中山市2013—2014學年度第一學期期末統一考試本試卷共4頁，20小題，滿分150分．考試用時120分鐘．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分． DAAD CBBCB二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，滿分30分．11. ; 12．; 13. ; 14. 三、解答題： 本大題共6小題，共80分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15．本題滿分12分設平面向量，，函數。（Ⅰ）求函數的值域和函數的單調遞增區(qū)間;（Ⅱ）當,且時,求的值.15．解： 依題意………（2分） ………………………………………………（4分）（Ⅰ） 函數的值域是；………………………………………………（5分）令，解得………………（7分）所以函數的單調增區(qū)間為.……………………（8分）（Ⅱ）由得,因為所以得,………………………（10分）……………………………………………………………………（12分）16本題滿分12分某學校餐廳新推出四款套餐，某一天四款套餐銷售情況的條形圖如下為了了解同學對新推出的四款套餐的評價，對每位同學都進行了問卷調查，然后用分層抽樣的方法從調查問卷中抽取20份進行統計，統計結果如下面表格所示：滿意一般不滿意A套餐50%25%25%B套餐80%020%C套餐50%50%0D套餐40%20%40%（Ⅰ）若同學甲選擇的是A款套餐，求甲的調查問卷被選中的概率；（Ⅱ）若想從調查問卷被選中且填寫不滿意的同學中再選出2人進行面 談，求這兩人中至少有一人選擇的是D款套餐的概率. 解：（Ⅰ）由條形圖可得，選擇A，B，C，D四款套餐的學生共有200人， 其中選A款套餐的學生為40人， 由分層抽樣可得從A款套餐問卷中抽取了 份. …………….設事件=“同學甲被選中進行問卷調查”， 則 . ……………………………………………………….（5分）答：若甲選擇的是A款套餐，甲被選中調查的概率是. …………….6分）（II）由圖表可知，選A，B，C，D四款套餐的學生分別接受調查的人數為4，5，6，5. 其中不滿意的人數分別為1，1，0，2個 . ………………………….（7分）記對A款套餐不滿意的學生是a；對B款套餐不滿意的學生是b；對D款套餐不滿意的學生是c，d. ………………………………………………….8分）設事件N=“從填寫不滿意的學生中選出2人，至少有一人選擇的是D款套餐”從填寫不滿意的學生中選出2人，共有(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)6個基本事件，而事件N有(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)5個基本事件， ………………………10分）則. ………………………………………………………（12分）17．本題滿分14分如圖所示，圓柱的高為2，底面半徑為,AE、DF是圓柱的兩條母線，過作圓柱的截面交下底面于, 四邊形ABCD是正方形.（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅰ）AE下底面，又下底面，…………………………….3分又截面ABCD是正方形，所以⊥，又⊥面，又面，……………………………（7分）（Ⅱ）（Ⅰ）⊥面面⊥面又面面面，面，即EO就是的邊長為, 則，又，為直徑，即在中，, 即，……………………………………………………………（12分）18.（本小題滿分14分）數列{}的前n項和為，．（I）設，證明：數列是等比數列；（II）求數列的前項和；（Ⅲ）若，．求不超過的最大整數的值。1．【解析】(1) 因為，所以 ① 當時，，則，………………………………（2分② 當時，，…………………分所以，即，所以，而，……………………（6分所以數列是首項為，公比為的等比數列，所以．………分（2）由(1)得．所以 ①，②，……………（9分②-①得：，……………（12分. ………………（14分19．（本小題滿分14分） 已知函數，.（I）若，且對于任意恒成立，試確定實數的取值范圍；（II）設函數，求證：19. 解:（Ⅰ）由可知是偶函數．于是對任意成立等價于對任意成立．………1分由得．①當時，．此時在上單調遞增． 故，符合題意．3分②當時，．當變化時的變化情況如下表：………………………（4分單調遞減極小值單調遞增由此可得，在上，．依題意，，又．綜合①，②得，實數的取值范圍是．……………………（7分（Ⅱ），又， …………………………………………………………………10分， ……………………………………………12分由此得:故成立. …………………14分20．已知函數，，，其中，且.⑴當時，求函數的最大值； ⑵求函數的單調區(qū)間；⑶設函數若對任意給定的非零實數，存在非零實數（），使得成立，求實數的取值范圍.解：⑴當時， ∴令，則， ∴在上單調遞增，在上單調遞減∴ ………………………4分⑵，，（）∴當時，，∴函數的增區(qū)間為，當時，，當時，，函數是減函數；當時，，函數是增函數。綜上得，當時，的增區(qū)間為； 當時，的增區(qū)間為，減區(qū)間為 ………10分 ⑶當，在上是減函數，此時的取值集合；當時，，若時，在上是增函數，此時的取值集合；若時，在上是減函數，此時的取值集合。對任意給定的非零實數，①當時，∵在上是減函數，則在上不存在實數（），使得，則，要在上存在非零實數（），使得成立，必定有，∴；②當時，在時是單調函數，則，要在上存在非零實數（），使得成立，必定有，∴。綜上得，實數的取值范圍為。 ……………14分！第4頁 共10頁學優(yōu)高考網��！廣東省中山市2014屆高三上學期期末考試（數學文）掃描版
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