第7講三角恒等變換、三角函數的圖象與性質
重點：掌握三角恒等變換、三角函數的圖象與性質的應用
難點：三角恒等變換及數形結合的應用
近兩年高考考點：2010年：11題正余弦定理的應用
16題三角恒等變換、三角函數的圖象與性質的應用
2011年：16題三角恒等變換、三角函數的圖象與性質的應用
一、知識復習：
1．⑴角度制與弧度制的互化： 弧度 ， 弧度， 弧度
⑵弧長公式： ；扇形面積公式： 。
2．三角函數定義：角 中邊上任意一點 為 ，設 則：

3．三角函數符號規(guī)律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；
4．誘導公式記憶規(guī)律：“奇變偶不變，符號看象限”；
sin(2kπ+α)=________ , cos(2kπ+α)=________, tan(2kπ+α)=_________;
sin(-α)=_________ , cos(-α)=_________, tan(-α)=_________;
sin(π-α)=_________ , cos(π-α)=_________, tan(π-α)=_________;
sin(π+α)=________ , cos(π+α)=________, tan(π+α)=__________;
sin(2π-α)=_________ , cos(2π-α)=_________, tan(2π-α)=__________;
sin( -α)=_____ , cos( -α)=______, sin( +α)=_____ , cos( +α)=______,
sin( -α)=_____ , cos( -α)=______,sin( +α)=_____ ,cos( +α)=______,
5．同角三角函數的基本關系： ， ；
6．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式：① =

② = ③ = 。

④
7．二倍角公式：① ； =
②
， ， ；
③ ， = 。
8．常用降冪公式：
=__________， =__________， =__________， =___________.
=________ , =_________ ,
9.常用合一變形:
=__________________________.
=__________________ , =__________________ ,
=__________________ , =__________________ , =________________ , =_____________ .
10．三角函數的圖像和性質

圖像
定義域
值域
最小正周期
奇偶性
對稱軸
對稱中心
遞增區(qū)間
遞減區(qū)間
最大值
最小值
注意：⑴ 對稱軸： ；對稱中心： ；
⑵ 對稱軸： ；對稱中心： ；
二、體驗高考
1.（2011東理6）若函數 (ω>0)在區(qū)間 上單調遞增，在區(qū)間 上單調遞減，則ω=
A．3 B．2 C． D．
2.（2011全國新標理11）設函數 的最小正周期為 ，且 則
（A） 在 單調遞減 （B） 在 單調遞減
（C） 在 單調遞增 （D） 在 單調遞增
3.（2011遼寧理16）已知函數 =Atan（ x+ ）（ ），y= 的部分圖像如右圖，則
4.（2011湖北理3）已知函數 ，若 ，則x的取值范圍為

A. B．
C． D．

5.（2011江蘇9）函數 是常數， 的部分圖象如圖所示，則f(0)=

6.（2011廣東理16）已知函數
(1)求 的值；
(2)設 求 的值.

三、例題講解
考向一：三角恒等變換及其求值
例1、已知 ，則

例2、（1）．已知 . (I)求 的值； (II)求 的值。

(2）． 已知 ， 求 的值.

考向二：函數 的解析式及圖象變換
例3：（1）（2011年浙江寧波模擬）設偶函數 ，其中 ， 的部分圖象如圖所示。 為等腰直角三角形， ，L＝1，則
A. B. C. D.

（2）. （2011年揭陽一模）已知函數 的圖象與 軸的兩個相鄰交點的距離等于 ，則為得到函數 的圖象可以把函數 的圖象上所有的點
A. 向右平移 ，再將所得圖象上所有的點的縱坐標變?yōu)樵��?倍;
B. 向右平移 ，再將所得圖象上所有的點的縱坐標變?yōu)樵��?倍;
C. 向左平移 ，再將所得圖象上所有的點的縱坐標變?yōu)樵��?倍;
D. 向左平移 ，再將所得圖象上所有的點的縱坐標變?yōu)樵��?倍.
例4：（2011年東濰坊一模）函數 （其中 ）的部分圖象如圖所示。
（1）求 的解析式；
（2）設 ，求函數 在 上的最大值，并確定此時x的值。

考向三：三角函數的奇偶性與對稱性
例5：（1）（2011年湖南長沙模擬）定義行列式運算a1　a2a3　a4＝a1a4－a2a3.將函數f(x)＝3　sinx1　 cosx的圖象向左平移n(n>0)個單位，所得圖象對應的函數為偶函數，則n的最小值為________．
（2）（2011年安徽合肥質檢）已知函數 的圖象關于直線 對稱，且 ，則 的最小值為
A.2 B.4 C.6 D.8
考向四：三角函數的周期性與單調性
例6：已知函數 在 時取得最大值，（1） 在 上的單調增區(qū)間為
A. B. C. D.

（2）若A＝2，請畫出 在 上的圖象。

例7：已知 ， ， 。 設函數
（1）函數 的最小正周期
（2）函數 的單調區(qū)間；
（3）函數 的最大值及對應 的取值的集合，最小值及對應 的取值的集合
（4）當 時， 恒成立，求實數m的取值范圍

四、鞏固練習

1、已知函數 （其中 ）的圖象與x軸的交點中，相鄰兩個交點之間的距離為 ，且圖象上一個最低點為 .
(Ⅰ)求 的解析式；（Ⅱ）當 ，求 的值域.

2、已知函數 （其中 ， ）的最大值為2，直線 、 是 圖象的任意兩條對稱軸，且 的最小值為 ．
⑴求 ， 的值；⑵若 ，求 的值．

3、（2011廣東省三校聯(lián)考）
已知函數
（1）求 的值域；
（2）若 （x>0）的圖象與直線 交點的橫坐標由小到大依次是 ，求數列 的前2n項的和。

4．已知定義在區(qū)間 上的函數 的圖象關于直線 對稱，當
時，函數 ，其圖象如圖.

（1）求函數 在 的表達式；
（2）求方程 的解.

第7講三角恒等變換、三角函數的圖象與性質
教學重點：掌握三角恒等變換、三角函數的圖象與性質的應用
教學難點：三角恒等變換及數形結合的應用
近兩年高考考點：2010年：11題正余弦定理的應用
16題三角恒等變換、三角函數的圖象與性質的應用
2011年：16題三角恒等變換、三角函數的圖象與性質的應用

一、知識復習：
1．⑴角度制與弧度制的互化： 弧度 ， 弧度， 弧度
⑵弧長公式： ；扇形面積公式： 。
2．三角函數定義：角 中邊上任意一點 為 ，設 則：

3．三角函數符號規(guī)律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；
4．誘導公式記憶規(guī)律：“奇變偶不變，符號看象限”；
sin(2kπ+α)=________ , cos(2kπ+α)=________, tan(2kπ+α)=_________;
sin(-α)=_________ , cos(-α)=_________, tan(-α)=_________;
sin(π-α)=_________ , cos(π-α)=_________, tan(π-α)=_________;
sin(π+α)=________ , cos(π+α)=________, tan(π+α)=__________;
sin(2π-α)=_________ , cos(2π-α)=_________, tan(2π-α)=__________;
sin( -α)=_____ , cos( -α)=______, sin( +α)=_____ , cos( +α)=______,
sin( -α)=_____ , cos( -α)=______,sin( +α)=_____ ,cos( +α)=______,
5．同角三角函數的基本關系： ， ；
6．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式：① =

② = ③ = 。

④
7．二倍角公式：① ； =
②
， ， ；
③ ， = 。
8．常用降冪公式：
=__________， =__________， =__________， =___________.
=________ , =_________ ,
9.常用合一變形:
=__________________________.
=__________________ , =__________________ ,
=__________________ , =__________________ , =________________ , =_____________ .
10．三角函數的圖像和性質

圖像
定義域
值域
最小正周期
奇偶性
對稱軸
對稱中心
遞增區(qū)間
遞減區(qū)間
最大值
最小值
注意：⑴ 對稱軸： ；對稱中心： ；
⑵ 對稱軸： ；對稱中心： ；

二、體驗高考
1.（2011東理6）若函數 (ω>0)在區(qū)間 上單調遞增，在區(qū)間 上單調遞減，則ω=
A．3 B．2 C． D．
【答案】C
2.（2011全國新標理11）設函數 的最小正周期為 ，且 則
（A） 在 單調遞減 （B） 在 單調遞減
（C） 在 單調遞增 （D） 在 單調遞增
【答案】A

3.（2011遼寧理16）已知函數 =Atan（ x+ ）（ ），y= 的部分圖像如下圖，則 ．

【答案】
4.（2011湖北理3）已知函數 ，若 ，則x的取值范圍為
A． B．
C． D．
【答案】B
5.（江蘇9）函數 是常數， 的部分圖象如圖所示，則f(0)=
【答案】
6.（2011廣東理16）已知函數
(3)求 的值；
(4)設 求 的值.
解：（1）

故
三、例題講解
考向一：三角恒等變換及其求值
例1、（2011年安徽八校聯(lián)考）已知 ，則

例2、（1）．已知 . (I)求 的值； (II)求 的值。

（2）． 已知 ， 求 的值.

考向二：函數 的解析式及圖象變換
例3：（1）（2011年浙江寧波模擬）設偶函數 ，其中 ， 的部分圖象如圖所示。 為等腰直角三角形， ，L＝1，則
A. B. C. D.

（2）. （2011年揭陽一模）已知函數 的圖象與 軸的兩個相鄰交點的距離等于 ，則為得到函數 的圖象可以把函數 的圖象上所有的點
A. 向右平移 ，再將所得圖象上所有的點的縱坐標變?yōu)樵��?倍;
B. 向右平移 ，再將所得圖象上所有的點的縱坐標變?yōu)樵��?倍;
C. 向左平移 ，再將所得圖象上所有的點的縱坐標變?yōu)樵��?倍;
D. 向左平移 ，再將所得圖象上所有的點的縱坐標變?yōu)樵��?倍.
6. 依題意知 ，故 ，故選A.
例4：（2011年東濰坊一模）函數 （其中 ）的部分圖象如圖所示。
（3）求 的解析式；
（4）設 ，求函數 在 上的最大值，并確定此時x的值。

考向三：三角函數的奇偶性與對稱性
例5：（1）（2011年湖南長沙模擬）定義行列式運算a1　a2a3　a4＝a1a4－a2a3.將函數f(x)＝3　sinx1　 cosx的圖象向左平移n(n>0)個單位，所得圖象對應的函數為偶函數，則n的最小值為________．
解析：f(x)＝3　sinx1　 cosx＝3cosx－sinx＝2cos(x＋π6)，
圖象向左平移n(n>0)個單位，
得f(x＋n)＝2cos(x＋n＋π6)，則當n取得最小值56π時，函數為偶函數．
答案：56π
（2）（2011年安徽合肥質檢）已知函數 的圖象關于直線 對稱，且 ，則 的最小值為
A.2 B.4 C.6 D.8

考向四：三角函數的周期性與單調性
例6：已知函數 在 時取得最大值，則 在 上的單調增區(qū)間為
A. B. C. D.
例7：（2011年廣東六校聯(lián)考）已知 ， ， 。
（5）函數 的最大值和最小正周期；
（6）函數 的單調遞增區(qū)間。

四、鞏固練習

1 、設函數
（1）若 ，求 ①函數 的單調區(qū)間；
②求最大值及對應 的取值的集合，求最小值及對應 的取值的集合
③ 畫出函數在此范圍內的圖像
（2）當 時， 恒成立，求實數m的取值范圍

2、已知函數 （其中 ）的圖象與x軸的交點中，相鄰兩個交點之間的距離為 ，且圖象上一個最低點為 .
(Ⅰ)求 的解析式；（Ⅱ）當 ，求 的值域.

3、已知函數 （其中 ， ）的最大值為2，直線 、 是 圖象的任意兩條對稱軸，且 的最小值為 ．
⑴求 ， 的值；⑵若 ，求 的值．

4、（2011廣東省三校聯(lián)考）
已知函數
（1）求 的值域；
（2）若 （x>0）的圖象與直線 交點的橫坐標由小到大依次是 ，求數列 的前2n項的和。

5．已知定義在區(qū)間 上的函數 的圖象關于直線 對稱，當
時，函數 ，其圖象如圖.

（1）求函數 在 的表達式；
（2）求方程 的解.

本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/gaosan/35251.html

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