【導語】聞雞起舞成就拼搏勁旅師，天道酬勤再現(xiàn)輝煌王者風。擁有夢想只是一種智力，實現(xiàn)夢想才是一種能力。揮灑斗志，成就夢想。臥薪嘗膽，嘗破繭而觸痛。破釜沉舟，圓金色六月夢。逍遙右腦為你整理了《高三數(shù)學期中模擬試卷》，助你金榜題名！
【一】
第Ⅰ卷
一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，計70分，請將答案填入答題區(qū))
1.已知全集，集合，，
則
2．復數(shù)的實部為
3．一個盒子里裝有標號為1，2，3，4，5的5張標簽，隨機地抽取了3張標簽，則取出的3張標簽的標號的平均數(shù)是3的概率為▲．
4．執(zhí)行如圖所示的流程圖，會輸出一列數(shù)，則這列數(shù)中的第3個數(shù)是▲．
5.在一個容量為5的樣本中，數(shù)據(jù)均為整數(shù)，已測出其平均數(shù)為10，但墨水污損了兩個數(shù)據(jù)，其中一個數(shù)據(jù)的十位數(shù)字1未被污損，即9，10，11，1，那么這組數(shù)據(jù)的方差可能的最大值是．
6.已知(、為正數(shù))，若，則的最小值是_____．
7.若等差數(shù)列的公差為，且是與的等比中項，則該數(shù)列的前項和取最小值時，的值等于
8.設a∈R，函數(shù)是偶函數(shù)，若曲線)的一條切線的斜率是32，則切點的橫坐標為________．
9．已知一個圓錐底面的面積為2，側面積為4，則該圓錐的體積為▲．
10．已知雙曲線（a＞0，b＞0）的左、右頂點分別為A、B兩點，點C（0，），若線段AC的垂直平分線過點B，則雙曲線的離心率為．
11．在△ABC中，A=30°，AB=3，，且，則=．
12.已知點，點，點在直線上，若滿足等式的點有兩個，則實數(shù)的取值范圍是．
13.已知動點滿足：，則的最小值為.
14、已知函數(shù)，且對于任意都有恒成立。則實數(shù)的取值范圍是▲．
解答題(本大題共6小題，共90分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。)
15．．（本小題滿分14分）
已知函數(shù)．
�。�1）當時，求的值域；
�。�2）若△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足，求的值．
16．（本小題滿分14分）
如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，點E、F分別是棱PC和PD的中點.
�。�1）求證：EF∥平面PAB；
�。�2）若AP=AD，且平面PAD平面ABCD，證明：平面PAD平面PCD.
17．（本小題滿分14分）
設橢圓（）的焦點在軸上.
（1）若橢圓的離心率，求橢圓的方程；
（2）設F1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點，P為直線x+y=與橢圓E的一個公共點;
直線F2P交y軸于點Q，連結F1P.問當a變化時，與的夾角是否為定值，若是定值，求出該定值；若不是定值，說明理由.
18．（本小題滿分16分）
（2）如果要求六根支條的長度均不小于2cm，每個菱形的面積為130cm2，那么做這樣一個窗芯至少需要多長的條形木料（不計榫卯及其它損耗）？
19．（本小題滿分16分）
已知數(shù)列的各項都為正數(shù)，且對任意，都有(為常數(shù)).
�。�1）若，且，成等差數(shù)列，求數(shù)列的前項和；
�。�2）若，求證：成等差數(shù)列；
�。�3）已知，(為常數(shù)),是否存在常數(shù)，使得對任意
都成立？若存在.求出；若不存在，說明理由.
20．（本小題滿分16分）
已知函數(shù)，
�。�1）函數(shù)，其中為實數(shù)，
�、偾蟮闹担�
�、趯�，有，求的最大值；
�。�2）若（為正實數(shù)），試求函數(shù)與在其公共點處是否存在公切線，若存在，求出符合條件的的個數(shù)，若不存在，請說明理由．
江蘇省丹陽高級中學
2018~2018學年度第二學期期中考試
高三數(shù)學附加題（第Ⅱ卷）
21．B．[選修42：矩陣與變換]（本小題滿分10分）
若點在矩陣對應變換的作用下得到的點為，求矩陣的逆矩陣.
C．[選修44：坐標系與參數(shù)方程]（本小題滿分10分）
在直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，圓的極坐標方程為.
�。�1）求出圓的直角坐標方程；
�。�2）已知圓與軸相交于，兩點，若直線：上存在點使得，求實數(shù)的最大值.
22．（本小題滿分10分）
如圖，在直三棱柱中，已知，，，.是線段的中點.
�。�1）求直線與平面所成角的正弦值；
�。�2）求二面角的大小的余弦值.
23．（本小題滿分10分）
某電視臺推出一檔游戲類綜藝節(jié)目，選手面對1?5號五扇大門，依次按響門上的門鈴，門鈴會播放一段音樂，選手需正確回答這首歌的名字，回答正確，大門打開，并獲得相應的家庭夢想基金，回答每一扇門后，選手可自由選擇帶著目前的獎金離開，還是繼續(xù)挑戰(zhàn)后面的門以獲得更多的夢想基金，但是一旦回答錯誤，游戲結束并將之前獲得的所有夢想基金清零；整個游戲過程中，選手有一次求助機會，選手可以詢問親友團成員以獲得正確答案．1?5號門對應的家庭夢想基金依次為3000元、6000元、8000元、12000元、24000元（以上基金金額為打開大門后的累積金額，如第三扇大門打開，選手可獲基金總金額為8000元）；設某選手正確回答每一扇門的歌曲名字的概率為pi（i=1，2，…，5），且pi=（i=1，2，…，5），親友團正確回答每一扇門的歌曲名字的概率均為，該選手正確回答每一扇門的歌名后選擇繼續(xù)挑戰(zhàn)后面的門的概率均為；
�。�1）求選手在第三扇門使用求助且最終獲得12000元家庭夢想基金的概率；
�。�2）若選手在整個游戲過程中不使用求助，且獲得的家庭夢想基金數(shù)額為X（元），求X的分布列和數(shù)學期望．
參考答案
1.
2.0
3.
4.30.
5.32.8
6.3＋22
7.6
8.ln2
9.
10.
11.?6
12.
13.
14.或
15.解：（1）∵f（x）=2sinxcosx?3sin2x?cos2x+3
=sin2x?3?+3=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，
∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[，1]，
∴f（x）=2sin（2x+）+1∈[0，3]；
（2）∵=2+2cos（A+C），∴sin（2A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），
∴sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），
∴?sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA，即sinC=2sinA，
由正弦定理可得c=2a，又由=可得b=a，
由余弦定理可得cosA===，
∴A=30°，由正弦定理可得sinC=2sinA=1，C=90°，由三角形的內(nèi)角和可得B=60°，
∴f（B）=f（60°）=2
16.（1）證明：因為點E、F分別是棱PC和PD的中點，所以EF∥CD，又在矩形ABCD中，AB∥CD，所以EF∥AB，---------------------3分
又AB面PAB，EF面PAB，所以EF∥平面PAB.--------------6分
�、谱C明：在矩形ABCD中，AD⊥CD，又平面PAD平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD面ABCD，所以CD平面PAD，--------------10分
又AF面PAD，所以CDAF.①因為PA=AD且F是PD的中點，所以AFPD，②
由①②及PD面PCD，CD面PCD，PD∩CD=D，所以AF平面PCD.----------14分
17.解：（1）由題知，由得
a4-25a2+100=0，故a2=5或20（舍），故橢圓E的方程為；----------------------6分
（2）設P(x0，y0)，F(xiàn)1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0)，則c2=2a2-8，
聯(lián)立得8x2-4x+a4=0，
即，故，，------------------------------------------10分
直線PF2的方程為，令x=0，則，即點Q的坐標為，
故，（9分）
故---------------13分
故與的夾角為定值.------------------------------------------------------------------------14分
18.解．（1）由題意，水平方向每根支條長為cm，
豎直方向每根支條長為cm，------------------------------------2分
菱形的邊長為cm．------------------------------------4分
從而，所需木料的長度之和L=
=cm．-----------------------------------6分
�。�2）由題意，，即，又由可得．--------------------8分
所以．
令，其導函數(shù)在上恒成立，--------------------10分
故在上單調(diào)遞減，所以可得．--------------------12分
則
=．
因為函數(shù)和在上均為增函數(shù)，
所以在上為增函數(shù)，--------------------14分
故當，即時L有最小值．
答：做這樣一個窗芯至少需要cm長的條形木料．-------------------16分
19.解：（1）當時，，
，數(shù)列為等比數(shù)列，設公比為，………………2分
則成等差數(shù)列，
，即，
，，，………………4分
，數(shù)列的前項和；………………5分
�。�2）當時，，
令，則，
，
，，
成等差數(shù)列；………………8分
�。�3）存在常數(shù)使得對任意都成立.………9分
證明如下：令，
對任意，都有，①，為常數(shù)，
，②
�、冖俚茫海�
，
，
即:，亦即：，
數(shù)列為常數(shù)列，，，………………14分
，，，
令，則，
，，………………15分
，
即存在常數(shù)使得對任意都成立.……16分
20.解:（1）由得，
�、�-------------------------------------------------------------3分
�、谟洠瑒t，
記，則，當時，
i當時，，，即在上是增函數(shù)，
又，則，，
即在上是增函數(shù)，又，則，
即在上是增函數(shù)，故，；----------------------6分
ii當時，則存在，使得在小于0,
即在上是減函數(shù)，則，，即在上是減函數(shù)，又，則，，又，
即在上是減函數(shù)，故，，矛盾！…---------…8分
故的最大值為；……9分
（3）設函數(shù)與在其公共點處存在公切線，
則…-------------------------------------------------…11分，
由②得，即代入①得，----……13分，
記，則，
得在上是增函數(shù)，上是減函數(shù)，
又，
得符合條件的的個數(shù)為．……--------------------16分（未證明小于0的扣2分）
21.解：由題意知，，即----------------------2分
所以解得從而-----------6分
由，解得.----------------------------------------10分
解：（1）由得，即，
即圓的標準方程為.-----------------4分
�。�2）：的方程為，而為圓的直徑，
故直線上存在點使得的充要條件是直線與圓有公共點，-----------------6分
故，于是，實數(shù)的最大值為.----------------10分
22.解：因為在直三棱柱中，，所以分別以、、所在的直線為軸、軸、軸，建立空間直角坐標系，
則,
因為是的中點，所以，……………………………………………………2分
�。�1）因為，設平面的法向量，
則，即，取，
所以平面的法向量，而，所以，
所以直線與平面所成角的正弦值為；…………………………………5分
�。�2），，設平面的法向量，
則，即，取，平面的法向量，
所以，
二面角的大小的余弦值．……………………………………………10分
23.解：設事件“該選手回答正確第i扇門的歌曲名稱”為事件Ai，“使用求助回答正確歌曲名稱”為事件B，事件“每一扇門回答正確后選擇繼續(xù)挑戰(zhàn)下一扇門”為事件C；則，，，，，P（B）=，P（C）=…
（1）設事件“選手在第三扇門使用求助且最終獲得12000元家庭夢想基金”為事件A，則：
A=A1CA2CBCA4=×=
∴選手在第三扇門使用求助且最終獲得12000元家庭夢想基金的概率為；---------------4分
（2）X的所有可能取值為：0，3000，6000，8000，12000，24000；…
P（X=3000）=P（A1）==；
P（X=6000）=P（A1CA2）==；
P（X=8000）=P（A1CA2CA3）==；
P（X=12000）=P（A1CA2CA3CA4）==；
P（X=24000）=P（A1CA2CA3CA4CA5）==；…
P（X=0）=P（）+P（A1C）+P（A1CA2C）+P（A1CA2CA3C）+P（A1CA2CA3CA4C）==；…
∴X的分布列為：
X03000600080001200024000
P
-------------------------------------------------------------------8分
∴EX=0×+3000×+6000×+8000×+12000×+24000×
=1250+1000+500+250+250=3250（元）
∴選手獲得的家庭夢想基金數(shù)額為X的數(shù)學期望為3250（元）---------------------------------10分
【二】
一、選擇題(每小題4分，共40分)
1.數(shù)列的一個通項公式是（）
A.B.C.D.
2.已知，則數(shù)列是（）
A.遞增數(shù)列B.遞減數(shù)列C.常數(shù)列D.擺動數(shù)列
3.數(shù)列的通項公式為，則數(shù)列各項中最小項是（）A.第4項B.第5項C.第6項D.第7項
4.設是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若=80，則=
�。ˋ）120（B）105（C）90（D）75
5.等差數(shù)列中，前項，則的值為
A.B.C.D.6
6.已知某等差數(shù)列共有10項，其奇數(shù)項之和為15，偶數(shù)項之和為30，則其公差為（）
A.3B.4C.5D.2
7.等差數(shù)列中，（）
A．24B．22C．20D．-8
8.已知等差數(shù)列中，，，則前10項和=
�。ˋ）100（B）210（C）380（D）400
9.設是等差數(shù)列的前n項和，若S7=35，則a4=
�。ˋ）8（B）7（C）6（D）5
10.已知為等差數(shù)列，，，是等差數(shù)列的前項和，則使得達到最大值的是（）
A.21B.20C.19D.18
二、填空題(每小題4分，共16分)
11.數(shù)列的前n項和，則。
12.已知an為等差數(shù)列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，則公差d＝．
13.已知橢圓+=1上有n個不同的P1,P2,P3,……Pn,設橢圓的右焦點為F，數(shù)列FPn的公差不小于的等差數(shù)列，則n的最大值為．
14.某單位用3.2萬元購買了一臺實驗儀器，假設這臺儀器從啟用的第一天起連續(xù)使用，第天的維修保養(yǎng)費為元,若使用這臺儀器的日平均費用最少，則一共使用了天．
三、解答題(共44分，寫出必要的步驟)
15.（本小題滿分10分）已知數(shù)列中，，，數(shù)列滿足
��；
（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
�。�2）求數(shù)列中的最大值和最小值，并說明理由
16.（本小題滿分10分）在數(shù)列中，
�。�1）設證明是等差數(shù)列;
（2）求數(shù)列的前項和。
17.（本小題滿分12分）已知等差數(shù)列的前三項為記前項和為．
(Ⅰ)設，求和的值；
(Ⅱ)設，求的值．
18.（本小題滿分12分）設數(shù)列的前項和為。
�。↖）求證：是等差數(shù)列；
�。á颍┰O是數(shù)列的前項和，求；
�。á螅┣笫箤λ械暮愠闪⒌恼麛�(shù)的取值集合。
答案
一、選擇題
1.B
2.A
3.B
4.B
5.C
6.A
7.A
8.B
9.D
10.解析：由題設求得：，
，所以當時最大。故選B
二、填空題
11.
12.－；
13.2009
14.800
三、解答題
15.解析：
(1),而,
∴,；故數(shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列；
�。�2）由（1）得，則；設函數(shù)，
函數(shù)在和上均為減函數(shù)，當時，；當時，；且，當趨向于時，接近1，
∴，．
16.解析：（1）由已知得
，
又
是首項為1，公差為1的等差數(shù)列；
�。�2）由（1）知
兩式相減得
17.解析：(Ⅰ)由已知得，又，
即．…………………………（2分）
，公差．
由，得…………………………（4分）
即．解得或(舍去)．
�。�6分）
(Ⅱ)由得
…………………………（8分）
…………………………（9分）
是等差數(shù)列．
則
………………………(11分)
……………………(12分)
18.解析：（I）依題意，
故
當時，
�、�-②得：
故為等比數(shù)列，且，
即是等差數(shù)列
�。á颍┯桑↖）知，
�。á螅�
當時，取最小值
依題意有
解得
故所求整數(shù)的取值集合為0，1，2，3，4，5
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