高二年級(jí)期末考試選修2-2一、選擇題1.曲線y=ex在點(diǎn)A（0，1）處的切線斜率為（ ）A．1B．2C．eD．2.曲線y=x3+2在點(diǎn)P（1，3）處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是（ ）A．-1B．-2C．0D．53.f（x）=x3-3x2+2在區(qū)間[-1，1]上的最大值是（ ）A．-2B．0C．2D．44.設(shè)f（x）=xlnx，若f′（x）=2，則x=（ ）A．e2B．eC．D．ln25.i是虛數(shù)單位1+i3等于（ ）A．iB．-iC．1+iD．1-i6.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（ ）A．i+2B．i-2C．-2-iD．2-i7.用反證法證明命題：“若，那么，，中至少有一個(gè)不小于”時(shí)，反設(shè)正確的是　　　（　�。�，，都不小于B．假設(shè)，，都小于C．假設(shè)，，至多有兩個(gè)小于D．假設(shè)，，至多有一個(gè)小于8.關(guān)于綜合法和分析法說(shuō)法錯(cuò)誤的是?（）B．綜合法又叫順推證法或由因?qū)Ч�法C．分析法又叫逆推證法或執(zhí)果索因法D．綜合法和分析法都是因果分別互推的兩頭湊法9.不等式的解集為 （ ）A．（，1）∪（1，） B．（－∞，）∪（，+∞）C．（－∞，1）∪（，+∞） D．（，1）∪（，+∞）10.若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則B．C．D．不存在二、填空題11.函數(shù)f（x）=2x+lnx在x=1處的切線方程為 ．12.由直線x+y-2=0，曲線y=x3以及x軸所圍成的封閉圖形的面積為 ．13. 設(shè)是實(shí)數(shù)，且是實(shí)數(shù)，則 。14.表示虛數(shù)單位，則的值是 .15.觀察下列等式1=1，2+3+4=9，3+4+5+6+7=25，4+5+6+7+8+9+10=49，…照此規(guī)律，第六個(gè)等式是 ．三、解答題16.已知在數(shù)列{an}中，．（1）試求a2，a3，a4，a5的值；（2）歸納猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式．17.已知復(fù)數(shù)z1滿足（z1-2）i=1+i，復(fù)數(shù)z2的虛部為2，且z1?z2是實(shí)數(shù)，求復(fù)數(shù)z2的模．18.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的極值；（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．19.定義在R上的函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+3同時(shí)滿足以下條件：①f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)；?②f′（x）是偶函數(shù)；③f（x）在x=0處的切線與直線y=x+2垂直．（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的解析式；（Ⅱ）設(shè)g（x）=4lnx-m，若存在x∈[1，e]，使g（x）＜f′（x），求實(shí)數(shù)m的取值范圍．20.的圖象過點(diǎn)，且在和上為增函數(shù)，在上為減函數(shù).（I）的解析式；（II）在上的極值.21.（本小題滿分12分）用數(shù)學(xué)歸納法證明：　　　　參考答案一、選擇題1.分析：由曲線的解析式，求出導(dǎo)函數(shù)，然后把切點(diǎn)的橫坐標(biāo)x=0代入，求出對(duì)應(yīng)的導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值即為切線方程的斜率．解答：解：由y=ex，得到y(tǒng)′=ex，把x=0代入得：y′x=0=1，則曲線y=ex在點(diǎn)A（0，1）處的切線斜率為1．故選A．點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點(diǎn)切線方程的斜率，是一道基礎(chǔ)題．2.分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f（x）在x=1處的導(dǎo)數(shù)，從而求出切線的斜率，再用點(diǎn)斜式寫出切線方程，化成一般式，最后令x=0解得的y即為曲線y=x3+2在點(diǎn)P（1，3）處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)．解答：解：∵y=x3+2，∴y'=3x2則y'x=1=3x2x=1=3∴曲線y=x3+2在點(diǎn)P（1，3）處的切線方程為y-3=3（x-1）即3x-y=0令x=0解得y=0∴曲線y=x3+2在點(diǎn)P（1，3）處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是0．故選C．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)等有關(guān)問題，屬于基礎(chǔ)題．3.分析：由題意先對(duì)函數(shù)y進(jìn)行求導(dǎo)，解出極值點(diǎn)，然后再根據(jù)函數(shù)的定義域，把極值點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)值代入已知函數(shù)，判斷函數(shù)在區(qū)間上的增減性，比較函數(shù)值的大小，求出最大值，從而求解．解答：解：f'（x）=3x2-6x=3x（x-2），令f'（x）=0可得x=0或2（2舍去），當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，f'（x）＞0，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f'（x）＜0，∴當(dāng)x=0時(shí)，f（x）取得最大值為f（0）=2．故選C點(diǎn)評(píng)：此題考查導(dǎo)數(shù)的定義及利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求閉區(qū)間函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是求導(dǎo)要精確．4.分析：利用乘積的運(yùn)算法則求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出f'（x）=2解方程即可．解答：解：∵f（x）=xlnx∴∵f′（x0）=2∴l(xiāng)nx+1=2∴x=e，故選B．點(diǎn)評(píng)：本題考查兩個(gè)函數(shù)積的導(dǎo)數(shù)及簡(jiǎn)單應(yīng)用．導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用是高考中的常考內(nèi)容，要認(rèn)真掌握，并確保得分．5.分析：由復(fù)數(shù)單位的定義，我們易得i2=-1，代入即可得到1+i3的值．解答：解：∵i是虛數(shù)單位∴i2=-11+i3=1-i故選D點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是虛數(shù)單位i及其性質(zhì)，屬簡(jiǎn)單題，其中熟練掌握虛數(shù)單位i的性質(zhì)i2=-1是解答本類問題的關(guān)鍵．6.分析：首先要對(duì)所給的復(fù)數(shù)進(jìn)行整理，分子和分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，化簡(jiǎn)到最簡(jiǎn)形式，把得到的復(fù)數(shù)虛部變?yōu)橄喾磾?shù)，得到要求的共軛復(fù)數(shù)．解答：解：∵復(fù)數(shù)==-2-i，∴共軛復(fù)數(shù)是-2+i故選B．點(diǎn)評(píng)：復(fù)數(shù)的加減乘除運(yùn)算是比較簡(jiǎn)單的問題，在高考時(shí)有時(shí)會(huì)出現(xiàn)，若出現(xiàn)則是要我們一定要得分的題目．7.B【解析】試題分析：根據(jù)題意，由于反證法證明命題：“若，那么，，中至少有一個(gè)不小于”時(shí)，即將結(jié)論變?yōu)榉穸ň褪菍?duì)命題的反設(shè)，因此可知至少有一個(gè)的否定是一個(gè)也沒有，或者說(shuō)假設(shè)，，都小于，故答案為B.考點(diǎn)：反證法點(diǎn)評(píng)：主要是考查了反證法的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題。8.D【解析】試題分析：根據(jù)題意，由于綜合法和分析法分別是從條件入手推出結(jié)論和從結(jié)論入手得到結(jié)論成立的充分條件法，同時(shí)綜合法和分析法是直接證明中最基本的兩種證明方法，故可知綜合法又叫順推證法或由因?qū)Ч�法，分析法又叫逆推證法或執(zhí)果索因法。因此可知答案為D.考點(diǎn)：綜合法和分析法點(diǎn)評(píng)：主要是考查了綜合法和分析法的概念的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題。9.【解析】略10.B【解析】試題分析：由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知：，所以�？键c(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義。點(diǎn)評(píng)：直接考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題型。二、填空題11.分析：由f（x）=2x+lnx，知f（1）=2，，k=f′（1）=3，由此能求出f（x）在x=1處的切線方程．解答：解：∵f（x）=2x+lnx，∴f（1）=2，，∴k=f′（1）=3，∴f（x）在x=1處的切線方程為y-2=3（x-1），即3x-y-1=0．故答案為：3x-y-1=0．點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的切線方程的求法，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．12.分析：先求出兩曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)（1，1），再由面積與積分的關(guān)系將面積用積分表示出來(lái)，由公式求出積分，即可得到面積值．解答：解：由題意令 解得交點(diǎn)坐標(biāo)是（1，1）故由直線x+y-2=0，曲線y=x3以及x軸圍成的圖形的面積為：∫1x3dx+∫12（2-x）dx=x4 +（2x-x2） =+=．故答案為：點(diǎn)評(píng)：本題考查定積分在求面積中的應(yīng)用，解答本題關(guān)鍵是根據(jù)題設(shè)中的條件建立起面積的積分表達(dá)式，再根據(jù)相關(guān)的公式求出積分的值，用定積分求面積是其重要運(yùn)用，掌握住一些常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的求法是解題的知識(shí)保證．13.【解析】解：因?yàn)?4.0【解析】15.分析：由圖知，第n個(gè)等式的等式左邊第一個(gè)數(shù)是n，共2n-1個(gè)連續(xù)整數(shù)的和，右邊是奇數(shù)2n-1的平方，即可得結(jié)果．解答：解：觀察下列等式 1=1 2+3+4=9? 3+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49 …由圖知，第n個(gè)等式的等式左邊第一個(gè)數(shù)是n，共2n-1個(gè)連續(xù)整數(shù)的和，右邊是奇數(shù)2n-1的平方，故有n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-2）=（2n-1）2．∴照此規(guī)律，第六個(gè)等式是6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16=112=121．故答案為：6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16=121．點(diǎn)評(píng)：本題考查歸納推理的運(yùn)用，關(guān)鍵是從所給的式子中，發(fā)現(xiàn)變化的規(guī)律．三、解答題16.分析：（1）把n=1及a1=3代入已知的等式即可求出a2的值，把n=2及a2的值代入已知的等式即可求出a3的值，把n=3及a3的值代入已知等式即可求出a4的值，把n=4及a4的值代入已知的等式即可求出a5的值；（2）然后把求出的五項(xiàng)的值觀察規(guī)律，即可歸納總結(jié)得到這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式an．解答：解：（1），兩邊取倒數(shù)，可變形為：，把n=1及a1=3代入，即可求出a2=，把n=2及a2的值代入，即可求出a3=1，依次得到：a4=，a5=．（2）從上面的式子中歸納猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式為：，n∈N*．點(diǎn)評(píng)：此題考查數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法、歸納推理，會(huì)根據(jù)一組數(shù)據(jù)的特點(diǎn)歸納總結(jié)得出一般性的規(guī)律，是一道基礎(chǔ)題．17.分析：利用兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法法則求得z1，設(shè)出z2=a+2i，根據(jù)z1?z2是實(shí)數(shù)，求得a的值，即可求復(fù)數(shù)z2的模．解答：解：由（z1-2）i=1+i，可得 z1=+2=3-i．由于復(fù)數(shù)z2的虛部為2，可設(shè)z2=a+2i，再根據(jù) z1?z2=（3-i）（a+2i）=（3a+2）+（6-a）i 為實(shí)數(shù)，可得 6-a=0，故 a=6，∴z2==2．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查復(fù)數(shù)的基本概念，兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法法則的應(yīng)用，虛數(shù)單位i的冪運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．18.分析：（1）求出f′（x），根據(jù)函數(shù)單調(diào)性及極值的定義即可求得；（2）借助（1）問的結(jié)論可求．解答：解：（1）f′（x）=x2-4=（x+2）（x-2），當(dāng)x＜-2時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)-2＜x＜2時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x＞2時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．所以當(dāng)x=-2時(shí)，f（x）有極大值f（-2）=-+8+4=，當(dāng)x=2時(shí)，f（x）有極小值f（2）=-8+4=-．（2）由（1）知，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為：（-∞，-2），（2，+∞）；單調(diào)減區(qū)間為：（-2，2）．點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值及單調(diào)性問題，屬基礎(chǔ)題．19.分析：（Ⅰ）求出f′（x）=3ax2+2bx+c，由f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)，得到f′（1）=3a+2b+c=0，再由函數(shù)的奇偶性和切線方程能夠求出函數(shù)y=f（x）的解析式．（Ⅱ）若存在x∈[1，e]，使4lnx-m＜x2-1，即存在x∈[1，e]，使m＞4lnx-x2+1，由此入手，結(jié)合題設(shè)條件，能夠求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．解答：解：（Ⅰ）f′（x）=3ax2+2bx+c∵f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)，∴f′（1）=3a+2b+c=0…①…（1分）由f′（x）是偶函數(shù)得：b=0②…（2分）又f（x）在x=0處的切線與直線y=x+2垂直，f′（0）=c=-1③…（3分）由①②③得：，即…（4分）（Ⅱ）由已知得：若存在x∈[1，e]，使4lnx-m＜x2-1，即存在x∈[1，e]，使m＞4lnx-x2+1設(shè)h（x）=4lnx-x2+1m＞hmin，對(duì)h（x）求導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)在（0，）大于零，（高二年級(jí)下學(xué)期期末考試選修2-2（中）
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