北京市朝陽區(qū)2014屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)(理)試題及答案

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試卷說明:

北京市朝陽區(qū)2013-2014學(xué)年度高三年級第一學(xué)期期中統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué)試卷(理工類) 2013.11(考試時間120分鐘 滿分150分)本試卷分為選擇題(共40分)和非選擇題(共110分)兩部分第一部分(選擇題 共40分)一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分.,.若,則實數(shù)的值是 A. C.或 D.或或2.命題:對任意,的否定是A.:對任意, B.:不存在, C.:存在, D.:存在, 3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的值為 A.91B.55 C.54 D.304.若, 則A. B.C. D.5.由直線,,與曲線所圍成的圖形的面積等于 A....,,,則下列結(jié)論中錯誤的是A.與向量共線B.(,),則,C.,都存在實數(shù),,使得D.在向量方向上的投影為7. 若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象至多有一個公共點,則實數(shù)的取值范圍是 . .A. B. C. D. 8.同時滿足以下4個條件的集合記作:(1)所有元素都是正整數(shù);(2)最小元素為1;(3)最大元素為2014;(4)各個元素可以從小到大排成一個公差為的等差數(shù)列.那么中元素的個數(shù)是A. B. C. D..中,,,則數(shù)列的前三項和 .10.的最小值是 .11.在點,處的切線經(jīng)過點,,則12.與的夾角為,,,則 ;若平行四邊形滿足,,則平行四邊形的面積為 .13. 若,則實數(shù)的取值范圍是 . 14.(),數(shù)列滿足,,.則與中,較大的是 ;,,的大小關(guān)系是 .三、解答題:本大題共6小題,共80分.解答應(yīng)寫出文字說明,演算步驟或證明過程.15.(本小題滿分13分)已知函數(shù).(Ⅰ)求函數(shù)的最小正周期及最小值;(Ⅱ)若,且,求的值.16. (本小題滿分13分)在中,角,,所對的邊分別為,,,且.(Ⅰ)若,求的面積;(Ⅱ)若,求的最大值. 17.(本小題滿分13分)已知等差數(shù)列的前項和為,,且,.(Ⅰ)求;(Ⅱ)若,求的值和的表達式.18. (本小題滿分14分)已知函數(shù).(Ⅰ)若的圖象與軸無交點,求的取值范圍;若在上存在零點,求 的取值范圍;,.當(dāng)時,若對任意的,總存在,使,求的取值范圍.已知函數(shù).(Ⅰ)函數(shù)的單調(diào); (Ⅱ),,,為函數(shù)的圖象上任意不同兩點,, 兩點的直線的斜率恒大于,求的取值范圍.20. (本小題滿分13分)如果項數(shù)均為的兩個數(shù)列,滿足且集合,則稱數(shù)列是一對 “項相關(guān)數(shù)列”.(Ⅰ)設(shè)是一對“4項相關(guān)數(shù)列”,求和的值,并寫出一對“項相關(guān)數(shù)列” ;(Ⅱ)是否存在 “項相關(guān)數(shù)列” ?若存在,試寫出一對;若不存在,請說明理由;(Ⅲ)對于確定的,若存在“項相關(guān)數(shù)列”,試證明符合條件的“項相關(guān)數(shù)列”有偶數(shù)對.北京市朝陽區(qū)2013-2014學(xué)年度高三年級第一學(xué)期期中統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué)試卷答案(理工類) 2013.11選擇題:題號(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)答案CCBDACDB二、填空題: 題號91011121314答案(注:兩空的填空,第一空3分,第二空2分)三、解答題:(15)(本小題滿分13分)解: . (Ⅰ)函數(shù)的最小正周期為, 函數(shù)的最小值為. ………6分得. 所以. 又因為,所以, 所以或. 所以或. ………13分分,所以.當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立. 所以的最大值為 ………13分的公差為,則解得,,,則,. ………5分時, ,當(dāng)時,.則時,;時,.即. ………13分解:若的圖象與軸無交點,則方程 的判別式,即,解得. ………3分的對稱軸是,在上是減函數(shù),在上存在零點,則必有:,即,解得:,故實數(shù) 的取值范圍為;分若對任意的,總存在,使,只需函數(shù)的值域為函數(shù)值域的子集當(dāng)時,的對稱軸是的值域為下面求,的值域,時,,不合題意,舍②當(dāng)時,的值域,只需要,解得③當(dāng)時,的值域,只需要,解得綜上:實數(shù)的取值范圍 ………14分解(Ⅰ) 的定義域為,,當(dāng)時,,為增函數(shù).(?)若,恒成立,故當(dāng)時,為增函數(shù).(?)若,當(dāng)時,為增函數(shù);當(dāng)時,,為增函數(shù). (?)若,當(dāng)時,為增函數(shù);當(dāng)時,,為增函數(shù).綜上所述,當(dāng)時,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是;當(dāng)時,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,;當(dāng)時,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是;當(dāng)時,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,. ………6分(Ⅱ)兩點的直線的斜率恒大于,則有,當(dāng)時,,即;當(dāng)時,,即.設(shè)函數(shù),若對于兩個不相等的正數(shù),恒成立,則函數(shù)在恒為增函數(shù),即在上,恒成立.解法一:(1)當(dāng)時,當(dāng),,說明此時不恒成立;或,說明此時不恒成立;(2)當(dāng)時,在上恒成立;(3)當(dāng)時,若恒成立,而當(dāng)時,,( 當(dāng)且僅當(dāng)時取等號)即成立,即,解得,即,顯然符合題意.綜上所述,時,過兩點的直線的斜率恒大于.解法二:在上,恒成立,等價于,在成立,即在成立.(?)當(dāng)時,上式顯然滿足;(?)當(dāng)時,上式等價于,設(shè),此時為減函數(shù),,只需;(?)當(dāng)時,上式等價于,設(shè),則 ,當(dāng)時,(當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立).則此時.在上,當(dāng)時,成立. 過兩點的直線的斜率恒大于. 解法三:在上,恒成立,等價于在恒成立,則有(1)時,即,所以 或(2)時,需且,即顯然不成立.綜上所述,. ………………14分,相加得,,又,則,.“4項相關(guān)數(shù)列”:8,4,6,5;:7,2,3,1(不唯一)………3分4項相關(guān)數(shù)列”共6對: :8,5,4,6;:7,3,1,2或:7,3,5,8;:6,1,2,4或:3,8,7,5;:2,6,4,1或:2,7,6,8;:1,5,3,4或:2,6,8,7;:1,4,5,3 或:8,4,6,5;:7,2,3,1 (Ⅱ)不存在.理由如下:假設(shè)存在 “15項相關(guān)數(shù)列”,則,相加,得又由已知,由此,顯然不可能,所以假設(shè)不成立。從而不存在 “15項相關(guān)數(shù)列” ………7分(Ⅲ)對于確定的,任取一對 “項相關(guān)數(shù)列”,令,,先證也必為 “項相關(guān)數(shù)列” .因為又因為,很顯然有,所以也必為 “項相關(guān)數(shù)列”.再證數(shù)列與是不同的數(shù)列.假設(shè)與相同,則的第二項,又,則,即,顯然矛盾.從而,符合條件的 “項相關(guān)數(shù)列”有偶數(shù)對. ┅┅┅┅┅┅ 13分是否T=0,i=1開 始T=T+i2i=i+1輸出Ti>5?結(jié)束縛北京市朝陽區(qū)2014屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)(理)試題及答案
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