從某種角度看數(shù)學(xué)屬于形式科學(xué)的一種，下面是數(shù)學(xué)網(wǎng)整理的定直線(xiàn)問(wèn)題專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)，請(qǐng)考生認(rèn)真練習(xí)。

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)定點(diǎn)C(0，p)作直線(xiàn)與拋物線(xiàn)x2=2py(p0)相交于A，B兩點(diǎn)。

(1)若點(diǎn)N是點(diǎn)C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，求△ANB面積的最小值;

(2)是否存在垂直于y軸的直線(xiàn)l，使得l被以AC為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)恒為定值?若存在，求出l的方程;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

破題切入點(diǎn)：假設(shè)符合條件的直線(xiàn)存在，求出弦長(zhǎng)，利用變量的系數(shù)恒為零求解。

解：方法一：

(1)依題意，點(diǎn)N的坐標(biāo)為N(0，-p)，

可設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，

直線(xiàn)AB的方程為y=kx+p，

與x2=2py聯(lián)立得：

消去y得x2-2pkx-2p2=0。

由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=2pk，x1x2=-2p2。

于是S△ABN=S△BCN+S△ACN=2p|x1-x2|

=p|x1-x2|=p

=p=2p2，

當(dāng)k=0時(shí)，(S△ABN)min=2p2。

(2)假設(shè)滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)l存在，其方程為y=a，

AC的中點(diǎn)為O，l與以AC為直徑的圓相交于點(diǎn)P，Q，PQ的中點(diǎn)為H，

則OHPQ，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為。

∵OP=AC==，

OH==|2a-y1-p|，

PH2=OP2-OH2

=(y+p2)-(2a-y1-p)2

=(a-)y1+a(p-a)，

PQ2=(2PH)2=4[(a-)y1+a(p-a)]。

令a-=0，得a=，

此時(shí)PQ=p為定值，故滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)l存在，

其方程為y=，即拋物線(xiàn)的通徑所在的直線(xiàn)。

方法二：

(1)前同方法一，再由弦長(zhǎng)公式得

AB=|x1-x2|=2p，

又由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式得d=。

從而S△ABN=dAB=2p=2p2。

當(dāng)k=0時(shí)，(S△ABN)min=2p2。

(2)假設(shè)滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)l存在，其方程為y=a，

則以AC為直徑的圓的方程為

(x-0)(x-x1)-(y-p)(y-y1)=0，

將直線(xiàn)方程y=a代入得x2-x1x+(a-p)(a-y1)=0，

則=x-4(a-p)(a-y1)

=4[(a-)y1+a(p-a)]。

設(shè)直線(xiàn)l與以AC為直徑的圓的交點(diǎn)為P(x3，y3)，Q(x4，y4)，

則有PQ=|x3-x4|=2。

令a-=0，得a=，

此時(shí)PQ=p為定值，故滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)l存在，

其方程為y=，即拋物線(xiàn)的通徑所在的直線(xiàn)。

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本文來(lái)自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/gaokao/980930.html

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