遼寧省鐵嶺市第一高級中學2013―2014學年高三上學期期中考試試題數 學 （理科）第Ⅰ卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復數，則在復平面內對應的點位于（ ）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.設集合則“”是“”的（ ）A.充要條件 B.必要不充分條件 C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】試題分析：，，∵,選C.考點：1、分式不等式和絕對值不等式的解法；2、充分條件和必要條件.3.已知全集U=R，集合，，則=( )A. B. C. D. 4.已知函數滿足，則的最小值（ ）A.2 B. C.3 D.45.若函數在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，則=（ ）A. 3 B. 2 C. D. 26.在中，角A,B,C所對的邊，已知則C=( )A. B. C. 或 D.7.數列中，且數列是等差數列，則=( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】試題分析：記，則是等差數列，且，∴，∴=.考點：等差數列及其性質.8.已知是兩個互相垂直的單位向量，且，，則對任意的正實數t，的最小值（ ）A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B【解析】10.各項都是正數的等比數列中，成等差數列，則的值為（ ）A. B. C. D. 或【答案】A【解析】試題分析：由已知得，∴，解得，所以=.考點：1、等差中項；2、等比數列的通項公式和性質.11.連續(xù)拋擲兩次骰子，得到的點數分別為m,n，記向量的夾角為，則的概率是（ ）A. B. C. D. 12.已知函數，函數若存在，使得成立，則實數的取值范圍（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】試題分析：當時，；當時，， ，故函數在是單調遞增，所以，綜上所述：；又時，，則要使存在，使得成立，則值域交集非空，則且，所以.考點：1、導數在單調性上的應用；2、函數的值域；3、集合的運算.第Ⅱ卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.已知A（-1,1），B(1，2),C(-2，-1),D(3，4),則向量在方向上的投影為_________________.，所以=，∴=，=，所以=.考點：1、兩角差的正弦公式；2、正弦和余弦的二倍角公式.15.已知實數x,y滿足若取得最大值時的最優(yōu)解（x,y）有無數個，則的值為______________.16.數列中，已知對任意, ，則___________________.【答案】【解析】試題分析：記數列的前項和為，則，當時，=；當時，，滿足上式，故，所以數列是等比數列，且公比為3，數列也是等比數列，且公比為9，首先為4，所以.考點：等比數列的前n項和.三、解答題 （本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.） 17.已知函數（1）求的單調減區(qū)間；（2）在銳角三角形ABC中，A、B、C的對邊且滿足,求的取值范圍.18.某中學高三年級從甲、乙兩個班級各選出七名學生參加數學競賽，他們取得的成績（滿分100分）的莖葉圖如圖所示，其中甲班學生的平均分是85，乙班學生成績的中位數是83，（1）求x和y的值；（2）計算甲班七名學生成績的方差；（3）從成績在90分以上的學生中隨機抽取兩名學生，求甲班至少有一名學生的概率.參考公式：方差其中【答案】（1）x=5,y=3；（2）40；（3）【解析】試題分析：(1)根據平均數計算公式可求，中位數是指將一組數據按照從小到大或者從大到小的順序排成一列，如果是奇數個數，中位數是最中間的數；如果是偶數個數，中位數是19.已知二次函數若對于任意,恒有成立，不等式的解集為A，(1)求集合A；(2)設集合，若集合B是集合A的子集，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】20.已知函數，（1）討論函數的單調性； （2）證明：.【答案】（1）在上單調遞減，在上單調遞增；（2）詳見解析【解析】試題分析：（1）對于確定函數的單調性，可利用的解集和定義域求交集，得遞增區(qū)間；的解集和定義域求交集，得遞減區(qū)間，如果和的解集不易解出來，可采取間接判斷導函數符號的辦法，該題，無法解不等式和，可設21.已知函數，（1）求在處切線方程；（2）求證：函數在區(qū)間上單調遞減；（3）若不等式對任意的都成立，求實數的最大值.；（2），令=， ， 在（0,1）上是減函數；（3） 兩邊取對數 即，令 設，設， 由（2）知函數在區(qū)間上單調遞減，在上是減函數，在上是減函數 即.考點：1、導數的幾何意義；2、導數在單調性上的應用；3、利用導數求最值.22.如圖，圓O的半徑OB垂直于直徑AC,M為AO上一點，BM的延長線交圓O于N，過N點的切線交CA的延長線于P（1）求證：；(2)若圓O的半徑為，OA=OM，求MN的長. 【答案】（1）詳見解析；（2）2【解析】試題分析：(1)因為是圓的切線，由切割線定理知，，故只需證明，故只需證明即可，即證，因為在中，故可聯想到將和直角聯系起來，所以連接，則，只需證明，易證；（2）圓O的半徑為，故，線段可求，要求的長，只需求，故延長交圓于點，連接，將放在中，可證明△BOM∽△BND，利用比例列式，求，從而求.試題解析：（1）證明：如圖，連接ON，則ONPN，且△OBN為等腰三角形，則, 根據切割線定理，有；23.已知直線的參數方程是（t為參數），圓C的極坐標為（1）將圓C的極坐標方程化為直角坐標系方程；（2）若圓上有且僅有三個點到直線的距離為，求實數的值.公共點有三個，故圓心到直線的距離為，列式求.試題解析：(1)由得，，所以，∴，即圓C的直角坐標系方程為：；24．已知函數（1）試求使等式成立的x的取值范圍；（2）若關于x的不等式的解集不是空集，求實數的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】試題分析：（1）設=，利用零點分段法，將和寫成分段函數的形式，然后觀察=時自變量的取值范圍即可；（2）這是不等式的有解問題，利用絕對值三角不等式求的最小值，.試題解析：（1）由=，又=，故使等式成立的x的取值范圍為；（2）.考點：1、零點分段法去絕對號；2、絕對值三角不等式；3、不等式有解問題.- 1 -【名師解析】遼寧省鐵嶺市第一高級中學2014屆高三上學期期中考試數學（理）試題 Word版解析
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