青浦區(qū)高考數(shù)學一模卷（滿分150分，答題時間120分鐘）學生注意：1.本試卷包括試題紙和答題紙兩部分.2.在試題紙上答題無效，必須在答題紙上的規(guī)定位置按照要求答題.3.可使用符合規(guī)定的計算器答題.一、填空題（本題滿分56分）本題共有14題，考生應在答題紙相應編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個空格填對得4分，否則一律得零分.在直角坐標系內(nèi)，到點（1,0）和直線距離相等的點的軌跡方程是 ．【解析】（性理解水平/），該的軌跡是拋物線，其中，軌跡方程為.已知全集U=R，集合,且R，則實數(shù)a的取值范圍是 ．【解析】（探究性理解水平/集合的并集、補集運算，集合的描述法）由，，則易得.各項為實數(shù)的等比數(shù)列中，則 ．【解析】（探究性理解水平/等比數(shù)列的，等比中項）由等比數(shù)列的性質(zhì)得：,.已知點，則向量在方向上的投影為 ．【解析】(探究性理解水平/平面向量) 依題意，,設與夾角為，，在方向上的投影為.已知，且，則 ．【解析】(探究性理解水平/誘導公式) ，則，，所以.已知圓錐底面圓的周長為4π，側(cè)棱與底面所成角的大小為，則該圓錐的體積是 ．【解析】(探究性理解水平/圓錐的體積)設底面圓的半徑為r，高為h，側(cè)棱與底面所成角為，則，又， .7. (1月青浦)要使函數(shù)在區(qū)間[2,3]上存在反函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是或【解析】（探究性理解水平/反函數(shù)）函數(shù)在區(qū)間上存在反函數(shù)，在區(qū)間單調(diào)，或，即或.已知，則實數(shù)q的取值范圍是 ．【解析】（解釋性理解水平/極限的計算）因為，故，故，則的取值范圍為.已知定義域為R上的偶函數(shù)f(x)在上是減函數(shù)，且，則不等式的解集為 ．【解析】（探究性理解水平/函數(shù)的奇偶性、性）由題意在上是增函數(shù)，，，所以不等式的解集為.10. (1月青浦)已知集合，從A的非空子集中任取一個，該集合中所有元素之和為奇數(shù)的概率是 ．【解析】（探究性理解水平/）A中有5個元素，其子集的個數(shù)為①集合中含有1個元素種；②個種；③個元素種；④個元素種；⑤個元素1種，故的概率為：.點P在上，若,則【解析】(探究性理解水平/雙曲線的)由題意知，分別為雙曲線的左、右焦點，則點P在雙曲線的右支上，根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)，有，所以.12. (1月青浦)已知扇形的周長為定值l，寫出扇形的面積y關于其半徑x的函數(shù)解析式 ．【解析】（探究性理解水平/扇形周長、面積公式）由題意扇形的半徑為x，弧長為，面積為，解得，故13. (1月青浦)**已知直角坐標平面上任意兩點，定義為兩點的“非常距離”.當平面上動點到定點的距離滿足時，則的取值范圍是 ．【解析】（探究性理解水平/新定義）由題意可知點M在以A為圓心，為半徑的圓周上，第13題圖由新定義當時，；當時，，故14. (1月青浦)**若不等式對任意自然數(shù)n恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是 ．【解析】（探究性理解水平/不等式，求參數(shù)）當為奇數(shù)時，不等式為，則當為偶數(shù)時，不等式為，，即.綜上，.二、選擇題（本大題滿分20分）本大題共有4題，每題有且只有一個正確答案，考生應在答題紙的相應編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得5分，否則一律得零分.15.指數(shù)函數(shù)在R上是減函數(shù)，則函數(shù)在R上的單調(diào)性為（）A單調(diào)遞增 B單調(diào)遞減C在上遞減，在上遞增 D在上遞增，在上遞減【解析】（探究性理解水平/函數(shù)的單調(diào)性）因為指數(shù)函數(shù)R上減函數(shù)，，，故函數(shù)開口向下，故在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減，故選D.16. (1月青浦)直線的傾斜角的取值范圍是（）A B. C. D.【解析】（探究性理解水平/）①當時，斜率不存在，即傾斜角為；②當時，直線的斜率，即直線的傾斜角為.當時，直線的斜率，即直線的傾斜角為直線的傾斜角范圍為.17. (1月青浦)設等差數(shù)列的前項和為且滿足則中最大的項為（）A B. C. D.【解析】(探究性理解水平/等差數(shù)列前n項和) 由于，所以可得.所以又且，所以在中最大的是，故選C.18. (1月青浦)**對于函數(shù)，若在定義域內(nèi)存在實數(shù)x，滿足，稱為“局部奇函數(shù)”，若為定義域R上的“局部奇函數(shù)”，則實數(shù)m的取值范圍是（）A B.C. D.【解析】(探究性理解水平/函數(shù)奇偶性新定義）為滿足，即，令，則，即在t>0有解，再令，則在有解.函數(shù)關于h的對稱軸為h=m，①當時，，，解得；②當時，則，即，解得.綜合①②，可知.故選.三、解答題（本大題滿分74分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.19. (本題滿分12分)本題共2小題,第(1)小題6分,第(2)小題6分.在△中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，向量，,且.（1）求角C的大小（2）若,且，求c的邊長.【解】(探究性理解水平/向量的數(shù)量積二倍角公式余弦定理）（1），，…………………2分，,……………………………4分且，……6分（2）, ………………………………8分又 ……11分 ……………………………………………………………12分20. (1月青浦) (本題滿分14分)本題共2小題,第(1)小題6分,第(2)小題8分.如圖，在直三棱柱中，,.（1）求證：平面;（）若D為的中點，求異面直線與所成的角的大小.【解】(探究性理解水平/空間線面和異面直線的夾角）（1）由題意知四邊形是正方形，故.…………… 2分由得.又,所以，故 ………………………………………………………… 4分從而得.……………………………………………… 6分(第20題圖)（2）解法一：在線段上取中點M，連結(jié)OM ∴直線OM與所成角等于直線AD與所成的角. ………………………………… 8分設，在△中，, ……………………………………………………………11分 …………………………………13分，異面直線AD與所成角的大小是. …14分解法二：設，以為坐標原點建立空間直角坐標系可得，，，，， ………………………………………………………10分直線AD與所成的角為，向量的夾角為 ……………………………………12分又，，即異面直線AD與所成角的大小是.……………………………14分（說明：兩種方法難度相當）21. (1月青浦) **(本題滿分14分)本題共2小題,第(1)小題6分,第(2)小題8分.已知數(shù)列的前n項和為，且對一切正整數(shù)都成立.（1）求的值；（2）設，數(shù)列的前n項和為，當n為何值時，最大？并求出的最大值.【解】(探究性理解水平/等差數(shù)列的前項和）（1）由已知數(shù)列的前n項和為，且對一切正整數(shù)n都成立即解方程組得或或. ……………………… 各2分（2） …………………………………… 7分又，當時，作差得…………… 10分令，則可知是首項為1，公差為的等差數(shù)列…………………………… 11分解法一：…………………………… 13分由計算器可得，所以n=7時的最大值為…… 14分解法二：…… 14分解法三：也可以用兩邊夾的方法計算得到 ………………………………… 14分22. (1月青浦) **(本題滿分16分)本題共3小題,第(1)小題4分,第(2)小題8分，第()小題4分.橢圓C：的長軸是短軸的兩倍，點在橢圓上.不過原點的直線l與橢圓相交于A、B兩點，設直線OA、l、OB的斜率分別為、、，且、、恰好構(gòu)成等比數(shù)列，記△面積為S.（1）求橢圓C的方程.（2）判斷是否為定值？若是，求出這個值；若不是，請說明理由？（3）求S的最大值.(探究性理解水平/橢圓的方程直線與橢圓的位置關系等數(shù)列的性質(zhì)基本不等式）（1）由題意可知且，……………………………… 2分所以橢圓的方程為……………………………… 4分（2）設直線的方程為，由……………………………… 5分 且……………………………… 6分 恰好構(gòu)成等比數(shù)列.=即 ……………………………… 8分此時，即 ……………………………… 9分== ……………………………… 11分所以是定值為5. ……………………………… 12分（3） ……………………………… 13分== ……………………………… 14分=當且僅當即時，的最大值為1. ……………………………… 16分23. (1月青浦)**(本題滿分18分)本題共3小題,第(1)小題4分,第(2)小題6分，第()小題8分.設集合.（1）已知函數(shù)，求證：（2）對于（1）中的函數(shù)，求證：存在定義域為的函數(shù)，使得對任意成立.（3）對于任意，求證：存在定義域為的函數(shù)，使得對任意成立.【證明】(探究性理解水平/函數(shù)的）（1）由可得，，……………………… 3分因此.又，所以. ……………………………… 4分（2）由=，設函數(shù)，當時，≥2=2. …………………………… 8分則==. ……………………………10分即存在定義域為的函數(shù)，使得等式對任意成立.（3）當時，設=,則，可得，解得， ……………………………12分設函數(shù)=，當時，≥2=2. ………13分則.……………………14分當時，≤，==………16分當時，>，=. ……………18分即存在定義域為的函數(shù)，使得等式對任意成立.上海市青浦區(qū)屆高三一模數(shù)學試卷（word版，含解析）
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