+g(1)=()
A.-3 B.-1
C.1 D.3
[答案] C
[解析] 本題考查函數(shù)的奇偶性.
分別令x=1和x=-1可得f(1)-g(1)=3且f(-1)-g(-1)=1f(1)+g(1)=1，則
f(1)+g(1)=1，故選C.
10.(2016浙江嘉興測(cè)試一)偶函數(shù)f(x)在[0，+)上為增函數(shù)，若不等式f(ax-1)0，01，f(2)=，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.
[答案] (-1，)
[解析] f(x+3)=f(x)，f(-x)=-f(x)，得f(2)=f(2-3)=f(-1)=-f(1)，又f(1)1，所以f(2)-1，即-1，解得-10)上的奇函數(shù)，令g(x)=af(x)+b，并有關(guān)于函數(shù)g(x)的四個(gè)論斷：
若a0，對(duì)于[-1,1]內(nèi)的任意實(shí)數(shù)m、n(m0恒成立;
函數(shù)g(x)是奇函數(shù)的充要條件是b=0;
aR，g(x)的導(dǎo)函數(shù)g(x)有兩個(gè)零點(diǎn);
若a1，b0，則方程g(x)=0必有3個(gè)實(shí)數(shù)根;
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是________.
[答案]
[解析] g(x)=af(x)+b，=，由圖知對(duì)于f(x)在[-1,1]上任意兩點(diǎn)A(m，f(m))，B(n，f(n))，有kAB=0，又a0恒成立，故正確;
g(x)為奇函數(shù)g(-x)=-g(x)af(-x)+b=-af(x)-b2b=-a[f(-x)+f(x)]，f(x)為奇函數(shù)，f(-x)+f(x)=0，故g(x)為奇函數(shù)b=0，故正確;
g(x)=af (x)，由圖知f(x)在[-c，c]上減、增、減，
f (x)在[-c，c]上取值為負(fù)、正、負(fù)，從而當(dāng)a0時(shí)，g(x)=0在[-c，c]上與x軸必有兩個(gè)交點(diǎn)，又a=0時(shí)，g(x)=0在[-c，c]上恒成立，aR，g(x)在[-c，c]上有兩個(gè)零點(diǎn)，故正確;
取a=1，b=-5，則g(x)=f(x)-5與x軸無交點(diǎn)，方程g(x)=0無實(shí)根，錯(cuò)誤.
三、解答題
16.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，對(duì)任意的實(shí)數(shù)x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+，且f()=0，當(dāng)x時(shí)，f(x)0.
(1)求f(1);
(2)判斷f(x)的增減性并證明.
[解析] (1)令x=y=，得f(1)=f()+f()+=.
(2)f(x)為增函數(shù)，證明：任取x1、x2R，且x2x1，x=x2-x10，則：
y=f(x2)-f(x1)=f(x1+x)-f(x1)=f(x)+f(x1)+-f(x1)=f(x)+=f(x)+f()+=f(x+)，
又0，x+，f(x+)0，
f(x2)f(x1)，f(x)在R上是增函數(shù).
[方法點(diǎn)撥] 抽象函數(shù)的求值與性質(zhì)討論，常結(jié)合條件式通過賦值轉(zhuǎn)化解決，賦值時(shí)要緊扣目標(biāo)進(jìn)行.如判斷奇偶性要?jiǎng)?chuàng)設(shè)條件產(chǎn)生f(-x)與f(x)的關(guān)系式;判斷單調(diào)性，則要在設(shè)出x1
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