二項(xiàng)式定理給出兩個(gè)數(shù)之和的整數(shù)次冪諸如 展開為類似 項(xiàng)之和的恒等式，以下是二項(xiàng)式定理同步檢測，請考生及時(shí)練習(xí)。
1.二項(xiàng)式6的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是()
A.20 B.-20
C.160 D.-160
解析 二項(xiàng)式(2x-)6的展開式的通項(xiàng)是Tr+1=C(2x)6-rr=C26-r(-1)rx6-2r.令6-2r=0，得r=3，因此二項(xiàng)式(2x-)6的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是C26-3(-1)3=-160.
答案 D
2.若二項(xiàng)式n的展開式中第5項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)，則正整數(shù)n的值可能為().
A.6 B.10 C.12 D.15
解析 Tr+1=C()n-rr=(-2)rCx，當(dāng)r=4時(shí)，=0，又nN*，n=12.
答案 C
3.已知8展開式中常數(shù)項(xiàng)為1 120，其中實(shí)數(shù)a是常數(shù)，則展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和是().
A.28 B.38 C.1或38 D.1或28
解析 由題意知C(-a)4=1 120，解得a=2，令x=1，得展開式各項(xiàng)系數(shù)和為(1-a)8=1或38.
答案
4.設(shè)n的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為M，二項(xiàng)式系數(shù)之和為N，若M-N=240，則展開式中x的系數(shù)為().
A.-150 B.150 C.300 D.-300
解析 由已知條件4n-2n=240，解得n=4，
Tr+1=C(5x)4-rr=(-1)r54-rCx4-，
令4-=1，得r=2，T3=150x.
答案 B
.設(shè)aZ，且013，若512 012+a能被13整除，則a=().
A.0 B.1 C.11 D.12
解析 512 012+a=(134-1)2 012+a被13整除余1+a，結(jié)合選項(xiàng)可得a=12時(shí)，512 012+a能被13整除.
答案 D.已知00)與y=|logax|的大致圖象如圖所示，所以n=2.故(x+1)n+(x+1)11=(x+2-1)2+(x+2-1)11，所以a1=-2+C=-2+11=9.
答案 B
二、填空題
. 18的展開式中含x15的項(xiàng)的系數(shù)為________(結(jié)果用數(shù)值表示).
解析 Tr+1=Cx18-rr=(-1)rCrx18-r，令18-r=15，解得r=2.所以所求系數(shù)為(-1)2C2=17.
答案 17
.已知(1+x+x2)n的展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)，nN*且28，則n=________.
解析 n展開式中的通項(xiàng)為
Tr+1=Cxn-rr
=Cxn-4r(r=0,1,2，，8)，
將n=2,3,4,5,6,7,8逐個(gè)檢驗(yàn)可知
n=5.
答案 n=5
.若(cos+x)5的展開式中x3的系數(shù)為2，則sin=________.
解析 由二項(xiàng)式定理得，x3的系數(shù)為Ccos2=2，cos2=，故sin=cos2=2cos2-1=-.
- .設(shè)二項(xiàng)式6(a0)的展開式中x3的系數(shù)為A，常數(shù)項(xiàng)為B.若B=4A，則a的值是________.
解析 由Tr+1=Cx6-rr=C(-a)rx6-r，
得B=C(-a)4，A=C(-a)2，B=4A，a0，a=2.
答案 2三、解答題
.已知二項(xiàng)式n的展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和為256.
(1)求n;(2)求展開式中的常數(shù)項(xiàng).
解 (1)由題意，得C+C+C++C=256，即2n=256，解得n=8.
(2)該二項(xiàng)展開式中的第r+1項(xiàng)為Tr+1=C()8-rr=Cx，令=0，得r=2，此時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為T3=C=28.
.已知等差數(shù)列2,5,8，與等比數(shù)列2,4,8，，求兩數(shù)列公共項(xiàng)按原來順序排列構(gòu)成新數(shù)列{Cn}的通項(xiàng)公式.
等差數(shù)列2,5,8，的通項(xiàng)公式為an=3n-1，
等比數(shù)列2,4,8，的通項(xiàng)公式為bk =2k ，令3n-1=2k ，nN*，k N*，
即n==
=，
當(dāng)k =2m-1時(shí)，mN*，
n=N*，
Cn=b2n-1=22n-1(nN*).
.已知(a2+1)n展開式中的各項(xiàng)系數(shù)之和等于5的展開式的常數(shù)項(xiàng)，而(a2+1)n的展開式的系數(shù)最大的項(xiàng)等于54，求a的值.
解 5的展開式的通項(xiàng)為Tr+1=C5-rr=5-rCx，令20-5r=0，得r=4，故常數(shù)項(xiàng)T5=C=16.又(a2+1)n展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和等于2n，由題意知2n=16，得n=4.由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)知，(a2+1)n展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是中間項(xiàng)T3，故有Ca4=54，解得a=.
.已知n，(1)若展開式中第5項(xiàng)，第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的系數(shù);
(2)若展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于79，求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng).
解 (1)C+C=2C，n2-21n+98=0.
n=7或n=14，
當(dāng)n=7時(shí)，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是T4和T5.
T4的系數(shù)為C423=，
T5的系數(shù)為C324=70，
當(dāng)n=14時(shí)，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是T8.
T8的系數(shù)為C727=3 432.
(2)C+C+C=79，n2+n-156=0.
n=12或n=-13(舍去).設(shè)Tk+1項(xiàng)的系數(shù)最大，
12=12(1+4x)12，
9.410.4，k=10.
展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T11，
T11=C2210x10=16 896x1
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