2015年全國各地高考文科數(shù)學(xué)試題分類匯編7：立體幾何
一、
1 ．（2015年高考重慶卷（文））某幾何體的三視圖如題(8)所示,則該幾何體的表面積為
（ �。�
A． B． C． D．
【答案】D
2 ．（2015年高考課標(biāo)Ⅱ卷（文））一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系 中的坐標(biāo)分別是 ,畫該四面體三視圖中的正視圖時(shí),以 平面為投影面,則得到正視圖可以為
（ �。�
A．B．C．D．
【答案】A
3 ．（2015年高考課標(biāo)Ⅰ卷（文））某幾何函數(shù)的三視圖如圖所示,
則該幾何的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
4 ．（2015年高考大綱卷（文））已知正四棱錐
的正弦值等于（ �。�
A． B． C． D．
【答案】A
5 ．（2015年高考四川卷（文））一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,
則該幾何體可以是（ ）
A．棱柱B．棱臺(tái)C．圓柱D．圓臺(tái)
【答案】D
6 ．（2015年高考浙江卷（文））已知某幾何體的三視圖(單位:c)如圖所示,
則該幾何體的體積是（ �。�
A．108c3B．100 c3C．92c3D．84c3
【答案】B
7 ．（2015年高考北京卷（文））如圖,在正方體 中, 為
對(duì)角線 的三等分點(diǎn),則 到各頂點(diǎn)的距離的不同取值有 （ �。�
A．3個(gè)B．4個(gè)C．5個(gè)D．6個(gè)
【答案】B
8 ．（2015年高考廣東卷（文））某三棱錐的三視圖如圖 2所示,則該三棱錐
的體積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
9 ．（2015年高考湖南（文））已知正方體的棱長為1,其俯視圖是一個(gè)面積為1
的正方形,側(cè)視圖是一個(gè)面積為 的矩形,則該正方體的正視圖的面積等于（ �。�
A． B．1C． D．
【答案】D
10．（2015年高考浙江卷（文））設(shè).n是兩條不同的直線,α.β是兩個(gè)不同的平面,（ �。�
A．若∥α,n∥α,則∥nB．若∥α,∥β,則α∥β
C．若∥n,⊥α,則n⊥αD．若∥α,α⊥β,則⊥β
【答案】C
11．（2015年高考遼寧卷（文））已知三棱柱 的6個(gè)頂點(diǎn)都在球 的球面上,若 , , ,則球 的半徑為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
12．（2015年高考廣東卷（文））設(shè) 為直線, 是兩個(gè)不同的平面,下列命題中正確的是（ �。�
A．若 , ,則 B．若 , ,則
C．若 , ,則 D．若 , ,則
【答案】B
13．（2015年高考山東卷（文 ））一個(gè)四棱錐的側(cè)棱長都相等,底面是正方形,其正(主)
視圖如右圖所示該四棱錐側(cè)面積和體積分別是（ �。�
A． B． C． D．8,8
【答案】B
14．（2015年高考江西卷（文））一幾何體的三視圖如右所示,則該幾何體
的體積為（ ）
A．200+9πB．200+18πC．140+9πD．140+18π
【答案】A
二、題
15．（2015年高考課標(biāo)Ⅱ卷（文））已知正四棱錐O-ABCD的體積為 ,底面
邊長為 ,則以O(shè)為球心,OA為半徑的球的表面積為________.
【答案】
16．（2015年高考湖北卷（文））我國古代數(shù)學(xué) 名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題:在下雨時(shí),用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直徑為二尺八寸,盆底直徑為一尺二寸,盆深一尺八寸. 若盆中積水深九寸,則平地降雨量是__________寸.
(注:①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積;②一尺等于十寸)
【答案】3
17．（2015年高考課標(biāo)Ⅰ卷（文））已知 是球 的直徑 上一點(diǎn), , 平面 , 為垂足, 截球 所得截面的面積為 ,則球 的表面積為_______.
【答案】 ;
18．（2015年高考北京卷（文））某四棱錐的三視圖如圖所示,該四棱錐的體積為__________.
【答案】3
19．（2015年高考陜西卷（文））某幾何體的三視圖如圖所示, 則其表面積為________.
【答案】
20．（2015年高考大綱卷（文））已知圓 和圓 是球 的大圓和小圓,其公共弦長等于球 的半徑, 則球 的表面積等于______.
【答案】
21．（2015年上海高考數(shù)學(xué)試題（文科））已知圓柱 的母線長為 ,底面半徑為 , 是上地面圓心, 、 是下底面圓周上兩個(gè)不同的點(diǎn), 是母線,如圖.若 直線 與 所成角的大小為 ,則 ________.
【答案】
22．（2015年高考天津卷（文））已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上. 若球的體積為 , 則正方體的棱長為 ______.
【答案】
23．（2015年高考遼寧卷（文））某幾何體的三視圖如圖所示,則該
幾何體的體積是____________.
【答案】
24．（2015年高考江西卷（文））如圖,正方體的底面與正四面體的底面在同
一平面α上,且AB//CD,則直線EF與正方體的六個(gè)面所在的平面相交的平面?zhèn)�數(shù)為_____________.
【答案】4
25．（2015年高考安徽（文））如圖,正方體
的棱長為1, 為 的中點(diǎn),
為 線段 上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn) 的平
面截該正方體所得的截面記為 ,則下列命題正確的是__________(寫出所有正確命題的編號(hào)).
①當(dāng) 時(shí), 為四邊形;②當(dāng) 時(shí), 為等腰梯形;
③當(dāng) 時(shí), 與 的交點(diǎn) 滿足 ;
④當(dāng) 時(shí), 為六邊形;⑤當(dāng) 時(shí), 的面積為 .
【答案】①②③⑤
三、解答題
26．（2015年高考遼寧卷（文））如圖,
(I)求證:
(II)設(shè)
【答案】
27．（2015年高考浙江卷（文））如圖,在在四棱錐P-ABCD中,PA⊥面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=7,PA=3,∠ABC=120°,G為線段PC上的點(diǎn).
(Ⅰ)證明:BD⊥面PAC ;
(Ⅱ)若G是PC的中點(diǎn),求DG與APC所成的角的正切值;
(Ⅲ)若G滿足PC⊥面BGD,求PGGC 的值.
【答案】解:證明:(Ⅰ)由已知得三角形 是等腰三角形,且底角等于30°,且 ,所以;、 ,又因?yàn)?;
(Ⅱ)設(shè) ,由(1)知 ,連接 ,所以 與面 所成的角是 ,由已知及(1)知: , ,所以 與面 所成的角的正切值是 ;
(Ⅲ)由已知得到: ,因?yàn)?,在 中, ,設(shè)
28．（2015年高考陜西卷（文））如圖, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O為底面中心, A1O⊥平面ABCD, .
(Ⅰ) 證明: A1BD // 平面CD1B1;
(Ⅱ) 求三棱柱ABD-A1B1D1的體積.
【答案】解: (Ⅰ) 設(shè) .
.
.(證畢)
(Ⅱ) .
在正方形AB CD中,AO = 1 .
.
所以, .
29．（2015年高考福建卷（文））如圖,在四棱錐 中, , , ,
, , , .
(1)當(dāng)正視圖方向與向量 的方向相同時(shí),畫出四棱錐 的正視圖.
(要求標(biāo)出尺寸,并畫出演算過程);
(2)若 為 的中點(diǎn),求證: ;
(3)求三棱錐 的體積.
【答案】解法一:(Ⅰ)在梯形 中,過點(diǎn) 作 ,垂足為 , 由已知得,四邊形 為矩形, ,在 中,由 , ,依勾股定理得:
,從而 ,又由 平面 得,
從而在 中,由 , ,得
正視圖如右圖所示:
(Ⅱ)取 中點(diǎn) ,連結(jié) , ,在 中, 是 中點(diǎn),
∴ , ,又 ,
∴ , , ∴四邊形 為平行四邊形,∴
又 平面 , 平面 , ∴ 平面
(Ⅲ) ,
又 , ,所以
解法二:
(Ⅰ)同解法一
(Ⅱ)取 的中點(diǎn) ,連結(jié) ,
在梯形 中, ,且 ,∴四邊形 為平行四邊形
∴ ,又 平面 , 平面
∴ 平面 ,又在 中,
平面 , 平面
∴ 平面 .又 ,
∴平面 平面 ,又 平面
∴ 平面
(Ⅲ)同解法一
30．（2015年高考廣東卷（文））如圖4,在邊長為1的等邊三角形 中, 分別是 邊上的點(diǎn), , 是 的中點(diǎn), 與 交于點(diǎn) ,將 沿 折起,得到如圖5所示的三棱錐 ,其中 .
(1) 證明: //平面 ;
(2) 證明: 平面 ;
(3) 當(dāng) 時(shí),求三棱錐 的體積 .
【答案】(1)在等邊三角形 中,
,在折疊后的三棱錐 中
也成立, , 平面 ,
平面 , 平面 ;
(2)在等邊三角形 中, 是 的中點(diǎn),所以 ①,
.
在三棱錐 中, , ②
;
(3)由(1)可知 ,結(jié)合(2)可得 .
31．（2015年高考湖南（文））如圖2.在直菱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC= ,AA1=3,D是BC的中點(diǎn),點(diǎn)E在菱BB1上運(yùn)動(dòng).
(I)證明:AD⊥C1E;
(II)當(dāng)異面直線AC,C1E 所成的角為60°時(shí),求三菱子C1-A2B1E的體積.
【答案】解: (Ⅰ) .
.
(證畢)
(Ⅱ) .
.
32．（2015年高考北京卷（文））如圖,在四棱錐 中, , , ,平面 底面 , , 和 分別是 和 的中點(diǎn),求證:
(1) 底面 ;(2) 平面 ;(3)平面 平面
【答案】(I)因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD,且PA垂直于這個(gè)平面的交線AD
所以PA垂直底面ABCD.
(II)因?yàn)锳B∥CD,CD=2AB,E為CD的中點(diǎn)
所以AB∥DE,且AB=DE
所以ABED為平行四邊形,
所以BE∥AD,又因?yàn)锽E 平面PAD,AD 平面PAD
所以BE∥平面PAD.
(III)因?yàn)锳B⊥AD,而且ABED為平行四邊形
所以BE⊥CD,AD⊥CD,由(I)知PA⊥底面ABCD,
所以PA⊥CD,所以CD⊥平面PAD
所以CD⊥PD,因?yàn)镋和F分別是CD和PC的中點(diǎn)
所以PD∥EF,所以CD⊥EF,所以CD⊥平面BEF,所以平面BEF⊥平面PCD.
33．（2015年高考課標(biāo)Ⅰ卷（文））如圖,三棱柱 中, ,
, .
(Ⅰ)證明: ;
(Ⅱ)若 , ,求三棱柱 的體積.
【答案】【答案】(I)取AB的中點(diǎn)O,連接 、 、 ,
因?yàn)镃A=CB,所以 ,由于AB=A A1,∠BA A1=600,故 為等邊三角形,所以O(shè)A ⊥AB.
因?yàn)镺C⨅OA =O,所以AB 平面OA C.又A CC平面OA C,故AB AC.
(II)由題設(shè)知
34．（2015年高考山東卷（文））如圖,四棱錐 中, , ,
分別為 的中點(diǎn)
(Ⅰ)求證: ;(Ⅱ)求證:
【答案】
35．（2015年高考四川卷（文））
如圖,在三棱柱 中,側(cè)棱 底面 , , ,
分別是線段 的中點(diǎn), 是線段 上異于端點(diǎn)的點(diǎn).
(Ⅰ)在平面 內(nèi),試作出過點(diǎn) 與平面 平行的直線 ,說明理由,并證明直線 平面 ;
(Ⅱ)設(shè)(Ⅰ)中的直線 交 于點(diǎn) ,求三棱錐 的體積.
(錐體體積公式: ,其中 為底面面積, 為高)
【答案】解:(Ⅰ)如圖,在平面ABC內(nèi),過點(diǎn) 作直線 ,因?yàn)?在
平面 外,BC在平面 內(nèi),由直線與平面平行的判定定理可知, 平面 .
由已知, , 是BC中點(diǎn),所以BC⊥ AD,則直線 ,
又因?yàn)?底面 ,所以 ,
又因?yàn)锳D, 在平面 內(nèi),且AD與 相交,
所以直線 平面
(Ⅱ)過D作 于E,因?yàn)?平面 ,所以 ,
又因?yàn)锳C, 在平面 內(nèi),且AC與 相交,所以 平面 ,
由 ,∠BAC ,有 ,∠DAC ,
所以在△ACD中, ,
又 ,所以
因此三棱錐 的體積為
36．（2015年高考湖北卷（文））如圖,某地質(zhì)隊(duì)自水平地面A,B,C三處垂直向地下鉆探,自A點(diǎn)向下鉆到A1處發(fā)現(xiàn)礦藏,再繼續(xù)下鉆到A2處后下面已無礦,從而得到在A處正下方的礦層厚度為 .同樣可得在B,C處正下方的礦層厚度分別為 , ,且 . 過 , 的中點(diǎn) , 且與直線 平行的平面截多面體 所得的截面 為該多面體的一個(gè)中截面,其面積記為 .
(Ⅰ)證明:中截面 是梯形;
(Ⅱ)在△ABC中,記 ,BC邊上的高為 ,面積為 . 在估測三角形 區(qū)域內(nèi)正下方的礦藏儲(chǔ)量(即多面體 的體積 )時(shí),可用近似公式 來估算. 已知 ,試判斷 與V的大小關(guān)系,并加以證明.
【答案】(Ⅰ)依題意 平面 , 平面 , 平面 ,
所以A1A2∥B1B2∥C1C2. 又 , , ,且 .
因此四邊形 、 均是梯形.
由 ∥平面 , 平面 ,且平面 平面 ,
可得AA2∥E,即A1A2∥DE. 同理可證A1A2∥FG,所以DE∥FG.
又 、 分別為 、 的中點(diǎn),
則 、 、 、 分別為 、 、 、 的中點(diǎn),
即 、 分別為梯形 、 的中位線.
因此 , ,
而 ,故 ,所以中截面 是梯形.
(Ⅱ) . 證明如下:
由 平面 , 平面 ,可得 .
而E∥A1A2,所以 ,同理可得 .
由 是△ 的中位線,可得 即為梯形 的高,
因此 ,
即 .
又 ,所以 .
于是 .
由 ,得 , ,故 .
37．（2015年高考課標(biāo)Ⅱ卷（文 ））如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E
分別是AB,BB1的中點(diǎn).
(1)證明: BC1//平面A1CD;
(2)設(shè)AA1= AC=CB=2,AB=2 ,求三棱錐C一A1DE的體積.
【答案】
38．（2015年高考大綱卷（文））如圖,四棱錐P-ABCD中，∠ABC=∠BAD=900，BC=2AD，△PAB與△PAD
都是邊長為2的等邊三角形.
(I)證明:PB⊥CD； (II)求點(diǎn)A到平面PCD的距離.
【答案】(Ⅰ)證明:取BC的中點(diǎn)E,連結(jié)DE,則ABED為正方形.
過P作PO⊥平面ABCD,垂足為O.
連結(jié)OA,OB,OD,OE.
由 和 都是等邊三角形知PA=PB=PD,
所以O(shè)A=OB=OD,即點(diǎn)O為正方形ABED對(duì)角線的交點(diǎn),
故 ,從而 .
因?yàn)镺是BD的中點(diǎn),E是BC的中點(diǎn),
所以O(shè)E//CD.因此, .
(Ⅱ)解:取PD的中點(diǎn)F,連結(jié)OF,則OF//PB.
由(Ⅰ)知, ,故 .
又 , ,
故 為等腰三角形,因此, .
又 ,所以 平面PCD.
因?yàn)锳E//CD, 平面PCD, 平面PCD,所以AE//平面PCD.
因此,O到平面PCD的距離OF就是A到平面PCD的距離,而 ,
所以A至平面PCD的距離為1.
39．（2015年高考安徽（文））如圖,四棱錐 的底面 是
邊長為2的菱形, .已知 .
(Ⅰ)證明:
(Ⅱ)若 為 的中點(diǎn),求三菱錐 的體積.
【答案】解:
(1)證明:連接 交于 點(diǎn)
又 是菱形
而 ⊥面 ⊥
(2) 由(1) ⊥面
=
40．（2015年上海高考數(shù)學(xué)試題（文科））如圖,正三棱錐
底面邊長為 ,高為 ,求該三棱錐的體積及表面積.
【答案】
41．（2015年高考天津卷（文））
如圖, 三棱柱ABC-A1B1C1中, 側(cè)棱A1A⊥底面ABC,且各棱長均相等. D, E, F分別為棱AB, BC, A1C1的中點(diǎn).
(Ⅰ) 證明EF//平面A1CD;
(Ⅱ) 證明平面A1CD⊥平面A1ABB1;
(Ⅲ) 求直線BC與平面A1CD所成角的正弦值.
【答案】
42．（2015年高考重慶卷（文））(本小題滿分12 分,(Ⅰ)小問5分,(Ⅱ)小問7分)
如題(19)圖,四棱錐 中, ⊥底面 , , ,
(Ⅰ)求證: ⊥平面 ;
(Ⅱ)若側(cè)棱 上的點(diǎn) 滿足 ,求三棱錐 的體積.
【答案】
43．（2015年高考江西卷（文））如圖,直四棱柱ABCD ? A1B1C1D1中,AB//CD,
AD⊥AB,AB=2,AD= ,AA1=3,E為CD上一點(diǎn),DE=1,EC=3
(1)證明:BE⊥平面BB1C1C;
(2)求點(diǎn)B1 到平面EA1C1 的距離
【答案】解.(1)證明:過B作CD的垂線交CD于F,則
在
在 ,故
由
(2)
,
同理,
因此 .設(shè)點(diǎn)B1到平面 的距離為d,則
,從而
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