（考試時(shí)間120分鐘，總分150分）命題：陳惠彬 審題：邱形貴第Ⅰ卷（選擇題 共50分）一．選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中， 只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知為虛數(shù)單位,則復(fù)( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2.若角的終邊在第二象限且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則等于B．C．D．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（　 �。〢．已知函數(shù)，則是函數(shù) B．，的夾角為，則“”是“”的C．若命題,則 D．的三個(gè)內(nèi)角、的對(duì)邊的長(zhǎng)分別為、， 若 、、成等差數(shù)列 4.設(shè)向量,若,則等于B．C．D．3設(shè)是上的奇函數(shù)當(dāng)時(shí), 則等于? A. ?B. C. D.6.已知?jiǎng)t向量的夾角為B．C．D．函數(shù)的部分圖像是8.設(shè)函數(shù)，以下關(guān)于的導(dǎo)函數(shù)說(shuō)法正確的有（ ）①其圖像可由 向左平移 得到； ②其圖像關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)；③其圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)； ④在區(qū)間上是增函數(shù)．B．C．D．已知函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng),且當(dāng)成立若,,則a,b,c的大小關(guān)系是（　 �。〢．B．C．D． A. 0B. 1C. 2D. 3第Ⅱ卷（非選擇題 共100分）二．填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分．將答案填在答題卡的相應(yīng)位置．11．如圖，已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)， 則圖中陰影部分的面積等于 . 12.已知函數(shù)則,則實(shí)數(shù)的值等于.13.在,且的面積為,則的長(zhǎng)為.14．已知函數(shù)有三個(gè)不等實(shí)根則的取值范圍是 .15．若對(duì)意為關(guān)于x、y的二元函數(shù).現(xiàn)定義滿(mǎn)足下列性質(zhì)的二元函數(shù)為關(guān)于實(shí)數(shù)x、y的廣義“距離”(1)非負(fù)性:時(shí)取等號(hào);(2)對(duì)稱(chēng)性:;(3)三角形不等式:對(duì)任意的實(shí)數(shù)z均成立.今給出三個(gè)二元函數(shù),請(qǐng)選出所有能夠成為關(guān)于x、y的廣義“距離”的序號(hào):①;②;③能夠成為關(guān)于的x、y的廣義“距離”的函數(shù)的序號(hào)是___________.已知函數(shù)的定義域?yàn)锳，函數(shù)的值域?yàn)锽.（I）求；（II）若，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.17．(本小題滿(mǎn)分13分)已知函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn).(Ⅰ)求函數(shù)的解析式及最大值；(Ⅱ)若，求的值.(Ⅰ)請(qǐng)將從甲地到乙地的運(yùn)輸成本錯(cuò)誤！未找到引用源。（元）表示為航行速度錯(cuò)誤！未找到引用源。（海里/小時(shí)）的函數(shù)； (Ⅱ)要使從甲地到乙地的運(yùn)輸成本最少，該貨輪應(yīng)以多大的航行速度行駛？19．(本小題滿(mǎn)分13分)已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增在區(qū)間上單調(diào)遞減．中、、分別為內(nèi)角對(duì)的邊，且滿(mǎn)足．（）證明：；（）是外一點(diǎn)，設(shè)，時(shí)，求四邊形面積的最大值．已知函數(shù).(Ⅰ)求函數(shù)的x=1處的切線(xiàn)方程;(Ⅱ)求證:存在,使;(Ⅲ)對(duì)于函數(shù)與定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x,若存在常數(shù)k,b,使得和都成立,則稱(chēng)直線(xiàn)為函數(shù)與的分界線(xiàn).試探究函數(shù)與是否存在“分界線(xiàn)”?若存在,請(qǐng)證明,并求出k,b的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.（）（本小題滿(mǎn)分7分) 選修4―4：極坐標(biāo)與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，直線(xiàn)的參數(shù)方程為為參數(shù)，）．（Ⅰ）化曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）若直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求直線(xiàn)被曲線(xiàn)截得的線(xiàn)段的長(zhǎng)．（）（本小題滿(mǎn)分7分) 選修4―5：不等式選講已知數(shù)滿(mǎn)足．（Ⅰ）求的；（Ⅱ）若不等式對(duì)一切數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．已知為虛數(shù)單位,則復(fù)( D )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2.若角的終邊在第二象限且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則等于B．C．D．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（　�。〢．已知函數(shù)，則是函數(shù) B．，的夾角為，則“”是“”的C．若命題,則 D．的三個(gè)內(nèi)角、的對(duì)邊的長(zhǎng)分別為、， 若 、、成等差數(shù)列 4.設(shè)向量,若,則等于B．C．D．3設(shè)是上的奇函數(shù)當(dāng)時(shí), 則等于? A. ?B. C. D.6.已知?jiǎng)t向量的夾角為B．C．D．函數(shù)的部分圖像是8.設(shè)函數(shù)，以下關(guān)于的導(dǎo)函數(shù)說(shuō)法正確的有（B）①其圖像可由 向左平移 得到； ②其圖像關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)；③其圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)； ④在區(qū)間上是增函數(shù)．B．C．D．已知函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng),且當(dāng)成立若,,則a,b,c的大小關(guān)系是（）A．B．C．D． A. 0B. 1C. 2D. 3第Ⅱ卷（非選擇題 共100分）二．填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分．將答案填在答題卡的相應(yīng)位置．11．如圖，已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積等于 . 12.已知函數(shù)則,則實(shí)數(shù)的值等于-3或l.13.在,且的面積為,則的長(zhǎng)為 .14．已知函數(shù)有三個(gè)不等實(shí)根則的取值范圍是 .15．若對(duì)意為關(guān)于x、y的二元函數(shù).現(xiàn)定義滿(mǎn)足下列性質(zhì)的二元函數(shù)為關(guān)于實(shí)數(shù)x、y的廣義“距離”(1)非負(fù)性:時(shí)取等號(hào);(2)對(duì)稱(chēng)性:;(3)三角形不等式:對(duì)任意的實(shí)數(shù)z均成立.今給出三個(gè)二元函數(shù),請(qǐng)選出所有能夠成為關(guān)于x、y的廣義“距離”的序號(hào):①;②;③能夠成為關(guān)于的x、y的廣義“距離”的函數(shù)的序號(hào)是____①________.已知函數(shù)的定義域?yàn)锳，函數(shù)的值域?yàn)锽.（I）求；（II）若，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（Ⅰ）由題意得： ……………………………2分 ……………………………………………………4分 ……………………………………………………………分（II）由（1）知：，又（1）當(dāng)時(shí)，,，滿(mǎn)足題意.……………………分（2）當(dāng)即時(shí)，要使，則 …………分解得 ………………………………………………………分綜上， ………………………………………………分已知函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn).(Ⅰ)求函數(shù)的解析式及最大值；(Ⅱ)若，求的值.17. 解：（Ⅰ）， ∴ ，，…………………………3分 ∴ ，所以當(dāng)，即時(shí)，取最大值. …6分 (Ⅱ) ，∴ ，……………………8分 ∵ ， ∴， ∴ ， ………………………………………10分 ∴ . ……………………………………………13分故當(dāng)貨輪航行速度為0海里/小時(shí)時(shí)，能使該貨輪運(yùn)輸成本最少．……………1分（）解法2：由（Ⅰ） 錯(cuò)誤！未找到引用源�！�……8分 錯(cuò)誤！未找到引用源。故當(dāng)貨輪航行速度為0海里/小時(shí)時(shí)，能使該貨輪運(yùn)輸成本最少． ……1分………………………………………………………4分…………………………………………………6分（2）因?yàn)椋�所以，所以為等邊三角�?…………………………8分,， 當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取最大值,的最大值為………………13分20．(本小題滿(mǎn)分14分)已知函數(shù).(Ⅰ)求函數(shù)的x=1處的切線(xiàn)方程;(Ⅱ)求證:存在,使;(Ⅲ)對(duì)于函數(shù)與定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x,若存在常數(shù)k,b,使得和都成立,則稱(chēng)直線(xiàn)為函數(shù)與的分界線(xiàn).試探究函數(shù)與是否存在“分界線(xiàn)”?若存在,請(qǐng)證明,并求出k,b的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.解:(Ⅰ)x=1時(shí)，切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-2），切線(xiàn)斜率為，∴此時(shí)切線(xiàn)方程為： ……………………………………………3分(Ⅱ)由(Ⅰ) 令解得 令解得. 知在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,令 ∴ 取則 故存在使即存在使 ………………分(說(shuō)明:的取法不唯一,只要滿(mǎn)足且即可)(Ⅱ)設(shè)則則當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增.∴是函數(shù)的極小值點(diǎn),也是最小值點(diǎn), ∴∴函數(shù)與的圖象在處有公共點(diǎn)(). ………………………分設(shè)與存在“分界線(xiàn)”且方程為,令函數(shù)①由≥,得在上恒成立,即在上恒成立,∴, 即, ∴,故………………………………………………………………………………………………11分②下面說(shuō)明:, 即恒成立.設(shè)則∵當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減,∴當(dāng)時(shí),取得最大值0,.∴成立.綜合①②知且故函數(shù)與存在“分界線(xiàn)”, 此時(shí) ……分（）（本小題滿(mǎn)分7分) 選修4―4：極坐標(biāo)與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，直線(xiàn)的參數(shù)方程為為參數(shù)，）．（Ⅰ）化曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）若直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求直線(xiàn)被曲線(xiàn)截得的線(xiàn)段的長(zhǎng)．解法一：（Ⅰ）由得，，即曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為． ………………………………3分（Ⅱ）由直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，得直線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程是，聯(lián)立，消去，得，又點(diǎn)是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，由拋物線(xiàn)定義，得弦長(zhǎng)． ……………………7分解法二：（Ⅰ）同解法一． ………………………………3分（Ⅱ）由直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，得，直線(xiàn)的參數(shù)方程為將直線(xiàn)的參數(shù)方程代入，得，所以． …………………7分（）（本小題滿(mǎn)分7分) 選修4―5：不等式選講已知數(shù)滿(mǎn)足．（Ⅰ）求的；（Ⅱ）若不等式對(duì)一切數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（Ⅰ）由柯西不等式，即，當(dāng)且僅當(dāng)即，時(shí)，取得最大值3………………分（Ⅱ）由（Ⅰ）得，不等式對(duì)一切數(shù)恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)成立，即或解得，或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是． …………………………分第19題圖福建省泉州市某重點(diǎn)中學(xué)2014屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（理）試題
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