平面內(nèi)，到定點(diǎn)與定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，下面是數(shù)學(xué)網(wǎng)整理的拋物線同步提升檢測(cè)，請(qǐng)考生及時(shí)練習(xí)。
一、選擇題
1.(宜春模擬)動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)A(0,2)的距離比它到直線l:y=-4的距離小2,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為()
(A)y2=4x (B)y2=8x
(C)x2=4y (D)x2=8y
2.若拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)在圓x2+y2+2x-3=0上,則p=()
(A) (B)1 (C)2 (D) 3
3.拋物線y=-2x2上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1,則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是()
(A) (B) (C)- (D)-
4.正三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于原點(diǎn),另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線y2=4x上,則這個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)為()
(A)4 (B)8 (C)8 (D)16
5.已知拋物線y2=2px(p0),過(guò)其焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),若線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2,則該拋物線的準(zhǔn)線方程為()
(A)x=1 (B)x=-1
(C)x=2 (D)x=-2
6.直線l過(guò)拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)，且交拋物線于A，B兩點(diǎn)，交其準(zhǔn)線于C點(diǎn)，已知|AF|=4，=3，則p=()
(A)2 (B) (C) (D)4
7.(西安模擬)若雙曲線-=1(a0)的左右焦點(diǎn)分別為F1,F2,線段F1F2被拋物線x=y2的焦點(diǎn)分成3∶2的兩段,則此雙曲線的離心率為()
(A) (B) (C) (D)
8.(能力挑戰(zhàn)題)若已知點(diǎn)Q(4,0)和拋物線y=x2+2上一動(dòng)點(diǎn)P(x,y),則y+|PQ|最小值為()
(A)2+2 (B)11
(C)1+2 (D)6
二、填空題
9.以拋物線x2=16y的焦點(diǎn)為圓心,且與拋物線的準(zhǔn)線相切的圓的方程為 .
10.(巢湖模擬)拋物線y=x2的焦點(diǎn)與雙曲線-=1的上焦點(diǎn)重合,則m=.
11.(銅川模擬)已知點(diǎn)P是拋物線y2=4x上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P在y軸上的射影是M,點(diǎn)A的坐標(biāo)是(4,a),則當(dāng)|a|4時(shí),|PA|+|PM|的最小值是.
三、解答題
12.已知圓心為P的動(dòng)圓與直線y=-2相切,且與定圓x2+(y-1)2=1內(nèi)切,記點(diǎn)P的軌跡為曲線E.
(1)求曲線E的方程.
(2)設(shè)斜率為2的直線與曲線E相切,求此時(shí)直線到原點(diǎn)的距離.
13.(寶雞模擬)已知拋物線C:y2=2px(p0)過(guò)點(diǎn)A(1,-2).
(1)求拋物線C的方程,并求其準(zhǔn)線方程.
(2)是否存在平行于OA(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的直線l,使得直線l與拋物線C有公共點(diǎn),且直線OA與l的距離等于?若存在,求出直線l的方程;若不存在,說(shuō)明理由.
14.(能力挑戰(zhàn)題)如圖,曲線C1是以原點(diǎn)O為中心,F1,F2為焦點(diǎn)的橢圓的一部分,曲線C2是以原點(diǎn)O為頂點(diǎn),F2為焦點(diǎn)的拋物線的一部分,A,B是曲線C1和C2的交點(diǎn)且AF2F1為鈍角,若|AF1|=,|AF2|=.
(1)求曲線C1和C2的方程.
(2)設(shè)點(diǎn)C,D是曲線C2所在拋物線上的兩點(diǎn)(如圖).設(shè)直線OC的斜率為k1,直線OD的斜率為k2,且k1+k2=,證明:直線CD過(guò)定點(diǎn),并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).
答案解析
1.【解析】選D.由已知得,動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)A(0,2)的距離與它到直線l:y=-2的距離相等,根據(jù)拋物線的定義得,該軌跡為以A(0,2)為焦點(diǎn),y=-2為準(zhǔn)線的拋物線,且=2,p=4.又焦點(diǎn)在y軸上,開口向上,所以所求方程為:x2=8y.
2.【解析】選C.由已知(,0)在圓x2+y2+2x-3=0上,所以有+2-3=0,
即p2+4p-12=0,解得p=2或p=-6(舍去).
3.【解析】選D.由拋物線y=-2x2得x2=-y,
所以其焦點(diǎn)為F(0,-),
設(shè)點(diǎn)M縱坐標(biāo)為y0,
由拋物線定義得-y0=1,得y0=-.
【方法技巧】求解拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和到準(zhǔn)線的距離問(wèn)題的技巧
拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離經(jīng)常相互轉(zhuǎn)化:(1)若求點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離,則可聯(lián)想點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離;(2)若求點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離,則經(jīng)常聯(lián)想點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離.解題時(shí)一定要注意.
4.【解析】選B.設(shè)其中一個(gè)頂點(diǎn)為(x,2),∵是正三角形,=tan 30=,即=,
x=12.
除原點(diǎn)外的另外兩個(gè)頂點(diǎn)是(12,4)與(12,-4),
這個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)為8.
5.【解析】選B.方法一:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由題意知直線AB的方程為:y=x-,與y2=2px聯(lián)立得:y2-2py-p2=0,y1+y2=2p,
由題意知:y1+y2=4,
p=2,拋物線的方程為y2=4x,
其準(zhǔn)線方程為x=-1,故選B.
方法二:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
由題意得y1+y2=4,=2px1,=2px2,
兩式相減得:kAB====1,p=2,
拋物線的方程為y2=4x,其準(zhǔn)線方程為x=-1.
6.【解析】選C.過(guò)A，B分別作準(zhǔn)線的垂線交準(zhǔn)線于E，D.因?yàn)閨AF|=4，=3，所以|AE|=4，|CB|=3|BF|，且|BF|=|BD|，設(shè)|BF|=|BD|=a，則|BC|=3a，根據(jù)三角形的相似性可得=，即=，解得a=2，所以=，即==，
所以p==，選C.
7.【解析】選D.由已知得F1(-c,0),F2(c,0),
拋物線x=y2,即y2=2bx的焦點(diǎn)F(,0),
依題意=.
即=,得:5b=2c25b2=4c2,
又b2=c2-a2,25(c2-a2)=4c2,
解得c=a.
故雙曲線的離心率為=.
8.【解析】選D.拋物線y=+2的準(zhǔn)線是y=1,焦點(diǎn)F(0,3).用拋物線的定義:設(shè)P到準(zhǔn)線的距離為d,
則y+|PQ|=d+1+|PQ|=|PF|+|PQ|+1|FQ|+1=5+1=6,(當(dāng)且僅當(dāng)F,Q,P共線時(shí)取等號(hào))
故y+|PQ|的最小值是6.
9.【解析】拋物線x2=16y的焦點(diǎn)為(0,4),準(zhǔn)線方程為y=-4,故圓的圓心為(0,4),又圓與拋物線的準(zhǔn)線相切,所以圓的半徑r=4-(-4)=8,所以圓的方程為x2+(y-4)2=64.
答案:x2+(y-4)2=64
10.【解析】因?yàn)閽佄锞�y=x2的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=16y,焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,4),又因?yàn)殡p曲線-=1的上焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,),依題意有4=,解得m=13.
答案:13
【誤區(qū)警示】本題易出現(xiàn)y=x2的焦點(diǎn)為(0,)的錯(cuò)誤,原因是對(duì)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程記憶不準(zhǔn)確.
11.【解析】由y2=4x得,拋物線的焦點(diǎn)F(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1,
由|a|4知點(diǎn)A(4,a)在拋物線的外部,
要使|PA|+|PM|最小,只需|PA|+|PF|最小,這只需點(diǎn)A,P,F三點(diǎn)共線即可,此時(shí):(|PA|+|PF|)min==,所以:|PA|+|PM|的最小值為(|PA|+|PF|)min-1=-1.
答案:-1
12.【解析】(1)由題意,得點(diǎn)P到直線y=-1和點(diǎn)(0,1)距離相等,
點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)(0,1)為焦點(diǎn),以直線y=-1為準(zhǔn)線的拋物線,
曲線E的方程是x2=4y.
(2)設(shè)斜率為2的直線方程為y=2x+m,
由消去y,得x2-8x-4m=0,
由直線與曲線E相切,得=(-8)2+16m=0,
得m=-8,
直線方程為y=2x-8,即2x-y-8=0.
原點(diǎn)到直線的距離為d==.
13.【解析】(1)將(1,-2)代入y2=2px,得(-2)2=2p1,
所以p=2.故所求的拋物線C的方程為y2=4x,其準(zhǔn)線方程為x=-1.
(2)存在.假設(shè)存在符合題意的直線l,
其方程為y=-2x+t.
由得y2+2y-2t=0.
∵直線l與拋物線C有公共點(diǎn),
=4+8t0,解得t-.
由直線OA與l的距離d=,可得=,
解得t=1.
∵-1[-,+),1[-,+).
符合題意的直線l存在,其方程為2x+y-1=0.
14.【解析】(1)設(shè)A(xA,yA),F1(-c,0),F2(c,0),曲線C1所在橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a,則2a=|AF1|+|AF2|=6.
又由已知及圓錐曲線的定義得:
(xA-c)2+=,(xA+c)2+=,xA+c=,
得:(xA-c)2=.又∵AF2F1為鈍角,
xA-c=,故xA=,c=1,
即曲線C1的方程為+=1(-3),
曲線C2的方程為y2=4x(0).
(2)設(shè)直線OC的方程為:y=k1x,
由
得(k1x)2-4x=0,即C(,),
同理得:D(,),
直線CD的方程為:y-=(x-),即y=x+2,
當(dāng)x=0時(shí),恒有y=2,即直線CD過(guò)定點(diǎn)(0,2).
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