北京市朝陽區(qū)2015～2014學(xué)年度高三年級第一學(xué)期期中統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué)試卷（文史類） 2015．．，．若，則實(shí)數(shù)的值是 A． B． C．或 D．或或2．命題：對任意，的否定是A．：存在, B．：存在, C．：不存在, D．：對任意，3．執(zhí)行如圖的程序框圖，則輸出的值等于 A．91 B． 55 C．54 D．304．已知為第二象限角，且，則的值是A． B. C. D. 5．函數(shù)是A．奇函數(shù)且在上是減函數(shù) B．奇函數(shù)且在上是增函數(shù) C．偶函數(shù)且在上是減函數(shù) D．偶函數(shù)且在上是增函數(shù)6．已知平面向量，，，則下列說法中錯(cuò)誤的是A．∥ B． C．對同一平面內(nèi)的任意向量，都存在一對實(shí)數(shù)，使得 D．向量與向量的夾角為 7．若，則A．B．C．D．8．同時(shí)滿足以下四個(gè)條件的集合記作：（1）所有元素都是正整數(shù)；（2）最小元素為1；（3）最大元素為2014；（4）各個(gè)元素可以從小到大排成一個(gè)公差為的等差數(shù)列．那么中元素的個(gè)數(shù)是A．B．C．D．中，已知，，則公比的值是 ．10．已知平面向量滿足，，，則= .11．函數(shù)的最小值是 ．12．在△中，角所對的邊分別為，且， ；若,則 ． 13．函數(shù)的值域是 ． 14．已知函數(shù)（），數(shù)列滿足，，.則與中，較大的是 ；的大小關(guān)系是 ．三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．15．（本小題滿分13分）已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期及最小值；（Ⅱ）若為銳角，且，求的值．16．（本小題滿分13分）在△中，角所對的邊分別為，若，．（Ⅰ）求△的面積；（Ⅱ）若，求的值． 17．（本小題滿分13分）已知數(shù)列，的通項(xiàng)，滿足關(guān)系，且數(shù)列的前項(xiàng)和．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求數(shù)列的前項(xiàng)和．18．（本小題滿分14分） 已知函數(shù).（Ⅰ）若函數(shù)在上求；在上，求的值．19．（本小題滿分14分）已知函數(shù)．（Ⅰ）函數(shù)的單調(diào)； （Ⅱ）為函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)，在點(diǎn)處的切線的斜率恒大于，求的取值范圍．20．（本小題滿分13分）如果項(xiàng)數(shù)均為的兩個(gè)數(shù)列滿足且集合，則稱數(shù)列是一對 “項(xiàng)相關(guān)數(shù)列”．（Ⅰ）設(shè)是一對“4項(xiàng)相關(guān)數(shù)列”，求和的值，并寫出一對“項(xiàng)相關(guān)數(shù)列” ；（Ⅱ）是否存在 “項(xiàng)相關(guān)數(shù)列” ？若存在，試寫出一對；若不存在，請說明理由；（Ⅲ）對于確定的，若存在 “項(xiàng)相關(guān)數(shù)列”，試證明符合條件的 “項(xiàng)相關(guān)數(shù)列”有偶數(shù)對．北京市朝陽區(qū)2015-2016學(xué)年度高三年級第一學(xué)期期中統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué)試卷答案（文史類） 2015．題號12345678答案CABDBCAB二、填空題：題號91011121314答案（注：兩空的填空，第一空3分，第二空2分）三、解答題：15. 解：． （Ⅰ）函數(shù)的最小正周期為， 函數(shù)的最小值為． ┅┅┅┅┅┅ 7分（Ⅱ）由得． 所以． 又因?yàn)�，所以�?所以． 所以． ┅┅┅┅┅┅ 13分16. 解：（Ⅰ）因?yàn)�，所�? 又因?yàn)�，所�? 因?yàn)�，所�? ┅┅┅┅┅┅ 7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知.又因?yàn)椋�，所�?所以. ┅┅┅┅┅┅ 13分17. 解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.驗(yàn)證，所以. ┅┅┅┅ 6分（Ⅱ）由，得 .因?yàn)?所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列. . ┅┅┅┅┅┅ 13分18.解：在上至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根.所以，解得. ┅┅┅┅┅┅ 5分（Ⅱ）函數(shù)圖象的對稱軸是① 當(dāng)，即時(shí)，.解得或.又,所以.② 當(dāng)，即時(shí)，解得.又,所以.綜上，或. ┅┅┅┅┅┅ 14分19.解：（Ⅰ） 的定義域?yàn)�，①�?dāng)時(shí)，令，解得，所以函數(shù)在上是增函數(shù)； ②當(dāng)時(shí),令，解得或，所以函數(shù)在和上是增函數(shù)；③當(dāng)時(shí),在上恒成立，所以函數(shù)在是增函數(shù)；④當(dāng)時(shí),令，解得或，所以函數(shù)在和上是增函數(shù).綜上所述，①當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和；③當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；④當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和. ┅┅┅┅┅┅7分（Ⅱ）在點(diǎn)處的切線的斜率大于，所以當(dāng)時(shí)，恒成立.即當(dāng)時(shí)，恒成立.方法1：設(shè)，函數(shù)的對稱軸方程為.（?）當(dāng)時(shí)，在時(shí)恒成立.(?) 當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在時(shí)，函數(shù)成立，則方程 的判別式，解得.(?)當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上為增函數(shù)，的取值范圍是，則在時(shí)，函數(shù)不恒成立.綜上所述，時(shí)，在函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)處的切線的斜率恒大于. 方法2：由在時(shí)恒成立，得時(shí)，.（?）當(dāng)時(shí)，恒成立；（?）當(dāng)時(shí)，上式等價(jià)于，，由于此時(shí)為減函數(shù)，的取值范圍是，只需；（?）當(dāng)時(shí)，上式等價(jià)于，設(shè)，則 ，當(dāng)時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立）.則此時(shí).則在上，當(dāng)時(shí)，在函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)處的切線的斜率恒大于. ┅┅┅┅┅ 14分20．，相加得，，又，則，.“4項(xiàng)相關(guān)數(shù)列”：8，4，6，5；：7，2，3，1（不唯一） ┅┅┅ 4分參考：（“4項(xiàng)相關(guān)數(shù)列”共6對： ：8，5，4，6；：7，3，1，2或：7，3，5，8；：6，1，2，4或：3，8，7，5；：2，6，4，1或：2，7，6，8；：1，5，3，4或：2，6，8，7；：1，4，5，3 或：8，4，6，5；：7，2，3，1 （Ⅱ）不存在．理由如下：假設(shè)存在 “10項(xiàng)相關(guān)數(shù)列”，則，相加得．又由已知，所以 ，顯然不可能，所以假設(shè)不成立．從而不存在 “10項(xiàng)相關(guān)數(shù)列”． ┅┅┅┅┅┅ 8分（Ⅲ）對于確定的，任取一對 “項(xiàng)相關(guān)數(shù)列”，令，，（先證也必為 “項(xiàng)相關(guān)數(shù)列”）因?yàn)橛忠驗(yàn)�，很顯然有，所以也必為 “項(xiàng)相關(guān)數(shù)列”．（再證數(shù)列與是不同的數(shù)列）假設(shè)與相同，則的第二項(xiàng)，又，則，即，顯然矛盾．從而，符合條件的 “項(xiàng)相關(guān)數(shù)列”有偶數(shù)對． ┅┅┅┅┅┅ 13分T=T+i2否i=i+1是i>5?結(jié)束縛T=0,i=1開 始輸出T北京市朝陽區(qū)2015屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（文）試題及答案
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