2015年上海市高三年級(jí)十三校第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)(理科)試卷考試時(shí)間：120分鐘 滿分：150分一、填空題(本大題滿分56分)本大題共有14題，每題4分．方程的解是 ．已知函數(shù)，則 ．若實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為 ．設(shè)（為虛數(shù)單位），則 則的值為 ． 除以5的余數(shù)是 ．在棱長為的正方體中，點(diǎn)和分別是矩形和的中心，則過點(diǎn)、、的平面截正方體的截面面積為______．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則 ．某公司推出了下表所示的QQ在線等級(jí)制度，設(shè)等級(jí)為級(jí)需要的天數(shù)為，等級(jí)等級(jí)圖標(biāo)需要天數(shù)等級(jí)等級(jí)圖標(biāo)需要天數(shù)157772128963211219243216320545321152660482496等級(jí)為級(jí)需要的天數(shù)10.若關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則的取值范圍為 .11.已知直線交極軸于點(diǎn)，過極點(diǎn)作的垂線，垂足為，現(xiàn)將線段繞極點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，則在旋轉(zhuǎn)過程中線段所掃過的面積為________．12.給定平面上四點(diǎn)滿足，則面積的最大值為 ．13. 對(duì)于非空實(shí)數(shù)集，定義．設(shè)非空實(shí)數(shù)集．現(xiàn)給出以下命題：（1）對(duì)于任意給定符合題設(shè)條件的集合必有（2）對(duì)于任意給定符合題設(shè)條件的集合必有； （3）對(duì)于任意給定符合題設(shè)條件的集合必有；（4）對(duì)于任意給定符合題設(shè)條件的集合必存在常數(shù)，使得對(duì)任意的，恒有．以上命題正確的是 ．14. 已知當(dāng)時(shí)，有，根據(jù)以上信息，若對(duì)任意,都有則 ．二、選擇題(本大題滿分20分)本大題共有4題，每題5分．15.集合，若“”是“”的充分條件，則的取值范圍是（　�。�（A）　　�。˙）　　　（C）　　　　�。―）16.函數(shù)則函數(shù)是（ ）（A）奇函數(shù)但不是偶函數(shù) （B）偶函數(shù)但不是奇函數(shù) （C）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) （D）既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)17.若,且．則下列結(jié)論正確的是( ) （A）　　　 （B）　　 �。–）　 （D）18.設(shè)、是定點(diǎn)，且均不在平面上,動(dòng)點(diǎn)在平面上,且，則點(diǎn)的軌跡為（ ）（A）圓或橢圓 （B）拋物線或雙曲線 （C）橢圓或雙曲線 （D）以上均有可能三、解答題(本大題共5小題，滿分74分)19.(本題滿分12分)如圖,設(shè)是一個(gè)高為的四棱錐,底面是邊長為的正方形,頂點(diǎn)在底面上的射影是正方形的中心．是棱的中點(diǎn)．試求直線與平面所成角的大小．20.（本題滿分14分，第一小題滿分5分，第二小題滿分9分）對(duì)于函數(shù)，若在定義域存在實(shí)數(shù)，滿足，則稱為“局部奇函數(shù)”．（1）已知二次函數(shù)，試判斷是否為“局部奇函數(shù)”？并說明理由；（2）設(shè)是定義在上的“局部奇函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 21.（本題滿分14分，第一小題滿分4分，第二小題滿分10分） 某超市在節(jié)日期間進(jìn)行有獎(jiǎng)促銷，凡在該超市購物滿400元的顧客，將獲得一次摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，規(guī)則如下：獎(jiǎng)盒中放有除顏色外完全相同的1個(gè)紅球，1個(gè)黃球，1個(gè)白球和1個(gè)黑球．．．（2）記為1名顧客摸獎(jiǎng)獲得的獎(jiǎng)金數(shù)額，求隨機(jī)變量的分布律和數(shù)學(xué)期望．．(1) 若圓心在拋物線上的動(dòng)圓，大小隨位置而變化，但總是與直線相切，求所有的圓都經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)；(2) 拋物線的焦點(diǎn)為,若過點(diǎn)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn),若,求直線的斜率；(3)若過正半軸上點(diǎn)的直線與該拋物線交于兩點(diǎn),為拋物線上異于的任意一點(diǎn),記連線的斜率為試求滿足成等差數(shù)列的充要條件．23. （本題滿分18分，第一小題滿分4分，第二小題滿分7分，第三小題滿分7分）設(shè)等差數(shù)列的公差為，且．若設(shè)是從開始的前項(xiàng)數(shù)列的和，即，，如此下去，其中數(shù)列是從第開始到第)項(xiàng)為止的數(shù)列的和，即． (1)若數(shù)列,試找出一組滿足條件的,使得： ； (2) 試證明對(duì)于數(shù)列，一定可通過適當(dāng)?shù)膭澐�，使所得的�?shù)列中的各數(shù)都為平方數(shù)； (3)若等差數(shù)列中．試探索該數(shù)列中是否存在無窮整數(shù)數(shù)列,使得為等比數(shù)列,如存在,就求出數(shù)列；如不存在，則說明理由．2015年高三年級(jí)十三校第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷答案（理科）考試時(shí)間：120分鐘 滿分：150分一、填空題(本大題滿分56分)本大題共有14題，每題4分．方程的解是 ．已知函數(shù)，則 ． 若實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為 4 ．設(shè)（為虛數(shù)單位），則 則的值為 0 ． 除以5的余數(shù)是 3 ．（理）在棱長為的正方體中，點(diǎn)和分別是矩形和的中心，則過點(diǎn)、、的平面截正方體的截面面積為______．某公司推出了下表所示的QQ在線等級(jí)制度，設(shè)等級(jí)為級(jí)需要的天數(shù)為，等級(jí)等級(jí)圖標(biāo)需要天數(shù)等級(jí)等級(jí)圖標(biāo)需要天數(shù)157772128963211219243216320545321152660482496等級(jí)為級(jí)需要的天數(shù)10.若關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則的取值范圍為 11.（理）已知直線交極軸于點(diǎn)，過極點(diǎn)作的垂線，垂足為，現(xiàn)將線段繞極點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，則在旋轉(zhuǎn)過程中線段所掃過的面積為________．12.給定平面上四點(diǎn)滿足，則面積的最大值為 ．13.（理） 對(duì)于非空實(shí)數(shù)集，定義。設(shè)非空實(shí)數(shù)集�，F(xiàn)給出以下命題：（1）對(duì)于任意給定符合題設(shè)條件的集合必有（2）對(duì)于任意給定符合題設(shè)條件的集合必有； （3）對(duì)于任意給定符合題設(shè)條件的集合必有；（4）對(duì)于任意給定符合題設(shè)條件的集合必存在常數(shù)，使得對(duì)任意的，恒有．以上命題正確的是 （1）（4） ．14．（理）已知當(dāng)時(shí)，有，根據(jù)以上信息，若對(duì)任意,都有則 ．二、選擇題(本大題滿分20分)本大題共有4題，每題5分．15.集合，若“”是“”的充分條件，則的取值范圍是（　B　）（A）　　�。˙）　　�。–）　　　　�。―）16.函數(shù)則函數(shù)是（ A）（A）奇函數(shù)但不是偶函數(shù) （B）偶函數(shù)但不是奇函數(shù) （C）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) （D）既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)17.若,且．則下列結(jié)論正確的是( D ) （A）　　　 （B）　　 　（C）　 （D）18.(理)設(shè)、是定點(diǎn)，且均不在平面上,動(dòng)點(diǎn)在平面上,且，則點(diǎn)的軌跡為（ D ）（A）圓或橢圓 （B）拋物線或雙曲線 （C）橢圓或雙曲線 （D）以上均有可能三、解答題(本大題共5小題，滿分74分)19.（理）（本題滿分12分） 如圖,設(shè)是一個(gè)高為的四棱錐,底面是邊長為的正方形,頂點(diǎn)在底面上的射影是正方形的中心．是棱的中點(diǎn)。試求直線與平面所成角的大小。解：（理）法1：設(shè)與平面所成角為。因?yàn)�，�?分）所以．所以．（4分）。所以．（6分）因?yàn)椋?分）所以,（10分）因此（11分）．則（12分）解法2：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間坐標(biāo)系。則（4分）所以（6分）設(shè)是平面的一個(gè)法向量，易求得（8分）設(shè)為與平面所成的角，因?yàn)椋?0分）所以：（11分）（12分）20.（本題滿分14分，第一小題滿分5分，第二小題滿分9分）對(duì)于函數(shù),若在定義域存在實(shí)數(shù),滿足,則稱為“局部奇函數(shù)”．（1）已知二次函數(shù)，試判斷是否為“局部奇函數(shù)”？并說明理由；（2）設(shè)是定義在上的“局部奇函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解:(1)為“局部奇函數(shù)”等價(jià)于關(guān)于的方程有解．即（3分）有解為“局部奇函數(shù)”． （5分） (2)當(dāng)時(shí), 可轉(zhuǎn)化為（8分）因?yàn)榈亩�義域?yàn)?所以方程在上有解,令,（9分）則因?yàn)樵谏线f減,在上遞增, （11分）（12分）即（14分）21.(理) （本題滿分14分，第一小題滿分4分，第二小題滿分10分） 某超市在節(jié)日期間進(jìn)行有獎(jiǎng)促銷，凡在該超市購物滿400元的顧客，將獲得一次摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，規(guī)則如下：獎(jiǎng)盒中放有除顏色外完全相同的1個(gè)紅球，1個(gè)黃球，1個(gè)白球和1個(gè)黑球．．．（2）記為1名顧客摸獎(jiǎng)獲得的獎(jiǎng)金數(shù)額，求隨機(jī)變量的分布律和數(shù)學(xué)期望．， 則 ，（4分）故1名顧客摸球2次停止摸獎(jiǎng)的概率．（2）解：隨機(jī)變量的所有取值為．，,，（9分）所以，隨機(jī)變量的分布列為: 10203040 （12分）．22.（本題滿分16分，第一小題滿分4分，第二小題滿分5分，第三小題滿分7分）已知拋物線．(1) 若圓心在拋物線上的動(dòng)圓，大小隨位置而變化，但總是與直線相切，求所有的圓都經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo);(2) 拋物線的焦點(diǎn)為,若過點(diǎn)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn),若,求直線的斜率;(3) （理）若過正半軸上點(diǎn)的直線與該拋物線交于兩點(diǎn),為拋物線上異于的任意一點(diǎn),記連線的斜率為,試求滿足成等差數(shù)列的充要條件。(3) （理）設(shè)直線的方程為,代入,得:,設(shè),則（11分）若，即有，即：由此得：，，（15分）所以當(dāng)直線的方程為時(shí)，也就是成立的充要條件是直線與軸相垂直。 （16分）23.（理）（本題滿分18分，第一小題滿分4分，第二小題滿分7分，第三小題滿分7分）設(shè)等差數(shù)列的公差為，且．若設(shè)是從開始的前項(xiàng)數(shù)列的和，即，，如此下去，其中數(shù)列是從第開始到第)項(xiàng)為止的數(shù)列的和，即． (1)若數(shù)列,試找出一組滿足條件的,使得： ；(2) 試證明對(duì)于數(shù)列，一定可通過適當(dāng)?shù)膭澐郑�使所得的�?shù)列中的各數(shù)都為平方數(shù)；(3)若等差數(shù)列中．試探索該數(shù)列中是否存在無窮整數(shù)數(shù)列,使得為等比數(shù)列,如存在,就求出數(shù)列；如不存在，則說明理由．解：（1）則;（4分） (2)記即,又由，,所以第二段可取3個(gè)數(shù)，；再由，即,因此第三段可取9個(gè)數(shù)，即，依次下去, 一般地:, （6分）所以，（8分）（9分）則．由此得證．（11分）（3）不存在．令,則 假設(shè)存在符合題意的等差數(shù)列, 則的公比必為大于的整數(shù),(,因此，即此時(shí),注意到, （14分）要使成立,則必為完全平方數(shù), （16分）但,矛盾．因此不存在符合題意的等差數(shù)列． （18分）！第1頁 共11頁學(xué)優(yōu)高考網(wǎng)�。∩虾Ｊ惺�三校2015屆高三3月第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)理試題
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