2013年普通高考數(shù)學科一輪復習精品學案
第38講 導數(shù)、定積分
一．標要求：
1．導數(shù)及其應(yīng)用
（1）導數(shù)概念及其幾何意義
① 通過對大量實例的分析，經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，了解導數(shù)概念的實際背景，知道瞬時變化率就是導數(shù)，導數(shù)的思想及其內(nèi)涵；
②通過函數(shù)圖像直觀地理解導數(shù)的幾何意義。
（2）導數(shù)的運算
① 能根據(jù)導數(shù)定義求函數(shù)y=c，y=x，y=x2，y=x3，y=1/x，y=x 的導數(shù)；
② 能利用給出的基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導數(shù)，能求簡單的復合函數(shù)（僅限于形如f（ax+b））的導數(shù)；
③ 會使用導數(shù)公式表。
（3）導數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用
① 結(jié)合實例，借助幾何直觀探索并了解函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系；能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求不超過三次的多項式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
② 結(jié)合函數(shù)的圖像，了解函數(shù)在某點取得極值的必要條和充分條；會用導數(shù)求不超過三次的多項式函數(shù)的極大值、極小值，以及閉區(qū)間上不超過三次的多項式函數(shù)最大值、最小值；導數(shù)方法在研究函數(shù)性質(zhì)中的一般性和有效性。
（4）生活中的優(yōu)化問題舉例
例如，使利潤最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問題，體會導數(shù)在解決實際問題中的作用。
（5）定積分與微積分基本定理
① 通過實例（如求曲邊梯形的面積、變力做功等），從問題情境中了解定積分的實際背景；借助幾何直觀體會定積分的基本思想，初步了解定積分的概念；
② 通過實例（如變速運動物體在某段時間內(nèi)的速度與路程的關(guān)系），直觀了解微積分基本定理的含義。
（6）數(shù)學化
收集有關(guān)微積分創(chuàng)立的時代背景和有關(guān)人物的資料，并進行交流；體會微積分的建立在人類化發(fā)展中的意義和價值。具體要求見本《標準》中"數(shù)學化"的要求。
二．命題走向
導數(shù)是高中數(shù)學中重要的內(nèi)容，是解決實際問題的強有力的數(shù)學工具，運用導數(shù)的有關(guān)知識，研究函數(shù)的性質(zhì)：單調(diào)性、極值和最值是高考的熱點問題。在高考中考察形式多種多樣，以選擇題、填空題等主觀題目的形式考察基本概念、運算及導數(shù)的應(yīng)用，也經(jīng)常以解答題形式和其它數(shù)學知識結(jié)合起，綜合考察利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，估計2013年高考繼續(xù)以上面的幾種形式考察不會有大的變化：
（1）考查形式為：選擇題、填空題、解答題各種題型都會考察，選擇題、填空題一般難度不大，屬于高考題中的中低檔題，解答題有一定難度，一般與函數(shù)及解析幾何結(jié)合，屬于高考的中低檔題；
（2）2013年高考可能涉及導數(shù)綜合題，以導數(shù)為數(shù)學工具考察：導數(shù)的物理意義及幾何意義，復合函數(shù)、數(shù)列、不等式等知識。
定積分是新標教材新增的內(nèi)容，主要包括定積分的概念、微積分基本定理、定積分的簡單應(yīng)用，由于定積分在實際問題中非常廣泛，因而2013年的高考預(yù)測會在這方面考察，預(yù)測2013年高考呈現(xiàn)以下幾個特點：
（1）新標考察，難度不會很大，注意基本概念、基本性質(zhì)、基本公式的考察及簡單的應(yīng)用；高考中本講的題目一般為選擇題、填空題，考查定積分的基本概念及簡單運算，屬于中低檔題；
（2）定積分的應(yīng)用主要是計算面積，諸如計算曲邊梯形的面積、變速直線運動等實際問題要很好的轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型。
三．要點精講
1．導數(shù)的概念
函數(shù)y=f(x),如果自變量x在x 處有增量 ，那么函數(shù)y相應(yīng)地有增量 =f（x + ）－f（x ），比值 叫做函數(shù)y=f（x）在x 到x + 之間的平均變化率，即 = 。
如果當 時， 有極限，我們就說函數(shù)y=f(x)在點x 處可導，并把這個極限叫做f（x）在點x 處的導數(shù)，記作f’（x ）或y’ 。
即f（x ）= = 。
說明：
（1）函數(shù)f（x）在點x 處可導，是指 時， 有極限。如果 不存在極限，就說函數(shù)在點x 處不可導，或說無導數(shù)。
（2） 是自變量x在x 處的改變量， 時，而 是函數(shù)值的改變量，可以是零。
由導數(shù)的定義可知，求函數(shù)y=f（x）在點x 處的導數(shù)的步驟（可由學生歸納）：
（1）求函數(shù)的增量 =f（x + ）－f（x ）；
（2）求平均變化率 = ；
（3）取極限，得導數(shù)f’(x )= 。
2．導數(shù)的幾何意義
函數(shù)y=f（x）在點x 處的導數(shù)的幾何意義是曲線y=f（x）在點p（x ，f（x ））　　處的切線的斜率。也就是說，曲線y=f（x）在點p（x ，f（x ））處的切線的斜率是f’（x ）。相應(yīng)地，切線方程為y－y =f/（x ）（x－x ）。
3．常見函數(shù)的導出公式．
�。ǎ保� （C為常數(shù)）　　　�。ǎ玻�
�。ǎ常� 　　　　　　　（４）
4．兩個函數(shù)的和、差、積的求導法則
法則1：兩個函數(shù)的和(或差)的導數(shù),等于這兩個函數(shù)的導數(shù)的和(或差)，
即： (
法則2：兩個函數(shù)的積的導數(shù),等于第一個函數(shù)的導數(shù)乘以第二個函數(shù),加上第一個
函數(shù)乘以第二個函數(shù)的導數(shù)，即：
若C為常數(shù),則 .即常數(shù)與函數(shù)的積的導數(shù)等于常數(shù)乘以函數(shù)的導數(shù)：
法則3兩個函數(shù)的商的導數(shù)，等于分子的導數(shù)與分母的積，減去分母的導數(shù)與分子的積，再除以分母的平方： ‘= （v 0）。
形如y=f 的函數(shù)稱為復合函數(shù)。復合函數(shù)求導步驟：分解——求導——回代。法則：y＇ = y＇ •u＇
5．導數(shù)的應(yīng)用
（1）一般地，設(shè)函數(shù) 在某個區(qū)間可導，如果 ，則 為增函數(shù)；如果 ，則 為減函數(shù)；如果在某區(qū)間內(nèi)恒有 ，則 為常數(shù)；
（2）曲線在極值點處切線的斜率為0，極值點處的導數(shù)為0；曲線在極大值點左側(cè)切線的斜率為正，右側(cè)為負；曲線在極小值點左側(cè)切線的斜率為負，右側(cè)為正；
（3）一般地，在區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f 在[a，b]上必有最大值與最小值。①求函數(shù)ƒ 在(a，b)內(nèi)的極值； ②求函數(shù)ƒ 在區(qū)間端點的值ƒ(a)、ƒ(b)； ③將函數(shù)ƒ 的各極值與ƒ(a)、ƒ(b)比較，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。
6．定積分
（1）概念
設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，用分點a＝x0<x1<…<xi－1<xi<…xn＝b把區(qū)間[a，b]等分成n個小區(qū)間，在每個小區(qū)間[xi－1，xi]上取任一點ξi（i＝1，2，…n）作和式In＝ (ξi)△x（其中△x為小區(qū)間長度），把n→∞即△x→0時，和式In的極限叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的定積分，記作： ，即 ＝ (ξi)△x。
這里，a與b分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間[a，b]叫做積分區(qū)間，函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式。
基本的積分公式： ＝C； ＝ ＋C（m∈Q， m≠－1）； dx＝ln ＋C； ＝ ＋C； ＝ ＋C； ＝sinx＋C； ＝－cosx＋C（表中C均為常數(shù)）。
（2）定積分的性質(zhì)
① （k為常數(shù)）；
② ；
③ （其中a＜c＜b 。
（3）定積分求曲邊梯形面積
由三條直線x＝a，x＝b（a<b），x軸及一條曲線y＝f（x）(f(x)≥0)圍成的曲邊梯的面積 。
如果圖形由曲線y1＝f1(x)，y2＝f2(x)（不妨設(shè)f1(x)≥f2(x)≥0），及直線x＝a，x＝b（a<b）圍成，那么所求圖形的面積S＝S曲邊梯形ANB－S曲邊梯形DNC＝ 。
四．典例解析
題型1：導數(shù)的概念
例1．已知s= ，（1）計算t從3秒到3.1秒 、3.001秒 、 3.0001秒….各段內(nèi)平均速度；（2）求t=3秒是瞬時速度。
解析：（1） 指時間改變量；
　　　　 指時間改變量。
　　　　 。
其余各段時間內(nèi)的平均速度，事先刻在光盤上，待學生回答完第一時間內(nèi)的平均速度后，即用多媒體出示，讓學生思考在各段時間內(nèi)的平均速度的變化情況。
（2）從（1）可見某段時間內(nèi)的平均速度 隨 變化而變化， 越小， 越接近于一個定值，由極限定義可知，這個值就是 時， 的極限，
V= =
= （6+ =3g=29.4(米/秒)。
例2．求函數(shù)y= 的導數(shù)。
解析： ，
，
=- 。
點評：掌握切的斜率、 瞬時速度，它門都是一種特殊的極限，為學習導數(shù)的定義奠定基礎(chǔ)。
題型2：導數(shù)的基本運算
例3．（1）求 的導數(shù)；
（2）求 的導數(shù)；
（3）求 的導數(shù)；
（4）求y= 的導數(shù)；
（5）求y＝ 的導數(shù)。
解析：（1） ,
（2）先化簡,

（3）先使用三角公式進行化簡.

（4）y’= = ；
（5） y＝ －x＋５－
y’＝３*（x ）＇－x＇＋５＇－９ ）＇＝３* －１＋０－９*（－ ） ＝ 。
點評：（1）求導之前，應(yīng)利用代數(shù)、三角恒等式等變形對函數(shù)進行化簡，然后求導，這樣可以減少運算量，提高運算速度，減少差錯；（2）有的函數(shù)雖然表面形式為函數(shù)的商的形式，但在求導前利用代數(shù)或三角恒等變形將函數(shù)先化簡，然后進行求導．有時可以避免使用商的求導法則，減少運算量。
例4．寫出由下列函數(shù)復合而成的函數(shù)：
（1）y=cosu,u=1+ （2）y=lnu, u=lnx
解析：（1）y=cos(1+ )；
（2）y=ln(lnx)。
點評：通過對y=（3x-2 展開求導及按復合關(guān)系求導，直觀的得到 = . .給出復合函數(shù)的求導法則，并指導學生閱讀法則的證明。
題型3：導數(shù)的幾何意義
例5．（1）若曲線 的一條切線 與直線 垂直，則 的方程為（ ）
A． B． C． D．
（2）過點（－1，0）作拋物線 的切線，則其中一條切線為（ ）
（A） （B） （C） （D）
解析：（1）與直線 垂直的直線 為 ，即 在某一點的導數(shù)為4，而 ，所以 在(1，1)處導數(shù)為4，此點的切線為 ，故選A；
（2） ，設(shè)切點坐標為 ，則切線的斜率為2 ，且 ，于是切線方程為 ，因為點（－1，0）在切線上，可解得 ＝0或－4，代入可驗正D正確，選D。
點評：導數(shù)值對應(yīng)函數(shù)在該點處的切線斜率。
例6．（1）半徑為r的圓的面積S(r)＝ r2,周長C(r)=2 r，若將r看作(0，＋∞)上的變量，則( r2)`＝2 r ○1，○1式可以用語言敘述為：圓的面積函數(shù)的導數(shù)等于圓的周長函數(shù)。對于半徑為R的球，若將R看作(0，＋∞)上的變量，請你寫出類似于○1的式子： ○2；○2式可以用語言敘述為： 。
（2）曲線 和 在它們交點處的兩條切線與 軸所圍成的三角形面積是 。
解析：（1）V球＝ ，又 故○2式可填 ，用語言敘述為“球的體積函數(shù)的導數(shù)等于球的表面積函數(shù)�！�；
（2）曲線 和 在它們的交點坐標是(1，1)，兩條切線方程分別是y=－x+2和y=2x－1，它們與 軸所圍成的三角形的面積是 。
點評：導數(shù)的運算可以和幾何圖形的切線、面積聯(lián)系在一起，對于較復雜問題有很好的效果。
題型4：借助導數(shù)處理單調(diào)性、極值和最值
例7．（1）對于R上可導的任意函數(shù)f（x），若滿足（x－1） 0，則必有（ ）
A．f（0）＋f（2）2f（1） B. f（0）＋f（2）2f（1）
C．f（0）＋f（2）2f（1） D. f（0）＋f（2）2f（1）
（2）函數(shù) 的定義域為開區(qū)間 ，導函數(shù) 在 內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù) 在開區(qū)間 內(nèi)有極小值點（　 ）
A．1個 B．2個 C．3個 D． 4個
（3）已知函數(shù) 。（Ⅰ）設(shè) ，討論 的單調(diào)性；（Ⅱ）若對任意 恒有 ，求 的取值范圍。
解析：（1）依題意，當x1時，f（x）0，函數(shù)f（x）在（1，＋）上是增函數(shù)；當x1時，f（x）0，f（x）在（－，1）上是減函數(shù)，故f（x）當x＝1時取得最小值，即有f（0）f（1），f（2）f（1），故選C；
（2）函數(shù) 的定義域為開區(qū)間 ，導函數(shù) 在 內(nèi)的圖象如圖所示，函數(shù) 在開區(qū)間 內(nèi)有極小值的點即函數(shù)由減函數(shù)變?yōu)樵龊瘮?shù)的點，其導數(shù)值為由負到正的點，只有1個，選A。
（3）：(Ⅰ)f(x)的定義域為(－∞,1)∪(1,+∞).對f(x)求導數(shù)得 f '(x)= ax2+2－a(1－x)2 e－ax。
(?)當a=2時, f '(x)= 2x2(1－x)2 e－2x, f '(x)在(－∞,0), (0,1)和(1,+ ∞)均大于0, 所以f(x)在(－∞,1), (1,+∞).為增函數(shù)；
(?)當0<a<2時, f '(x)>0, f(x)在(－∞,1), (1,+∞)為增函數(shù).；
(?)當a>2時, 0<a－2a<1, 令f '(x)=0 ,解得x1= － a－2a, x2= a－2a ；
當x變化時, f '(x)和f(x)的變化情況如下表:
x(－∞, －a－2a)
(－a－2a,a－2a)(a－2a,1)(1,+∞)
f '(x)＋－＋＋
f(x)????
f(x)在(－∞, －a－2a), (a－2a,1), (1,+∞)為增函數(shù), f(x)在(－a－2a,a－2a)為減函數(shù)。
(Ⅱ)(?)當0<a≤2時, 由(Ⅰ)知: 對任意x∈(0,1)恒有f(x)>f(0)=1；
(?)當a>2時, 取x0= 12 a－2a∈(0,1),則由(Ⅰ)知 f(x0)<f(0)=1；
(?)當a≤0時, 對任意x∈(0,1),恒有1+x1－x >1且e－ax≥1，
得：f(x)= 1+x1－xe－ax≥1+x1－x >1. 綜上當且僅當a∈(－∞,2]時,對任意x∈(0,1)恒有f(x)>1。
點評：注意求函數(shù)的單調(diào)性之前，一定要考慮函數(shù)的定義域。導函數(shù)的正負對應(yīng)原函數(shù)增減。
例8．（1） 在區(qū)間 上的最大值是（ ）
(A)－2 (B)0 (C)2 (D)4
（2）設(shè)函數(shù)f(x)= （Ⅰ）求f(x)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）討論f(x)的極值。
解析：（1） ，令 可得x＝0或2（2舍去），當－1x0時， 0，當0x1時， 0，所以當x＝0時，f（x）取得最大值為2。選C；
（2）由已知得 ，令 ，解得 。
（Ⅰ）當 時， ， 在 上單調(diào)遞增；
當 時， ， 隨 的變化情況如下表：
極大值
極小值

從上表可知，函數(shù) 在 上單調(diào)遞增；在 上單調(diào)遞減；在 上單調(diào)遞增。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當 時，函數(shù) 沒有極值；當 時，函數(shù) 在 處取得極大值，在 處取得極小值 。
點評：本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的最大值和最小值的基礎(chǔ)知識，以及運用數(shù)學知識解決實際問題的能力。
題型5：導數(shù)綜合題
例9．設(shè)函數(shù) 分別在 處取得極小值、極大值. 平面上點 的坐標分別為 、 ，該平面上動點 滿足 ,點 是點 關(guān)于直線 的對稱點.求
(I)求點 的坐標；
(II)求動點 的軌跡方程.
解析： (Ⅰ)令 解得 ；
當 時, ， 當 時, ，當 時， 。
所以,函數(shù)在 處取得極小值,在 取得極大值,故 , 。
所以, 點A、B的坐標為 。
（Ⅱ） 設(shè) ， ，
，
，所以 。
又PQ的中點在 上，所以 ，消去 得 。
點評：該題是導數(shù)與平面向量結(jié)合的綜合題。
例10．（06湖南卷）已知函數(shù) ,數(shù)列{ }滿足: 證明:(?) ；(?) 。
證明: （I）．先用數(shù)學歸納法證明 ，ｎ＝1,2,3,…
(i).當n=1時,由已知顯然結(jié)論成立。
(ii).假設(shè)當n=k時結(jié)論成立,即 。
因為0<x<1時， ,所以f(x)在(0,1)上是增函數(shù)。
又f(x)在[0,1]上連續(xù)，從而 .故n=k+1時,結(jié)論成立。
由(i)、(ii)可知， 對一切正整數(shù)都成立。
又因為 時， ，所以 ，綜上所述 。
（II）．設(shè)函數(shù) ， ，
由（I）知，當 時， ，
從而 所以g (x)在(0,1)上是增函數(shù)。
又g (x)在[0,1]上連續(xù),且g (0)=0，所以當 時，g (x)>0成立。
于是 ．故 。
點評：該題是數(shù)列知識和導數(shù)結(jié)合到一塊。
題型6：導數(shù)實際應(yīng)用題
例11．請您設(shè)計一個帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長為3m的正六棱錐（如右圖所示）。試問當帳篷的頂點O到底面中心 的距離為多少時，帳篷的體積最大？
本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的最大值和最小值的基礎(chǔ)知識，以及運用數(shù)學知識解決實際問題的能力。
解析：設(shè)OO1為x m,則由題設(shè)可得正六棱錐底面邊長為 （單位：m）。
于是底面正六邊形的面積為（單位：m2）：
。
帳篷的體積為（單位：m3）：

求導數(shù)，得 ；
令 解得x=-2(不合題意，舍去),x=2。
當1<x<2時， ,V(x)為增函數(shù)；當2<x<4時， ,V(x)為減函數(shù)。
所以當x=2時,V(x)最大。
答：當OO1為2m時，帳篷的體積最大。
點評：結(jié)合空間幾何體的體積求最值，理解導數(shù)的工具作用。
例12．已知函數(shù)f(x)=x + x ，數(shù)列｜x ｜(x ＞0)的第一項x ＝1，以后各項按如下方式取定：曲線x=f(x)在 處的切線與經(jīng)過（0，0）和（x ,f (x )）兩點的直線平行（如圖）求證：當n 時，
(Ⅰ)x
（Ⅱ） 。
證明：（I）因為 所以曲線 在 處的切線斜率
因為過 和 兩點的直線斜率是 所以 .
（II）因為函數(shù) 當 時單調(diào)遞增，而
，
所以 ，即 因此
又因為 令 則
因為 所以
因此 故
點評：本題主要考查函數(shù)的導數(shù)、數(shù)列、不等式等基礎(chǔ)知識，以及不等式的證明，同時考查邏輯推理能力。
題型7：定積分
例13．計算下列定積分的值
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；
解析：（1）

（2）因為 ，所以 ；
（3）

（4）

例14．（1）一物體按規(guī)律x＝bt3作直線運動，式中x為時間t內(nèi)通過的距離，媒質(zhì)的阻力正比于速度的平方．試求物體由x＝0運動到x＝a時，阻力所作的功。
（2）拋物線y=ax2＋bx在第一象限內(nèi)與直線x＋y=4相切．此拋物線與x軸所圍成的圖形的面積記為S．求使S達到最大值的a、b值，并求Smax．
解析：（1）物體的速度 。
媒質(zhì)阻力 ，其中k為比例常數(shù)，k>0。
當x=0時，t=0；當x=a時， ，
又ds=vdt，故阻力所作的功為：

（2）依題設(shè)可知拋物線為凸形，它與x軸的交點的橫坐標分別為x1=0，x2=－b/a，所以 (1)
又直線x＋y=4與拋物線y=ax2＋bx相切，即它們有唯一的公共點，
由方程組
得ax2＋(b＋1)x－4=0，其判別式必須為0，即(b＋1)2＋16a=0．
于是 代入（1）式得：
， ；　
令S'(b)=0；在b＞0時得唯一駐點b=3，且當0＜b＜3時，S'(b)＞0；當b＞3時，S'(b)＜0．故在b=3時，S(b)取得極大值，也是最大值，即a=－1，b=3時，S取得最大值，且 。
點評：應(yīng)用好定積分處理平面區(qū)域內(nèi)的面積。
五．思維
1．本講內(nèi)容在高考中以填空題和解答題為主
主要考查：
（1）函數(shù)的極限；
（2）導數(shù)在研究函數(shù)的性質(zhì)及在解決實際問題中的應(yīng)用；
（3）計算曲邊圖形的面積和旋轉(zhuǎn)體的體積。
2．考生應(yīng)立足基礎(chǔ)知識和基本方法的復習，以本題目為主，以熟練技能，鞏固概念為目標。

本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/gaosan/35611.html

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