金陵中學2013－2014學年度第一學期高三期中試卷數學（必）一、填空題本大題共14小題，每小題5分，共70分請把答案填寫在答題卡相應的位置上．1． 設集合A＝｛x｜－＜x＜2｝，B＝｛x｜x2≤1｝，則A∪B＝ ▲ ．【答】｛x｜－1≤x＜2｝復數i2（1－2i）的實部是 ▲ ．【答】（－1）3.命題“x∈R，x2+ax+10）的一條漸近線方程，則此雙曲線的離心率為 ▲ ． 【答】2 【】由題意，∴．.已知直線l平面α，直線m平面β，則下列四個命題：①若α∥β,則l⊥m； ②α⊥β,則l∥m；③若l∥m,則α⊥β； ④l⊥m,則α∥β.其中正確命題的序號是 ▲ ．【答】 ①③9．若以連續(xù)擲兩次骰子分別得到的點數m、n作為點P的橫、縱坐標，則點P在直線x＋y = 5下方的概率為 ▲ ．【答】 ．【】點P在直線x＋y = 5下方的情況有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)六種可能，故其概率為 = ．已知fx)=3sin(2x－，若存在α，使fα+x)= f(α-x)對一切實數x恒成立，則α= ▲ ． 【答】11.已知f(x)是定義在R上的奇函數，當x≥0時，f(x)＝x2＋2x，若f(2－a2)>f(a)，則實數a的取值范圍是 ▲ ．【答】(－2,1)已知函數f(x) lg(x-1) 若a≠b,f(a)= f(b) ,則a+2b的取值范圍是 ▲ ．【答】13..定義在R上的函數f(x)滿足f(x)＋f(x＋5)＝16，當x∈(－1，4]時，f(x)＝x2－2x，則函數f(x)在[0，2013]上的零點個數是_____ ▲ ．【答】604【】由，可知，則，所以是以10為周期的周期函數. 在一個周期上，函數在區(qū)間內有3個零點，在區(qū)間內無零點，故在一個周期上僅有3個零點，由于區(qū)間中包含201個周期，又時也存在一個零點，故在上的零點個數為.14.已知函數f(x)，若對任意的實數xx2,x3,不等式f(x)+ f(x2) >f(x3)恒成立，則實數k的取值范圍是 ▲ ．【答】．【】，令，則．原題等價為：對于，恒成立，求實數k的取值范圍．（1）當時，顯然成立；（2）當時，，由，得；（3）當時，，由，得．綜上，實數k的取值范圍為．二、解答題：本大題共6小題，共計90分.請在答題紙指定區(qū)域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.(本題滿分14分)已知a=(2cosx , 2sinx) ，bcosx , cosx),設函數f(x)a?b-, 求： f(x)的最小正周期單調遞增區(qū)間；若且α(,π). 求α.解===-3分函數的最小正周期為 ---------------5分由，得（）∴函數的單調遞增區(qū)間為 ---------------8分∵，∴，∴…………………………………………………………11分∴，∵，∴，∴或，∴或 ---------------14分16．(本題滿分14分) 如圖四邊形ABCD為平行四邊形，四邊形ADEF是正方形，且BD平面CDE，H是BE的中點G是AEDF的交點.（1）求證GH∥平面CDE；（2）求證面ADEF面ABCD.證明：⑴是的交點，∴是中點，又是的中點，∴中，， ---------------分 ∵ABCD為平行四邊形∴AB∥CD ∴，----------------------------------------------4分又∵∴平面 -------------------7分⑵， 所以， -------------------9分 又因為四邊形為正方形，， ------------------10分，，- -----------------12分. ----------------14分17．（本題滿分14分）已知等差數列{an}中，首項a1＝1，公差d為整數，且滿足a1a3, a2+5> a4，數列{bn}滿足bn ，其前n項和為Sn．求數列{an}的通項公式；若S2為S1，Sm (m∈N＊)的等比中項求正整數m的值．等差數列{an}{cn}的前n項 和Tn解：（1）由題意，得解得0,a≠1)（1）若a，且關于x的方程f(x)m有兩個不同的正數解，求實數m的取值范圍；（2）設函數g(x) f(-x)，x∈[-2，+∞），滿足如下性質：若存在最大（小）值，則最大（�。┲蹬ca無關.試求a的取值范圍．解：(1)令，，因為，所以，所以關于的方程有兩個不同的正數解等價于關于的方程有相異的且均大于1的兩根，即 關于的方程有相異的且均大于1的兩根，…………………………………………2分所以，…………………………………………………………………4分解得，故實數的取值范圍為區(qū)間.……………………………6分(2)①當時，a)時，，，所以 ， b)時，，所以 ……8分 ?)當即時，對，，所以 在上遞增，所以 ，綜合a) b)有最小值為與a有關，不符合…10分 ?)當即時，由得，且當時，，當時，，所以 在上遞減，在上遞增，所以，綜合a) b) 有最小值為與a無關，符合要求．………12分②當時，a) 時，，，所以 b) 時，，，所以 ，在上遞減，所以 ，綜合a) b) 有最大值為與a有關，不符合……1分綜上所述，實數a的取值范圍是．………………………………………………16分金陵中學2013－2014學年度第一學期高三期中試卷數學（附加題）21【選做題】在下面A，B，C，D四個小題中只能選做兩題，每小題10分，共20分．A．選修4―1：幾何證明選講 如圖，設AB為⊙O的任一條不與直線l垂直的直徑，P是⊙O與l的公共點，AC⊥l，BD⊥l，垂足分別為C，D，且PC=PD，求證： （1）l是⊙O的切線； （2）PB平分∠ABD證明：（1）連結OP，因為AC⊥l，BD⊥l，所以AC//BD又OA=OB，PC=PD，所以OP//BD，從而OP⊥l因為P在⊙O上，所以l是⊙O的切線 ...........5分 （2）連結AP，因為l是⊙O的切線，所以∠BPD=∠BAP 又∠BPD+∠PBD=90°，∠BAP+∠PBA=90°，所以∠PBA=∠PBD，即PB平分∠ABD .........10分B．選修4―2：矩陣與變換已知矩陣M＝，N＝．（1）求矩陣MN；（2）若點P在矩陣MN對應的變換作用下得到Q(0，1)，求點P的坐標．（1）MN＝ ＝； …………5分 （2）設P(x，y)，則解法一： ＝，即 解得即P(，－1)． …………10分 解法二： 因為＝．所以＝ ＝． 即P(，－1)． …………10分C．選修4―4：坐標系與參數方程 在直角坐標系中的參數方程為（為參數），若以直角江蘇省南京市金陵中學2013-2014學年度高三第一學期期中考試數學試題（純word版）有附加題
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