2013高中數(shù)學(xué)精講精練 第五 數(shù)列
【知識(shí)圖解】
【方法點(diǎn)撥】
1．學(xué)會(huì)從特殊到一般的觀察、分析、思考，學(xué)會(huì)歸納、猜想、驗(yàn)證．
2．強(qiáng)化基本量思想，并在確定基本量時(shí)注重設(shè)變量的技巧與解方程組的技巧．
3．在重點(diǎn)掌握等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式、中項(xiàng)等基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，會(huì)針對(duì)可化為等差（比）數(shù)列的比較簡(jiǎn)單的數(shù)列進(jìn)行化歸與轉(zhuǎn)化．
4．一些簡(jiǎn)單特殊數(shù)列的求通項(xiàng)與求和問(wèn)題，應(yīng)注重通性通法的復(fù)習(xí)．如錯(cuò)位相減法、迭加法、迭乘法等．
5．增強(qiáng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，會(huì)針對(duì)有關(guān)應(yīng)用問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型，并求出其解．
第1 數(shù)列的概念
【考點(diǎn)導(dǎo)讀】
1．了解數(shù)列（含等差數(shù)列、等比數(shù)列）的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法（列表、圖象、通項(xiàng)公式），了解數(shù)列是一種特殊的函數(shù)；
2．理解數(shù)列的通項(xiàng)公式的意義和一些基本量之間的關(guān)系；
3．能通過(guò)一些基本的轉(zhuǎn)化解決數(shù)列的通項(xiàng)公式和前 項(xiàng)和的問(wèn)題。
【基礎(chǔ)練習(xí)】
1.已知數(shù)列 滿(mǎn)足 ，則 = 。
分析:由a1=0, 得 由此可知: 數(shù)列 是周期變化的,且三個(gè)一循環(huán),所以可得:
2．在數(shù)列 中，若 ， ，則該數(shù)列的通項(xiàng) 2n-1 。
3．設(shè)數(shù)列 的前n項(xiàng)和為 ， ，且 ，則 ____2__.
4．已知數(shù)列 的前 項(xiàng)和 ，則其通項(xiàng) ．
【范例導(dǎo)析】
例1．設(shè)數(shù)列 的通項(xiàng)公式是 ，則
（1）70是這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)嗎？如果是，是第幾項(xiàng)？
（2）寫(xiě)出這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)，并作出前5項(xiàng)的圖象；
（3）這個(gè)數(shù)列所有項(xiàng)中有沒(méi)有最小的項(xiàng)？如果有，是第幾項(xiàng)？
分析：70是否是數(shù)列的項(xiàng)，只要通過(guò)解方程 就可以知道；而作圖時(shí)則要注意數(shù)列與函數(shù)的區(qū)別，數(shù)列的圖象是一系列孤立的點(diǎn)；判斷有無(wú)最小項(xiàng)的問(wèn)題可以用函數(shù)的觀點(diǎn)解決，一樣的是要注意定義域問(wèn)題。
解：（1）由 得： 或
所以70是這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)，是第13項(xiàng)。
（2）這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)是 ；（圖象略）
（3）由函數(shù) 的單調(diào)性： 是減區(qū)間， 是增區(qū)間，
所以當(dāng) 時(shí)， 最小，即 最小。
點(diǎn)評(píng)：該題考察數(shù)列通項(xiàng)的定義，會(huì)判斷數(shù)列項(xiàng)的歸屬，要注重函數(shù)與數(shù)列之間的聯(lián)系，用函數(shù)的觀點(diǎn)解決數(shù)列的問(wèn)題有時(shí)非常方便。
例2．設(shè)數(shù)列 的前n項(xiàng)和為 ，點(diǎn) 均在函數(shù)y＝3x－2的圖像上,求數(shù)列 的通項(xiàng)公式。
分析：根據(jù)題目的條利用 與 的關(guān)系： ，（要特別注意討論n=1的情況）求出數(shù)列 的通項(xiàng)。
解：依題意得， 即 。
當(dāng)n≥2時(shí)， ;
當(dāng)n=1時(shí)， 所以 。
例3．已知數(shù)列｛a ｝滿(mǎn)足 ,
（Ⅰ）求數(shù)列 的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列 滿(mǎn)足 ,證明： 是等差數(shù)列;
分析：本題第1問(wèn)采用構(gòu)造等比數(shù)列求通項(xiàng)問(wèn)題，第2問(wèn)依然是構(gòu)造問(wèn)題。
解：（I）
是以 為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列。
即
（II）
�、�
�、冢�
②－①，得 即 ③
∴ �、�
③－④，得 即 是等差數(shù)列。
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查數(shù)列、不等式等基本知識(shí)，考查化歸的數(shù)學(xué)思想方法，考查綜合解題能力。
【反饋演練】
1．若數(shù)列 前8項(xiàng)的值各異，且 對(duì)任意n∈N*都成立，則下列數(shù)列中可取遍 前8項(xiàng)值的數(shù)列為 （2） 。
（1） （2） （3） （4）
2．設(shè)Sn是數(shù)列 的前n項(xiàng)和，且Sn=n2，則 是 等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列 。
3．設(shè)f（n）= （n∈N），那么f（n+1）－f（n）等于 。
4．根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查結(jié)果，預(yù)測(cè)某種家用商品從年初開(kāi)始的n個(gè)月內(nèi)累積的需求量Sn（萬(wàn)）近似地滿(mǎn)足Sn= （21n－n2－5）（n=1，2，……，12）.按此預(yù)測(cè)，在本年度內(nèi)，需求量超過(guò)1.5萬(wàn)的月份是 7月、8月 。
5．在數(shù)列 中， 則 505 。
6．?dāng)?shù)列 中，已知 ，
（1）寫(xiě)出 ， ， ； （2） 是否是數(shù)列中的項(xiàng)？若是，是第幾項(xiàng)？
解：（1）∵ ，∴ ，
， ；
（2）令 ，解方程得 ，
∵ ，∴ ， 即 為該數(shù)列的第15項(xiàng)。
第2 等差、等比數(shù)列
【考點(diǎn)導(dǎo)讀】
1．掌握等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前 項(xiàng)和公式，能運(yùn)用公式解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題；
2．理解等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，了解等差、等比數(shù)列與函數(shù)之間的關(guān)系；
3．注意函數(shù)與方程思想方法的運(yùn)用。
【基礎(chǔ)練習(xí)】
1．在等差數(shù)列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，首項(xiàng)a1= -2 ，公差d= 3 。
2．一個(gè)等比數(shù)列的第3項(xiàng)與第4項(xiàng)分別是12與18，則它的第1項(xiàng)是 ，第2項(xiàng)是 8 。
3．設(shè) 是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若 ， ，則 。
4．公差不為0的等差數(shù)列{an}中，a2，a3，a6依次成等比數(shù)列，則公比等于 3 。
【范例導(dǎo)析】
例1．（1）若一個(gè)等差數(shù)列前3項(xiàng)的和為34，最后3項(xiàng)的和為146，且所有項(xiàng)的和為390，則這個(gè)數(shù)列有
13 項(xiàng)。
（2）設(shè)數(shù)列{an}是遞增等差數(shù)列，前三項(xiàng)的和為12，前三項(xiàng)的積為48，則它的首項(xiàng)是 2 。
解：（1）答案：13
法1：設(shè)這個(gè)數(shù)列有n項(xiàng)
∵ ∴
∴n＝13
法2：設(shè)這個(gè)數(shù)列有n項(xiàng)
∵
∴ ∴
又 ∴n＝13
（2）答案：2 因?yàn)榍叭?xiàng)和為12，∴a1＋a2＋a3＝12，∴a2＝ ＝4
又a1•a2•a3＝48， ∵a2＝4，∴a1•a3＝12，a1＋a3＝8，
把a(bǔ)1，a3作為方程的兩根且a1＜a3，
∴x2－8x＋12＝0，x1＝6，x2＝2，∴a1＝2，a3＝6，∴選B.
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式的運(yùn)用和學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。
例2．（1）已知數(shù)列 為等差數(shù)列，且
（Ⅰ）求數(shù)列 的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）證明
分析：（1）借助 通過(guò)等差數(shù)列的定義求出數(shù)列 的公差，再求出數(shù)列 的通項(xiàng)公式，（2）求和還是要先求出數(shù)列 的通項(xiàng)公式，再利用通項(xiàng)公式進(jìn)行求和。
解：（1）設(shè)等差數(shù)列 的公差為d，
由 即d=1。
所以 即
（II）證明：因?yàn)?，
所以
點(diǎn)評(píng)：該題通過(guò)求通項(xiàng)公式，最終通過(guò)通項(xiàng)公式解釋復(fù)雜的不等問(wèn)題，屬于綜合性的題目，解題過(guò)程中注意觀察規(guī)律。
例3．已知數(shù)列 的首項(xiàng) （ 是常數(shù)，且 ）， （ ），數(shù)列 的首項(xiàng) ， （ ）。
（1）證明： 從第2項(xiàng)起是以2為公比的等比數(shù)列；
（2）設(shè) 為數(shù)列 的前n項(xiàng)和，且 是等比數(shù)列，求實(shí)數(shù) 的值。
分析：第（1）問(wèn)用定義證明，進(jìn)一步第（2）問(wèn)也可以求出。
解：（1）∵ ∴
(n≥2)
由 得 ， ，∵ ，∴ ，
即 從第2項(xiàng)起是以2為公比的等比數(shù)列。
（2）
當(dāng)n≥2時(shí)，
∵ 是等比數(shù)列, ∴ (n≥2)是常數(shù)， ∴3a+4=0，即 。
點(diǎn)評(píng)：本題考查了用定義證明等比數(shù)列，分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，有一定的綜合性。
【反饋演練】
1．已知等差數(shù)列 中， ，則前10項(xiàng)的和 ＝ 210 。
2．在等差數(shù)列 中，已知 則 ＝ 42 。
3．已知等差數(shù)列共有10項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)之和15，偶數(shù)項(xiàng)之和為30，則其公差是 3 。
4．如果 成等比數(shù)列，則 3 ， -9 。
5．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0.
(1)求公差d的取值范圍；
(2)指出S1、S2、…、S12中哪一個(gè)值最大，并說(shuō)明理由.
解：(1)依題意有：
解之得公差d的取值范圍為－ ＜d＜－3.
(2)解法一：由d＜0可知a1>a2>a3>…>a12>a13,因此，在S1，S2，…，S12中Sk為最大值的條為：ak≥0且ak+1＜0,即
∵a3=12, ∴ ， ∵d＜0, ∴2－ ＜k≤3－
∵－ ＜d＜－3,∴ ＜－ ＜4,得5.5＜k＜7.
因?yàn)閗是正整數(shù)，所以k=6,即在S1，S2，…，S12中，S6最大.
解法二：由d＜0得a1>a2>…>a12>a13，
因此若在1≤k≤12中有自然數(shù)k,使得ak≥0,且ak+1＜0,則Sk是S1，S2，…，S12中的最大值。又2a7=a1+a13= S13＜0, ∴a7＜0, a7+a6=a1+a12= S12>0, ∴a6≥－a7>0
故在S1，S2，…，S12中S6最大.
解法三：依題意得：
最小時(shí)，Sn最大；
∵－ ＜d＜－3, ∴6＜ (5－ )＜6.5.
從而，在正整數(shù)中，當(dāng)n=6時(shí)，［n－ (5－ )］2最小，所以S6最大.
點(diǎn)評(píng)：該題的第(1)問(wèn)通過(guò)建立不等式組求解屬基本要求，難度不高，入手容易.
第(2)問(wèn)難度較高，為求{Sn}中的最大值Sk（1≤k≤12）：思路之一是知道Sk為最大值的充要條是ak≥0且ak+1＜0；而思路之二則是通過(guò)等差數(shù)列的性質(zhì)等和性探尋數(shù)列的分布規(guī)律，找出“分水嶺”，從而得解；思路之三是可視Sn為n的二次函數(shù)，借助配方法可求解，它考查了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想、邏輯思維能力和計(jì)算能力，較好地體現(xiàn)了高考試題注重能力考查的特點(diǎn).
第3 數(shù)列的求和
【考點(diǎn)導(dǎo)讀】
對(duì)于一般數(shù)列求和是很困難的，在推導(dǎo)等差、等比數(shù)列的和時(shí)出現(xiàn)了一些方法可以遷移到一般數(shù)列的求和上，掌握數(shù)列求和的常見(jiàn)方法有：
（1）公式法：⑴ 等差數(shù)列的求和公式，⑵ 等比數(shù)列的求和公式
（2）分組求和法：在直接運(yùn)用公式求和有困難時(shí)常，將“和式”中的“同類(lèi)項(xiàng)”先合并在一起，再運(yùn)用公式法求和（如：通項(xiàng)中含 因式，周期數(shù)列等等）
（3）倒序相加法：如果一個(gè)數(shù)列｛a ｝，與首末兩項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，則可用把正著寫(xiě)和與倒著寫(xiě)和的兩個(gè)和式相加，就得到了一個(gè)常數(shù)列的和，這一求和方法稱(chēng)為倒序相加法。特征：an+a1=an-1+a2
（4）錯(cuò)項(xiàng)相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘所組成，此時(shí)求和可采用錯(cuò)位相減法。
（5）裂項(xiàng)相消法：把一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)一些正負(fù)項(xiàng)相互抵消，于是前n項(xiàng)之和變成首尾若干少數(shù)項(xiàng)之和。
【基礎(chǔ)練習(xí)】
1．已知公差不為0的正項(xiàng)等差數(shù)列｛an｝中,Sn為前n項(xiàng)之和,lga1、lga2、lga4成等差數(shù)列，若a5=10,
則S5 = 30 。
2．已知數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列,且a2=8,a8=26,從｛an｝中依次取出第3項(xiàng),第9項(xiàng),第27項(xiàng)…,第3n項(xiàng),按原的順序構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列｛bn｝, 則bn=__3n+1+2___
3．若數(shù)列 滿(mǎn)足： ，2，3….則 .
【范例導(dǎo)析】
例1.已知等比數(shù)列 分別是某等差數(shù)列的第5項(xiàng)、第3項(xiàng)、第2項(xiàng)，且
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）設(shè) ，求數(shù)列
解：（I）依題意
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的基本性質(zhì)和等差數(shù)列的求和，本題還考查了轉(zhuǎn)化的思想。
例2．?dāng)?shù)列 前 項(xiàng)之和 滿(mǎn)足：
（1）求證：數(shù)列 是等比數(shù)列 ；
（2）若數(shù)列 的公比為 ,數(shù)列 滿(mǎn)足： ，求數(shù)列 的通項(xiàng)公式；
（3）定義數(shù)列 為 ，，求數(shù)列 的前 項(xiàng)之和 。
解：（1）由 得：
兩式相減得： 即 ,
∴數(shù)列 是等比數(shù)列 。
（2） ，則有 ∴ 。
（3） ，
∴
點(diǎn)評(píng)：本題考查了 與 之間的轉(zhuǎn)化問(wèn)題，考查了基本等差數(shù)列的定義，還有裂項(xiàng)相消法求和問(wèn)題。
例3．已知數(shù)列 滿(mǎn)足 ， ．
（Ⅰ）求數(shù)列 的通項(xiàng)公式 ； （Ⅱ）設(shè) ，求數(shù)列 的前 項(xiàng)和 ；
（Ⅲ）設(shè) ，數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ．求證：對(duì)任意的 ， ．
分析：本題所給的遞推關(guān)系式是要分別“取倒”再轉(zhuǎn)化成等比型的數(shù)列，對(duì)數(shù)列中不等式的證明通常是放縮通項(xiàng)以利于求和。
解：（Ⅰ） ， ，
又 ， 數(shù)列 是首項(xiàng)為 ，公比為 的等比數(shù)列．
， 即 .
（Ⅱ） ．
．
（Ⅲ） ， ．
當(dāng) 時(shí)，則
．
， 對(duì)任意的 ， ．
點(diǎn)評(píng)：本題利用轉(zhuǎn)化思想將遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化成我們熟悉的結(jié)構(gòu)求得數(shù)列 的通項(xiàng) ，第二問(wèn)分組求和法是非常常見(jiàn)的方法，第三問(wèn)不等式的證明要用到放縮的辦法，放縮的目的是利于求和，所以通常會(huì)放成等差、等比數(shù)列求和，或者放縮之后可以裂項(xiàng)相消求和。
【反饋演練】
1．已知數(shù)列 的通項(xiàng)公式 ，其前 項(xiàng)和為 ，則數(shù)列 的前10項(xiàng)的和為 75 。
2．已知數(shù)列 的通項(xiàng)公式 ，其前 項(xiàng)和為 ，則 377 。
3．已知數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ，且 ，則數(shù)列 的通項(xiàng)公式為 。
4．已知數(shù)列 中， 且有 ，則數(shù)列 的通項(xiàng)公式為
，前 項(xiàng)和為 。
5．?dāng)?shù)列{an}滿(mǎn)足a1=2，對(duì)于任意的n∈N*都有an＞0, 且(n+1)an2+an•an+1－nan+12=0，
又知數(shù)列{bn}的通項(xiàng)為bn=2n－1+1.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an及它的前n項(xiàng)和Sn；
(2)求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn；
解：(1）可解得 ，從而an=2n，有Sn=n2+n，
(2)Tn=2n+n－1.
6．?dāng)?shù)列{an}中，a1=8,a4=2且滿(mǎn)足an+2=2an+1－an,(n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)Sn=｜a1｜+｜a2｜+…+｜an｜,求Sn;
(3)設(shè)bn= (n∈N*),Tn=b1+b2+……+bn(n∈N*),是否存在最大的整數(shù)m，使得對(duì)任意n∈N*均有Tn＞ 成立？若存在，求出m的值；若不存在，說(shuō)明理由.
解：(1）由an+2=2an+1－an an+2－an+1=an+1－an可知{an}成等差數(shù)列，?
d= =－2,∴an=10－2n.
(2)由an=10－2n≥0可得n≤5，當(dāng)n≤5時(shí)，Sn=－n2+9n，當(dāng)n＞5時(shí)，Sn=n2－9n+40，
故Sn=
(3)bn=
；要使Tn＞ 總成立，需 ＜T1= 成立，即m＜8且m∈Z，故適合條的m的最大值為7.
第4 數(shù)列的應(yīng)用
【考點(diǎn)導(dǎo)讀】
1．能在具體的問(wèn)題情景中發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差、等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題。
2．注意基本數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用，構(gòu)造思想：已知數(shù)列構(gòu)造新數(shù)列，轉(zhuǎn)化思想：將非等差、等比數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列。
【基礎(chǔ)練習(xí)】
1．若數(shù)列 中， ，且對(duì)任意的正整數(shù) 、 都有 ，則 .
2．設(shè)等比數(shù)列 的公比為 ，前 項(xiàng)和為 ，若 成等差數(shù)列，則 的值為 。
3．已知等差數(shù)列 的公差為2，若 成等比數(shù)列，則 。
【范例導(dǎo)析】
例1．已知正數(shù)組成的兩個(gè)數(shù)列 ，若 是關(guān)于 的方程 的兩根
（1）求證： 為等差數(shù)列；
（2）已知 分別求數(shù)列 的通項(xiàng)公式；
（3）求數(shù) 。
（1）證明：由 的兩根得：
是等差數(shù)列
（2）由（1）知
∴ 又 也符合該式，
（3） ①
②
①—②得
.
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，數(shù)列的構(gòu)造，數(shù)列的轉(zhuǎn)化思想，乘公比錯(cuò)項(xiàng)相減法求和等。
例2．設(shè)數(shù)列 滿(mǎn)足 ，且數(shù)列 是等差數(shù)列，數(shù)列 是等比數(shù)列。
（I）求數(shù)列 和 的通項(xiàng)公式；
（II）是否存在 ，使 ，若存在，求出 ，若不存在，說(shuō)明理由。
解：由題意得：
＝ ；
由已知 得公比
（2）
，所以當(dāng) 時(shí)， 是增函數(shù)。
又 ， 所以當(dāng) 時(shí) ，
又 ， 所以不存在 ，使 。
【反饋演練】
1．制造某種產(chǎn)品，計(jì)劃經(jīng)過(guò)兩年要使成本降低 ，則平均每年應(yīng)降低成本 。
2．等比數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ， ，則 54 。
3．設(shè) 為等差數(shù)列， 為數(shù)列 的前 項(xiàng)和，已知 ， 為數(shù)列｛ ｝的前 項(xiàng)和，則 ．
4.已知數(shù)列
（1）求數(shù)列 的通項(xiàng)公式； （2）求證數(shù)列 是等比數(shù)列；
（3）求使得 的集合.
解：（1）設(shè)數(shù)列 ，由題意得：
解得：
（2）由題意知： ，
為首項(xiàng)為2，公比為4的等比數(shù)列
（3）由
5.已知數(shù)列 的各項(xiàng)均為正數(shù)， 為其前 項(xiàng)和，對(duì)于任意 ，滿(mǎn)足關(guān)系 .
證明： 是等比數(shù)列；
證明：∵ ① ∴ ②
②－①，得
∵
故:數(shù)列{an}是等比數(shù)列
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