2013年全國高校自主招生數(shù)學(xué)模擬試卷六

一、選擇題(36分)
1．刪去正整數(shù)數(shù)列1，2，3，……中的所有完全平方數(shù)，得到一個新數(shù)列．這個數(shù)列的第2003項是
(A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 2049
2．設(shè)a，b∈R，ab≠0，那么直線ax－y+b=0和曲線bx2+ay2=ab的圖形是

3．過拋物線y2=8(x+2)的焦點F作傾斜角為60°的直線，若此直線與拋物線交于A、B兩點，弦AB的中垂線與x軸交于點P，則線段PF的長等于
(A) 163 (B) 83 (C) 1633 (D) 83
4．若x∈[－512 ，－3 ]，則y=tan(x+23 )－tan(x+6 )+cos(x+6 )的最大值是
(A) 1252 (B) 1162 (C) 1163 (D) 1253
5．已知x，y都在區(qū)間(－2，2)內(nèi)，且xy=－1，則函數(shù)u=44－x2+99－y2的最小值是
(A) 85 (B) 2411 (C) 127 (D) 125
6．在四面體ABCD中， 設(shè)AB=1，CD=3，直線AB與CD的距離為2，夾角為3，則四面體ABCD的體積等于
(A) 32 (B) 12 (C) 13 (D) 33
二．填空題(每小題9分，共54分)
7．不等式x3－2x2－4x+3<0的解集是 ．
8．設(shè)F1、F2是橢圓x29+y24=1的兩個焦點，P是橢圓上一點，且PF1∶PF2=2∶1，則△PF1F2的面積等于 ．
9．已知A={xx2－4x+3<0，x∈R}，
B={x21－x+a≤0，x2－2(a+7)x+5≤0，x∈R}
若AB，則實數(shù)a的取值范圍是 ．
10．已知a，b，c，d均為正整數(shù)，且logab=32，logcd=54，若a－c=9，則b－d= ．
11．將八個半徑都為1的球分放兩層放置在一個圓柱內(nèi)，并使得每個球都和其相鄰的四個球相切，且與圓柱的一個底面及側(cè)面都相切，則此圓柱的高等于 ．
12． 設(shè)n={(十進制)n位純小數(shù)0.－a1a2…anai只取0或1(i=1，2，…，n－1)，an=1}，Tn 是n中元素的個數(shù)，Sn是n中所有元素的和，則lin→∞SnTn= ．
三、（20分）
13．設(shè)32≤x≤5，證明不等式
2x+1+2x－3+15－3x<219．

四、(20分)
14．設(shè)A、B、C分別是復(fù)數(shù)Z0=ai，Z1=12+bi，Z2=1+ci(其中a，b，c都是實數(shù))對應(yīng)的不共線的三點．證明：曲線
Z=Z0cos4t+2Z1cos2tsin2t+Z2sin4t (t∈R)
與△ABC中平行于AC的中位線只有一個公共點，并求出此點．

五、(本題滿分20分)
15．一張紙上畫有一個半徑為R的圓O和圓內(nèi)一個定點A，且OA=a，折疊紙片，使圓周上某一點A剛好與點A重合．這樣的每一種折法，都留下一條折痕．當(dāng)A取遍圓周上所有點時，求所有折痕所在直線上點的集合．

2013年全國高校自主招生數(shù)學(xué)模擬試卷六
參考答案
一、選擇題(每小題6分，共36分)
1．刪去正整數(shù)數(shù)列1，2，3，……中的所有完全平方數(shù)，得到一個新數(shù)列．這個數(shù)列的第2003項是
(A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 2049
解：452=2025，462=2116．
在1至2025之間有完全平方數(shù)45個，而2026至2115之間沒有完全平方數(shù)．故1至2025中共有新數(shù)列中的2025－45=1980項．還缺2003－1980=23項．由2025+23=2048．知選C．
2．設(shè)a，b∈R，ab≠0，那么直線ax－y+b=0和曲線bx2+ay2=ab的圖形是

解：曲線方程為x2a+y2b=1，直線方程為y=ax+b．
由直線圖形，可知A、C中的a<0，A圖的b>0，C圖的b<0，與A、C中曲線為橢圓矛盾．
由直線圖形，可知B、D中的a>0，b<0，則曲線為焦點在x軸上的雙曲線，故選B．
3．過拋物線y2=8(x+2)的焦點F作傾斜角為60°的直線，若此直線與拋物線交于A、B兩點，弦AB的中垂線與x軸交于點P，則線段PF的長等于
(A) 163 (B) 83 (C) 1633 (D) 83
解：拋物線的焦點為原點(0，0)，弦AB所在直線方程為y=3x，弦的中點在y=pk=43上，即AB中點為(43，43)，中垂線方程為y=－33(x－43)+43，令y=0，得點P的坐標(biāo)為163．
∴ PF=163．選A．
4．若x∈[－512 ，－3]，則y=tan(x+23)－tan(x+6)+cos(x+6)的最大值是
(A) 1252 (B) 1162 (C) 1163 (D) 1253
解：令x+6=u，則x+23=u+2，當(dāng)x∈[－512，－3]時，u∈[－4，－6]，
y=－(cotu+tanu)+cosu=－2sin2u+cosu．在u∈[－4，－6]時，sin2u與cosu都單調(diào)遞增，從而y單調(diào)遞增．于是u=－6時，y取得最大值1163，故選C．
5．已知x，y都在區(qū)間(－2，2)內(nèi)，且xy=－1，則函數(shù)u=44－x2+99－y2的最小值是
(A) 85 (B) 2411 (C) 127 (D) 125
解：由x，y∈(－2，2)，xy=－1知，x∈(－2，－12)∪(12，2)，
u=44－x2+9x29x2－1=－9x4+72x2－4－9x4+37x2－4=1+3537－(9x2+4x2)．
當(dāng)x∈(－2，－12)∪(12，2)時，x2∈(14，4)，此時，9x2+4x2≥12．(當(dāng)且僅當(dāng)x2=23時等號成立)．
此時函數(shù)的最小值為125，故選D．
6．在四面體ABCD中， 設(shè)AB=1，CD=3，直線AB與CD的距離為2，夾角為3，則四面體ABCD的體積等于
(A) 32 (B) 12 (C) 13 (D) 33
解：如圖，把四面體補成平行六面體，則此平行六面體的體積=1×3×sinπ3×2=3．
而四面體ABCD的體積=16×平行六面體體積=12．故選B．
二．填空題(每小題9分，共54分)
7．不等式x3－2x2－4x+3<0的解集是 ．
解：即x3－2x2－4x+3<0，(x－3)(x－5－12)(x+5+12)<0．x<－5+12，或5－12<x<3．
∴ 解為(－3，－5－12)∪(5－12，3)．
8．設(shè)F1、F2是橢圓x29+y24=1的兩個焦點，P是橢圓上一點，且PF1∶PF2=2∶1，則△PF1F2的面積等于 ．
解：F1(－5，0)，F(xiàn)2(5，0)；F1F2=25．
PF1+PF2=6，PF1=4，PF2=2．由于42+22=(25)2．故PF1F2是直角三角形55．
∴ S=4．
9．已知A={xx2－4x+3<0，x∈R}，
B={x21－x+a≤0，x2－2(a+7)x+5≤0，x∈R}
若AB，則實數(shù)a的取值范圍是 ．
解：A=(1，3)；
又，a≤－21－x∈(－1，－14)，當(dāng)x∈(1，3)時，a≥x2+52x －7∈(5－7，－4)．
∴ －4≤a≤－1．
10．已知a，b，c，d均為正整數(shù)，且logab=32，logcd=54，若a－c=9，則b－d=
解：a3=b2，c5=d4，設(shè)a=x2，b=x3；c=y4，d=y5，x2－y4=9．(x+y2)(x－y2)=9．
∴ x+y2=9，x－y2=1，x=5，y2=4．b－d=53－25=125－32=93．
11．將八個半徑都為1的球分放兩層放置在一個圓柱內(nèi)，并使得每個球都和其相鄰的四個球相切，且與圓柱的一個底面及側(cè)面都相切，則此圓柱的高等于 ．
解：如圖，ABCD是下層四個球的球心，EFGH是上層的四個球心．每個球心與其相切的球的球心距離=2．EFGH在平面ABCD上的射影是一個正方形．是把正方形ABCD繞其中心旋轉(zhuǎn)45而得．設(shè)E的射影為N，則
N=2－1．E=3，故EN2=3－(2－1)2=22．∴ EN=48．所求圓柱的高=2+48．
12． 設(shè)n={(十進制)n位純小數(shù)0.－a1a2…anai只取0或1(i=1，2，…，n－1)，an=1}，Tn 是n中元素的個數(shù)，Sn是n中所有元素的和，則lin→∞SnTn= ．
解：由于a1，a2，…，an－1中的每一個都可以取0與1兩個數(shù)，Tn=2n－1．
在每一位(從第一位到第n－1位)小數(shù)上，數(shù)字0與1各出現(xiàn)2n－2次．第n位則1出現(xiàn)2n－1次．
∴ Sn=2n－20.11…1+2n－210－n．
∴ lin→∞SnTn=1219=118．
三、（本題滿分20分）
13．設(shè)32≤x≤5，證明不等式
2x+1+2x－3+15－3x<219．
解：x+1≥0，2x－3≥0，15－3x≥0．32≤x≤5．
由平均不等式x+1+x+1+2x－3+15－3x4≤x+1+x+1+2x－3+15－3x4≤14+x4．
∴ 2x+1+2x－3+15－3x=x+1+x+1+2x－3+15－3x≤214+x．
但214+x在32≤x≤5時單調(diào)增．即214+x≤214+5=219．
故證．

四、(本題滿分20分)
14．設(shè)A、B、C分別是復(fù)數(shù)Z0=ai，Z1=12+bi，Z2=1+ci(其中a，b，c都是實數(shù))對應(yīng)的不共線的三點．證明：曲線
Z=Z0cos4t+2Z1cos2tsin2t+Z2sin4t (t∈R)
與△ABC中平行于AC的中位線只有一個公共點，并求出此點．
解：曲線方程為：Z=aicos4t+(1+2bi)cos2tsin2t+(1+ci)sin4t=(cos2tsin2t+sin4t)+i(acos4t+2bcos2tsin2t+csin4t)
∴ x=cos2tsin2t+sin4t=sin2t(cos2t+sin2t)=sin2t．(0≤x≤1)
y=acos4t+2bcos2tsin2t+csin4t=a(1－x)2+2b(1－x)x+cx2
即 y=(a－2b+c)x2+2(b－a)x+a (0≤x≤1)． ①
若a－2b+c=0，則Z0、Z1、Z2三點共線，與已知矛盾，故a－2b+c0．于是此曲線為軸與x軸垂直的拋物線．
AB中點：14+12(a+b)i，BC中點N：34+12(b+c)i．
與AC平行的中位線經(jīng)過(14，12(a+b))及N(34，12(b+c))兩點，其方程為
4(a－c)x+4y－3a－2b+c=0．(14≤x≤34)． ②
令 4(a－2b+c)x2+8(b－a)x+4a=4(c－a)x+3a+2b－c．
即4(a－2b+c)x2+4(2b－a－c)x+a－2b+c=0．由a－2b+c0，得
4x2+4x+1=0，
此方程在[14，34]內(nèi)有惟一解： x=12．
以x=12代入②得， y=14(a+2b+c)．
∴ 所求公共點坐標(biāo)為(12，14(a+2b+c))．
五、(本題滿分20分)
15．一張紙上畫有一個半徑為R的圓O和圓內(nèi)一個定點A，且OA=a，折疊紙片，使圓周上某一點A剛好與點A重合．這樣的每一種折法，都留下一條折痕．當(dāng)A取遍圓周上所有點時，求所有折痕所在直線上點的集合．
解：對于⊙O上任意一點A，連AA，作AA的垂直平分線N，連OA．交N于點P．顯然OP+PA=OA=R．由于點A在⊙O內(nèi)，故OA=a<R．從而當(dāng)點A取遍圓周上所有點時，點P的軌跡是以O(shè)、A為焦點，OA=a為焦距，R(R>a)為長軸的橢圓C．
而N上任一異于P的點Q，都有OQ+QA=OQ+QA>OA．故點Q在橢圓C外．即折痕上所有的點都在橢圓C上及C外．
反之，對于橢圓C上或外的一點S，以S為圓心，SA為半徑作圓，交⊙O于A，則S在AA的垂直平分線上，從而S在某條折痕上．
最后證明所作⊙S與⊙O必相交．
1 當(dāng)S在⊙O外時，由于A在⊙O內(nèi)，故⊙S與⊙O必相交；
2 當(dāng)S在⊙O內(nèi)時(例如在⊙O內(nèi)，但在橢圓C外或其上的點S)，取過S的半徑OD，則由點S在橢圓C外，故OS+SA≥R(橢圓的長軸)．即SA≥SD．于是D在⊙S內(nèi)或上，即⊙S與⊙O必有交點．
于是上述證明成立．
綜上可知，折痕上的點的集合為橢圓C上及C外的所有點的集合．

本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/gaosan/34722.html

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