§7.2 萬有引力理論的成就
　　　　　　
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1．了解萬有引力定律在天學(xué)上的應(yīng)用
2．會(huì)用萬有引力定律計(jì)算天體的質(zhì)量和密度
3．掌握綜合運(yùn)用萬有引力定律和圓周運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)分析具體問題的方法
能力目標(biāo)
通過求解太陽.地球的質(zhì)量，培養(yǎng)學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際的運(yùn)用能力
德育目標(biāo)
通過介紹用萬有引力定律發(fā)現(xiàn)未知天體的過程，使學(xué)生懂得理論于實(shí)踐，反過又可以指導(dǎo)實(shí)踐的辨證唯物主義觀點(diǎn)
【自主學(xué)習(xí)】
一.天體質(zhì)量的估算
對(duì)一個(gè)物體的物理特性進(jìn)行測量的方法主要有兩種：直接測量和間接測量。而直接測量往往很困難，無法測出結(jié)果，所以間接測量就成為一種非常有用的方法，但間接測量需要科學(xué)的方法和科學(xué)理論作為依據(jù)。
求天體質(zhì)量的方法主要有兩種:一種方法是根據(jù)重力加速度求天體質(zhì)量,即引力=重力mg=Gm/R2; 另一種方法是根據(jù)天體的圓周運(yùn)動(dòng),即其向心力由萬有引力提供,
1．某行星的一顆小衛(wèi)星在半徑為r的圓軌道上繞行星運(yùn)行，運(yùn)行的周期是T。已知引力常量為G，這個(gè)行星的質(zhì)量=＿＿
2. 已知地球表面的重力加速度為g,引力常量為G,地球半徑為R,則地球質(zhì)量=＿＿
二.發(fā)現(xiàn)未知天體
關(guān)于萬有引力定律應(yīng)用于天學(xué)研究上的事實(shí),下列說法中正確的是( )
A.天王星.海王星和冥王星都是運(yùn)用萬有引力定律,經(jīng)過大量計(jì)算以后發(fā)現(xiàn)的
B.在18世紀(jì)已發(fā)現(xiàn)的7個(gè)行星中，人們發(fā)現(xiàn)第七個(gè)行星天王星的運(yùn)動(dòng)軌道總是根據(jù)萬有引力定律計(jì)算出的理論軌道有較大的偏差,于是有人推測在天王星軌道外還有一個(gè)行星,是它的存在引起上述偏差.
C.海王星是運(yùn)用萬有引力定律,經(jīng)過大量計(jì)算以后發(fā)現(xiàn)的
D. 冥王星是英國的亞當(dāng)斯和法國的勒維列運(yùn)用萬有引力定律,經(jīng)過大量計(jì)算以后發(fā)現(xiàn)的
【典型例題】
解決天體運(yùn)動(dòng)問題的基本思路
很多天體運(yùn)動(dòng)都可以近似地看成圓周運(yùn)動(dòng)，其向心力由萬有引力提供
[例1] 已知太陽光從太陽射到地球需時(shí)間500s,地球公轉(zhuǎn)軌道可近似看成圓軌道,地球半徑為6400km,試計(jì)算太陽質(zhì)量與地球質(zhì)量m之比?

跟蹤練習(xí) 所有行星繞太陽運(yùn)轉(zhuǎn)其軌道半徑的立方和運(yùn)轉(zhuǎn)周期的平方的比值即r3/T2=k,那么k的大小決定于( )
A.只與行星質(zhì)量有關(guān) B.只與恒星質(zhì)量有關(guān)
C.與行星及恒星的質(zhì)量都有關(guān) D.與恒星質(zhì)量及行星的速率有關(guān)
地球表面物體的重力近似等于物體受到地球的引力
[例2] 某物體在地面上受到的重力為160N,將它放置在衛(wèi)星中,在衛(wèi)星以a=1/2 g隨火箭向上加速度上升的過程中,當(dāng)物體與衛(wèi)星中的支持物的相互擠壓力為90N時(shí),求此時(shí)衛(wèi)星距地球表面有多遠(yuǎn)? （地球半徑R=6.4×103km,g=10m/s2）

估算天體的密度
［例3］一艘宇宙飛船飛近某一個(gè)不知名的行星,并進(jìn)入靠近該行星表面的圓形軌道,宇航員進(jìn)行預(yù)定的考察工作,宇航員能不能僅用一只表通過測定時(shí)間測定該行星的密度? 說明理由及推導(dǎo)過程.

雙星問題
［例4］兩個(gè)星球組成雙星,它們?cè)谙嗷ブ�間的萬有引力作用下,繞連線上某點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng),現(xiàn)測得兩星中心距離為R,其運(yùn)動(dòng)周期為T,求兩星的總質(zhì)量?

答案 自主學(xué)習(xí) 1 =4π2r3/GT2 2 =gR2/G BC
例1 3×105 B 例2 1.92×km 例3 ρ=3π/GT2 例4 4π2r3/GT2
【能力訓(xùn)練】
一、選擇題
　　1．設(shè)在地球上和在x天體上，以相同的初速度豎直上拋一物體，物體上升的最大高度比為(均不計(jì)阻力)，且已知地球和x天體的半徑比也為，則地球質(zhì)量與x天體的質(zhì)量比為(　)
　　A．1B．C．2D．1/
　　2．(1988年•全國高考)設(shè)地球表面重力加速度為g0，物體在距離地心4R(R是地球的半徑)處，由于地球的作用而產(chǎn)生的加速度為g，則g/g0為(　)
　　Ａ．1Ｂ．1/9Ｃ．1/4Ｄ．1/16
　　3．對(duì)于萬有引力定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式F＝ ，下列說法正確的是(　)
　　Ａ．公式中G為引力常數(shù)，是人為規(guī)定的
　�。拢畆趨近于零時(shí)，萬有引力趨于無窮大
　　Ｃ．m1、m2之間的萬有引力總是大小相等，與m1、m2的質(zhì)量是否相等無關(guān)
　�。模甿1、m2之間的萬有引力總是大小相等方向相反，是一對(duì)平衡力
　　4．地球的半徑為R，地球表面處物體所受的重力為mg，近似等于物體所受的萬有引力．關(guān)于物體在下列位置所受萬有引力大小的說法中，正確的是(　)
　�。粒�離地面高度R處為4mg　�。拢�離地面高度R處為mg/2
　�。茫�離地面高度－3R處為mg/3　　Ｄ．離地心R/2處為4mg
　　5．物體在月球表面的重力加速度是在地球表面的重力加速度的1/6，這說明了(　)
　　A．地球的半徑是月球半徑的6倍　　B．地球的質(zhì)量是月球質(zhì)量的6倍
C．月球吸引地球的力是地球吸引月球的力的1/6
D．物體在月球表面的重力是其在地球表面的重力的1/6
6．關(guān)于天體的運(yùn)動(dòng)，下列敘述正確的是(　)
　　A．地球是靜止的，是宇宙的中心　　B．太陽是宇宙的中心
　　C．地球繞太陽做勻速圓周運(yùn)動(dòng)　D．九大行星都繞太陽運(yùn)動(dòng)，其軌道是橢圓
　　7．太陽表面半徑為R’，平均密度為ρ′，地球表面半徑和平均密度分別為R和ρ，地球表面附近的重力加速度為g0 ，則太陽表面附近的重力加速度g′(　)
A． B． g0　　C． g0D． g0
　　8．假設(shè)火星和地球都是球體，火星質(zhì)量火和地球質(zhì)量地之比為火/地＝p，火星半徑R火和地球半徑R地之比為R火/R地＝q，那么火星表面處的重力加速度g火和地球表面處的重力加速度g地之比g火/g地等于(　)
　　A．p/q2B．pq2　　C．p/qD．pq
二、非選擇題
　9．已知地球表面重力加速度為g，地球半徑為R，萬有引力恒量為G，用以上各量表示地球質(zhì)量＝________．
　　10．已知地球半徑約為6.4×106 m，又知月球繞地球的運(yùn)動(dòng)可近似看做圓周運(yùn)動(dòng)，則可估算出月球到地心的距離為________m．(結(jié)果保留一位有效數(shù)字)
　　11．火星的半徑是地球半徑的一半，火星質(zhì)量約為地球質(zhì)量的1/9，那么地球表面質(zhì)量為50 kg的物體受到地球的吸引力約是火星表面同質(zhì)量的物體受到火星吸引力的______倍．
　　12．假如地球自轉(zhuǎn)速度達(dá)到使赤道上的物體“飄”起(即完全失重)，那么地球上一天等于多少小時(shí)？(地球半徑取6.4×106 m)

　　13．飛船以a＝g/2的加速度勻加速上升，由于超重現(xiàn)象，用彈簧秤測得質(zhì)量為10 kg的物體重量為75 N．由此可知，飛船所處位置距地面高度為多大？(地球半徑為6400 km， g＝10 m/s2)

　　14．兩顆靠得很近的恒星，必須各以一定的速率繞它們連線上某一點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，才不至于由于萬有引力的作用而將它們吸引到一起．已知這兩顆恒星的質(zhì)量為m1、m2，相距L，求這兩顆恒星的轉(zhuǎn)動(dòng)周期．

【學(xué)后反思】
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參考答案
　　一、選擇題
　　1．解析：mg＝G ，g＝G H＝ ，g＝
　　兩式聯(lián)立求解得：∶′＝∶1
　　答案：B
　　2．解析：本題考查萬有引力定律的簡單應(yīng)用．地球表面處的重力加速度和在離地心高4R處的加速度均由地球?qū)ξ矬w的萬有引力產(chǎn)生，所以有
　　F＝G ＝mg，
答案：D
　　3．C
　　4解析：F＝mg＝G ，F(xiàn)′＝mg′＝G ，F(xiàn)′＝ F＝ mg．故C選項(xiàng)正確．
　　答案：C
　　5．D
　　6．D
　　7．解析：mg0＝G ，g0＝G ＝G R3/R2，g0＝ GR．同理可得g′＝ G′R′．故g′＝ g0，則C選項(xiàng)正確．
　　答案：C
　　8．解析：由G ＝mg，得g＝
　　所以， ＝ •( )2＝P/q2
　　答案：A
二、非選擇題
　　9．解析：地球表面上物體重力等于地球?qū)ξ矬w的萬有引力，即mg＝G
　　所以　＝
　　答案：
　　10．解析：地球?qū)υ虑虻娜f有引力提供月球繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)所需的向心力，月球繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)的周期為27天，即
　　G ＝m •r①
　　T＝27×24×3600 s
　　G ＝m′g　　　　　　　�、�
　　由①、②兩式可得
　　r＝ ＝ ＝4×108 m
　　答案：4×108
　　11．解析：物體受地球的吸引力為
　　F＝G 　　　　　　①
　　物體受火星的吸引力為
　　F′＝G 　　　 ②
　　兩式相除得　
　　答案：
　　12．解析：由萬有引力提供向心力，則
　　G ＝mg＝m2R＝m •R
　　所以T＝2 ＝2
　　＝2 s
　�。�16×102 s＝ h＝1.396 h＝1.4 h
　　答案：1.4 h
　　　13．解析：該題應(yīng)用第二定律和萬有引力的知識(shí)求解，設(shè)物體所在位置高度為h，重力加速度為g′，物體在地球表面重力加速度為g，則
　　F-mg′＝ma①
　　g′＝G ②
　　g＝G ③
　　由①式得：
　　g′＝ -a＝ - ＝
　　由②、③得：
　　
　　所以h＝R＝6400 km．
　　答案：6400 km
　　14．解析：由萬有引力定律和向心力公式求即可．m1、m2做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑分別為R1、R2，它們的向心力是由它們之間的萬有引力提供，所以
　　G ＝m1 R1①
　　G ＝m2 R2②
　　R1+R2＝L③
　　由①②③得：
　　 ，得：R1＝ L
　　代入①式
　　T2＝
　　所以：T＝2 　　答案：2

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