2014屆越秀區(qū)高三摸底考試試卷
數(shù) 學（理科）
本試卷共4頁，21小題，滿分150分．考試用時120分鐘．
注意事項：
1．答卷前，考生務必用2B鉛筆在“考生號、座號”處填涂考生號、座位號，用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己所在學校、班級，以及自己的姓名填寫在答題卷上．
2．每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卷上對應題目選項的答案信息點涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上．
3．非必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卷各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答的答案無效．
4．作答選做題時，請先用2B鉛筆填涂選做題的題號對應的信息點，再作答．漏涂、錯涂、多涂的，答案無效．
5．考生必須保持答題卷的整潔．考試結(jié)束后，將試卷和答題卷一并交回．
參考公式：
圓錐的側(cè)面積公式 ，其中 是圓錐的底面半徑， 是圓錐的母線長.

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1.設集合 ， ，則 （ ）.
A. B. C. D.
2.已知 ，則 （ ）.
A. B. C. D.
3.設 ，則“ ”是“直線 與直線 平行”的（ ）.
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

4.一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖與側(cè)視圖都是底邊長為6、腰長為5的等腰三角形，則這個幾何體的全面積為（ ）.
A. B.
C. D.
5.在△ABC中， ， ，
則△ABC的面積為（ ）.
A.3 B.4 C.6 D.
6.函數(shù) 的零點所在的一個區(qū)間是（ ）.
A. B. C. D.
7.若雙曲線 的漸近線與圓 相切，則雙曲線的離心率為（ ）.
A. B. C.2 D.
8.若過點 的直線與曲線 和 都相切，則 的值為（ ）.
A.2或 B.3或 C.2 D.

二、題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分．
（一）必做題（9～13題）
9．若復數(shù) 滿足 ，則復數(shù) 的實部是 .
10. 的展開式中的常數(shù)項是 .（用數(shù)字作答）
11.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的S的值是 .
12.已知實數(shù) 滿足 ，則 的最大值
是 .
13.在區(qū)間 上隨機取一個數(shù) ，在區(qū)間 上隨機取一個數(shù) ，則關于 的方程 有實根的概率是 .

（二）選做題（14～15題，考生只能從中選做一題）
14．（幾何證明選講選做題）
如圖，AB為⊙O的直徑，弦AC、BD相交于點P，若 ， ，則 的值為 .

15．（坐標系與參數(shù)方程選做題）
已知曲線C的參數(shù)方程是 （ 為參數(shù)），以直角坐標系的原點O為極點， 軸的正半軸為極軸，并取相同的長度單位建立極坐標系，則曲線C的極坐標方程是 .

三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16．（本小題滿分12分）
已知函數(shù) ， 的最大值是1，最小正周期是 ，其圖像經(jīng)過點 ．
（1）求 的解析式；
（2）設 、 、 為△ABC的三個內(nèi)角，且 ， ，求 的值．

17.（本小題滿分12分）
某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時間等信息，安排一名員工隨機收集了在該超市購物的50位顧客的相關數(shù)據(jù)，如下表所示：
一次購物量 （件）1≤n≤34≤n≤67≤n≤910≤n≤12n≥13
顧客數(shù)（人） 20105
結(jié)算時間（分鐘/人）0.511.522.5
已知這50位顧客中一次購物量少于10件的顧客占80％.
（1）確定 與 的值；
（2）若將頻率視為概率，求顧客一次購物的結(jié)算時間 的分布列與數(shù)學期望；
（3）在（2）的條件下，若某顧客到達收銀臺時前面恰有2位顧客需結(jié)算，且各顧客的結(jié)算相互獨立，求該顧客結(jié)算前的等候時間不超過2分鐘的概率.

18.（本小題滿分14分）
如圖，菱形 的邊長為4， ， .將菱形 沿對角線 折起，得到三棱錐 ，點 是棱 的中點， .
（1）求證： 平面 ；
（2）求證：平面 平面 ；
（3）求二面角 的余弦值.

19.(本小題滿分14分)
已知數(shù)列 滿足 ， .
（1）求數(shù)列 的通項公式；
（2）令 ，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，試比較Tn與 的大小，并予以證明.
20．（本小題滿分14分）
已知橢圓 的左、右焦點分別為 、 ，P為橢圓 上任意一點，且 的最小值為 .
（1）求橢圓 的方程；
（2）動圓 與橢圓 相交于A、B、C、D四點，當 為何值時，矩形ABCD的面積取得最大值？并求出其最大面積.

21.(本小題滿分14分)
已知函數(shù) .
（1）是否存在點 ，使得函數(shù) 的圖像上任意一點P關于點對稱的點Q也在函數(shù) 的圖像上？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由；
（2）定義 ，其中 ，求 ；
（3）在（2）的條件下，令 ，若不等式 對 且 恒成立，求實數(shù) 的取值范圍.

2014屆越秀區(qū)高三摸底考試數(shù)學（理科）參考答案
一、選擇題：本大題共8題，每小題5分，滿分40分．
題號12345678
答案BDCD ACBA
二、題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分．
9.1 10. 11. 12. 13. 14. 15.
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．
16.（1）依題意得 .由 ，解得 .所以 .
因為函數(shù) 的圖像經(jīng)過點 ，所以 ，即 .
因為 ，所以 .所以 .
（2）由（1）得 ，所以 ， .
因為 ，所以 ， .
因為 為△ABC的三個內(nèi)角，所以
.
17.（1）依題意得， ， ，解得 ， .
（2）該超市所有顧客一次購物的結(jié)算時間組成一個總體，所以收集的50位顧客一次購物的結(jié)算時間可視為總體的一個容量為50的隨機樣本，將頻率視為概率得，
， ， ，
， .
所以 的分布列為
0.511.522.5
0.20.40.20.10.1
的數(shù)學期望為 .
（3）記“該顧客結(jié)算前的等候時間不超過2分鐘”為事件A，該顧客前面第 位顧客的結(jié)算時間為 ，由于各顧客的結(jié)算相互獨立，且 的分布列都與 的分布列相同，所以

為所求.
18.（1）因為O為AC的中點，為BC的中點，所以 .
因為 平面ABD， 平面ABD，所以 平面 .
（2）因為在菱形ABCD中， ，所以在三棱錐 中， .
在菱形ABCD中，AB＝AD＝4， ，所以BD＝4.因為O為BD的中點，
所以 .因為O為AC的中點，為BC的中點，所以 .
因為 ，所以 ，即 .
因為 平面ABC， 平面ABC， ，所以 平面ABC.
因為 平面DO，所以平面 平面 .
（3）作 于 ，連結(jié)DE.由（2）知， 平面ABC，所以 AB.
因為 ，所以 平面ODE.因為 平面ODE，所以 .
所以 是二面角 的平面角.
在Rt△DOE中， ， ， ，
所以 .所以二面角 的余弦值為 .
19.（1）當 時，
.
又 也適合上式，所以 .
（2）由（1）得 ，所以 .
因為 ①，所以 ②.
由①－②得， ，
所以 .
因為 ，
所以確定 與 的大小關系等價于比較 與 的大小.
當 時， ；當 時， ；
當 時， ；當 時， ；……，
可猜想當 時， .
證明如下：當 時，
.
綜上所述，當 或 時， ；當 時， .
20.（1）因為P是橢圓 上一點，所以 .
在△ 中， ，由余弦定理得
.
因為 ，當且僅當 時等號成立.
因為 ，所以 .
因為 的最小值為 ，所以 ，解得 .
又 ，所以 .所以橢圓C的方程為 .
（2）設 ，則矩形ABCD的面積 .
因為 ，所以 .
所以 .
因為 且 ，所以當 時， 取得最大值24.
此時 ， .
所以當 時，矩形ABCD的面積最大，最大面積為 .
21.（1）假設存在點 ，使得函數(shù) 的圖像上任意一點P關于點對稱的點Q也在函數(shù) 的圖像上，則函數(shù) 圖像的對稱中心為 .
由 ，得 ，
即 對 恒成立，所以 解得
所以存在點 ，使得函數(shù) 的圖像上任意一點 關于點對稱的點 也在函數(shù) 的圖像上.
（2）由（1）得 .
令 ，則 .
因為 ①，
所以 ②，
由①+②得 ，所以 .
所以 .
（3）由（2）得 ，所以 .
因為當 且 時， .
所以當 且 時，不等式 恒成立 .
設 ，則 .
當 時， ， 在 上單調(diào)遞減；
當 時， ， 在 上單調(diào)遞增.
因為 ，所以 ，
所以當 且 時， .
由 ，得 ，解得 .
所以實數(shù) 的取值范圍是 .

本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/gaosan/236780.html

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