中山市2013—2014學(xué)年度第一學(xué)期期末統(tǒng)一考試一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分． DAAD BCBC二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，滿分30分．9. ;10. 11. ; 12. ；13. 45；14. 三、解答題： 本大題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15．本題滿分12分設(shè)平面向量，，函數(shù)。（Ⅰ）求函數(shù)的值域和函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;（Ⅱ）當(dāng),且時(shí),求的值.15．解： 依題意………（2分） ………………………………………………（4分）（Ⅰ） 函數(shù)的值域是；………………………………………………（5分）令，解得………………（7分）所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.……………………（8分）（Ⅱ）由得,因?yàn)樗缘?………………………（10分）……………………………………………………………………（12分）16(本題滿分12分)某校從參加高二年級(jí)學(xué)業(yè)水平測(cè)試的學(xué)生中抽出80名學(xué)生，其數(shù)學(xué)成績(jī)（均為整數(shù)）的頻率分布直方圖如圖所示．（I）估計(jì)這次測(cè)試數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分；（II）假設(shè)在[90，100]段的學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)都不相同，且都超過94分．若將頻率視為概率，現(xiàn)用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法，從95，96，97，98，99，100這6個(gè)數(shù)中任意抽取2個(gè)數(shù)，有放回地抽取了3次，記這3次抽取中，恰好是兩個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)的次數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望． 16. 解：（I）利用中值估算抽樣學(xué)生的平均分：45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05 =72. ……………（3分）眾數(shù)的估計(jì)值為75分 ……………（5分）所以，估計(jì)這次考試的平均分是72分． ……………（6分）（注：這里的眾數(shù)、平均值為估計(jì)量，若遺漏估計(jì)或大約等詞語扣一分）（II）從95， 96，97，98，99，100中抽2個(gè)數(shù)的全部可能的基本結(jié)果數(shù)是，有15種結(jié)果，學(xué)生的成績(jī)?cè)赱90，100]段的人數(shù)是0.005×10×80=4（人），這兩個(gè)數(shù)恰好是兩個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)的基本結(jié)果數(shù)是，兩個(gè)數(shù)恰好是兩個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)的概率 ……………（8分）隨機(jī)變量的可能取值為0、1、2、3，則有．∴∴變量的分布列為：0123P …………（10分） …………（12分） 解法二. 隨機(jī)變量滿足獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),所以為二項(xiàng)分布, 即………（10分） …………（12分）17（本小題滿分14分）如圖，在底面是矩形的四棱錐中，⊥平面，，.是的中點(diǎn)，（Ⅰ）求證：平面⊥平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值17解法一：（Ⅰ），，. 2分, . 而, 平面. ………………………（4分. ………………………（5分（Ⅱ）連結(jié)、，取中點(diǎn)， 連結(jié) ， 則, ∵平面， ∴平面.過作交于，連結(jié)，則 就是二面角所成平面角. ………………………7分由，則.在中， 解得.因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以. ………………………8分而，由勾股定理可得. ………………………9分. ………………………（10分（Ⅲ）延長(zhǎng)，過作垂直于，連結(jié)，又∵，∴⊥平面， 過作垂直于， 則, 所以平面, 即平面，所以在平面內(nèi)的射影是，是直線與平面所成的角.………………………12分. ..……………（14分解法二：以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為 軸建立空間直角坐標(biāo)系，則(0，0，0) , (2，0，0), (2，4，0) , (0，4，0) ，(0，2，1) , (0，0，2) . ……………………2分∴＝(2，0，0) , ＝(0，4，0) , ＝(0，0，2) , ＝(－2，0，0) ,＝(0，2，1) , ＝(2，4，0) . ……………………3分（Ⅰ）, .又, . ………………………5分, , 而,∴平面⊥平面. ………7分（Ⅱ）設(shè)平面的法向量=,令，則.由即∴=. ………………………（9分平面的法向量＝(0，0，2) , .所以二面角所成平面角的余弦值是. ……………………（11分（Ⅲ）因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄渴?，而＝(－2，0，0) . 所以 . ………………………（13分 直線與平面所成角的正弦值 . ………………………（14分18．（本小題滿分14分） 數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，．（I）設(shè)，證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（II）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（Ⅲ）若，數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：．18．【解析】I）因?yàn)椋?① 當(dāng)時(shí)，，則，………………………………（1分② 當(dāng)時(shí)，，……………………2分所以，即，所以，而，……………………（3分所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以．…………4分（II）由(1)得．所以 ①，②，……………（5分②-①得：，……………（7分 .……………（9分（III）由(I)知……………（10分（1）當(dāng)時(shí)，成立；……………（11分（2）當(dāng)時(shí)，，，………………13分所以. ………14分（本題放縮方法不唯一,請(qǐng)酌情給分19. 已知函數(shù)，.（I）若，且對(duì)于任意恒成立，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍；（II）設(shè)函數(shù)，求證：19. 解:（Ⅰ）由可知是偶函數(shù)．于是對(duì)任意成立等價(jià)于對(duì)任意成立．………1分由得．①當(dāng)時(shí)，．此時(shí)在上單調(diào)遞增． 故，符合題意．…3分②當(dāng)時(shí)，．當(dāng)變化時(shí)的變化情況如下表：……………………（4分單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增由此可得，在上，．依題意，，又．綜合①，②得，實(shí)數(shù)的取值范圍是．………………（7分（Ⅱ），又， ……………………（10分， ……………………（12分由此得:故成立. ………………14分20．本題滿分14分已知函數(shù)，（其中為常數(shù)）；（I）如果函數(shù)和有相同的極值點(diǎn)，求的值；（II）設(shè)，問是否存在，使得，若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．（III）記函數(shù)，若函數(shù)有5個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．20．解：（I），則，令，得或，而在處有極大值，∴，或；綜上：或．………………………………（3分（II）假設(shè)存在，即存在，使得，當(dāng)時(shí)，又，故，則存在，使得，………………………………（4分 當(dāng)即時(shí)，得，；………………………………（5分 當(dāng)即時(shí)，得，………6分無解；綜上：．………………………………（7分（III）據(jù)題意有有3個(gè)不同的實(shí)根，有2個(gè)不同的實(shí)根，且這5個(gè)實(shí)根兩兩不相等．（?）有2個(gè)不同的實(shí)根，只需滿足；………………………………8分（?）有3個(gè)不同的實(shí)根，當(dāng)即時(shí)，在處取得極大值，而，不符合題意，舍；………………………………9分當(dāng)即時(shí)，不符合題意，舍；當(dāng)即時(shí)，在處取得極大值，；所以；………………………………（10分因?yàn)椋?）（?）要同時(shí)滿足，故；（注：也對(duì)）…………………11分下證：這5個(gè)實(shí)根兩兩不相等，即證：不存在使得和同時(shí)成立；若存在使得，由，即，得，當(dāng)時(shí)，，不符合，舍去；當(dāng)時(shí)，既有 ①；又由，即 ②； 聯(lián)立①②式，可得；而當(dāng)時(shí)，沒有5個(gè)不同的零點(diǎn)，故舍去，所以這5個(gè)實(shí)根兩兩不相等．綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有5個(gè)不同的零點(diǎn)． ………………………14分！第4頁 共12頁學(xué)優(yōu)高考網(wǎng)！！PBEDCAPBEDCAOFGHPBEDCAxyz廣東省中山市2014屆高三上學(xué)期期末考試（數(shù)學(xué)理）掃描版
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