第十三　統(tǒng)計(jì)案例

高考導(dǎo)航

考試要求重難點(diǎn)擊命題展望
　　1.理解隨機(jī)抽樣的必要性和重要性，會(huì)用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法從總體中抽取樣本，了解分層抽樣和系統(tǒng)抽樣方法.
2.了解分布的意義和作用，會(huì)列頻率分布表，會(huì)畫頻率分布直方圖、莖葉圖，理解它們各自的特點(diǎn)，理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，會(huì)計(jì)算數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差，能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差)，并作出合理的解釋，會(huì)用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，會(huì)用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的基本數(shù)字特征，理解用樣本估計(jì)總體的思想，會(huì)用隨機(jī)抽樣的基本方法和樣本估計(jì)總體 的思想解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.
3.會(huì)作兩個(gè)有關(guān)聯(lián)變量的散點(diǎn)圖，會(huì)利用散點(diǎn)圖認(rèn)識(shí)變量間的相關(guān)關(guān)系，了解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程，了解回歸的基本思想、方法及其簡(jiǎn)單應(yīng)用.
4.了解獨(dú)立性檢驗(yàn)(只要求2×2列聯(lián)表)的基本思想、方法及其簡(jiǎn)單應(yīng)用.　　本重點(diǎn)：1.三種抽樣方法的區(qū)別、聯(lián)系及操作步驟.2.樣本頻率分布直方圖和莖葉圖.3.用樣本估計(jì)總體的思想.
　　本難點(diǎn)：回歸直線方程與獨(dú)立性檢驗(yàn).　　統(tǒng)計(jì)多數(shù)以選擇題和填空題形式考查，大題只在個(gè)別省的考題中出現(xiàn)過(guò).難度屬于基礎(chǔ) 題和中檔題.考點(diǎn)往往集中體現(xiàn)在抽樣方法、頻率分布圖表這兩個(gè)方面.另外，應(yīng)注意統(tǒng)計(jì)題反映出的綜合性與應(yīng)用性，如與數(shù)列、概率等的綜合，用統(tǒng)計(jì)方法提供決策、制定方案等，以此考查學(xué)生搜集處理信息及分析解決問(wèn)題的能力.

知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

13.1　抽樣方法與用樣本估計(jì)總體

典例精析
題型一　抽樣方法
【例1】某校有教師200人，男學(xué)生1 200人，女學(xué)生1 000人，用分層抽樣的方法從所有師生中抽取一個(gè)容量為n的樣本，已知女學(xué)生抽取的人數(shù)為80人，則n的值為　　　.
【解析】根據(jù)分層抽樣的意義，
n200＋1 200＋1 000＝801 000，解得n＝192.
【點(diǎn)撥】現(xiàn)實(shí)中正確的分層抽樣一般有三個(gè)步驟：首先，辨明突出的統(tǒng)計(jì)特征和分類.其次，確定每個(gè)分層在總體上的比例.利用這個(gè)比例，可計(jì)算出樣本中每組(層)應(yīng)抽取的人數(shù).最后，必須從每層中抽取獨(dú)立簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.
【變式訓(xùn)練1】從某廠生產(chǎn)的802輛轎車中隨機(jī)抽取80輛測(cè)試某項(xiàng)性能.請(qǐng)合理選擇抽樣方法進(jìn)行抽樣，并寫出抽樣過(guò)程.
【解析】第一步，將802輛轎車用隨機(jī)方式編號(hào).
第二步，從總體中剔除2輛(剔除方法可用隨機(jī)數(shù)表法)，將剩余的800輛轎車重新編號(hào)(分別為001,002,003，…，800)，并分成80段.
第三步，在第一段001,002，…，010這十個(gè)編號(hào)中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣抽出一個(gè)(如005)作為起始號(hào)碼.
第四步，將編號(hào)為005,015,025，…，795的個(gè)體抽出，組成樣本.
題型二　頻率分布直方圖
【例2】(2 010湖南)如圖是某城市通過(guò)抽樣得到的居民某年的月均用水量(單位：噸)的頻率分布直方圖.

(1)求直方圖中x的值；
(2)若將頻率視為概率，從這個(gè)城市隨機(jī)抽取3位居民(看作有放回的抽樣)，求月均用水量在3至4噸的居民數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【解析】(1)依題意及頻率分布直方圖知0 .02＋0.1＋x＋0.37＋0.39＝1，解得x＝0.12.
(2)由題意知X～B(3,0.1)，因此
P(X＝0)＝C03×0.93＝0.729，
P(X＝1)＝C13×0.1×0.92＝0.243，
P(X＝2)＝C23×0.12×0.9 ＝0.027，
P(X＝3)＝C33×0.13＝0.001，
故隨機(jī)變量X的分布列為
X0123
P0.7290.2430.027 0. 001
X的數(shù)學(xué)期望為E(X)＝3×0.1＝0.3.
(或E(X)＝1×0.243＋2×0.027＋3×0.001＝0.3)
【點(diǎn)撥】從頻率分布直方圖讀取數(shù)據(jù)時(shí)，要特別重視組距，縱坐標(biāo)是頻率除以組距，故長(zhǎng)方形的面積之和為1.
【變式訓(xùn)練2】如圖是容量為100的樣本的頻率分布直方圖，試根據(jù)數(shù)據(jù)填空：

(1)樣本數(shù)據(jù)落在[10,14)內(nèi)的頻數(shù)為　 ��；
(2)樣本數(shù)據(jù)落在[6,10)內(nèi)的頻率為　 ��；
(3)總體落在[2,6)內(nèi)的頻率為　 　.
【解析】(1)樣本落在[10,14)內(nèi)的頻數(shù)為0.09×4×100＝36.
(2)樣本落在[6,10)內(nèi)的頻率為0.08×4＝0.32.
(3)樣本落在[2,6)內(nèi)的頻率為0.02×4＝0.08，所以總體落在[2,6)內(nèi)的頻率約為0.08.
題型三　平均數(shù)、方差的計(jì)算
【例3】甲、乙兩人在相同條下各射靶10次，每次命中環(huán)數(shù)如下：
甲　4　7　10　9　5　6　8　6　8　8
乙　7　8　6　8　6　7　8　7　5　9
試 問(wèn)誰(shuí)10次射靶的情況較穩(wěn)定？
【解析】本題要計(jì)算兩樣本的方差，當(dāng)樣本平均數(shù)不是整數(shù)，且樣本數(shù)據(jù)不大時(shí)，可用簡(jiǎn)化公式計(jì)算方差.
＝110(4＋7＋…＋8)＝7.1，
＝110(7＋8＋…＋9)＝7.1，
s2甲＝110(42＋72＋…＋82－10×7.12)＝3.09，
s2乙＝110(72＋82＋…＋92－10×7.12)＝1.29，
因?yàn)閟2甲＞s2乙，所以乙10次射靶比甲10次射靶情況穩(wěn)定.
【點(diǎn)撥】平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平；標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小，標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度就越大，越不穩(wěn)定；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定.
【變式訓(xùn)練3】(2010北京市東城區(qū))在一次數(shù)學(xué)統(tǒng)考后，某班隨機(jī)抽取10名同學(xué)的成績(jī)進(jìn)行樣本分析，獲得成績(jī)數(shù)據(jù)的莖葉圖如右圖.
(1)計(jì)算此樣本的平均成績(jī)及方差；
(2)現(xiàn)從此樣本中隨機(jī)抽出2名學(xué)生的成績(jī)，設(shè)抽出分?jǐn)?shù)為90分以上的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和均值.
【解析】(1)樣本的平均成績(jī) ＝80；
方差為s2＝110[(92－80)2＋(98－80)2＋(98－80)2＋(85－80)2＋(85－80)2＋(74－80)2＋(74－80)2＋(74－80)2 ＋(60－80)2＋(60－80)2]＝175.
(2)由題意，隨機(jī)變量X＝0,1,2.
P(X＝0)＝C27C210＝715，P(X＝1)＝C13C17C210＝715，P(X＝2)＝115.
隨機(jī)變量X的分布列為
X012
P
E(X)＝0×715＋1×715＋2×115＝35.
總結(jié)提高
1.統(tǒng)計(jì)的基本思想是用樣本估計(jì)總體.這就 要求樣本具有很好的代表性，而樣本良好客觀的代表性，則完全依賴抽樣方法.
2.三種抽樣方法中簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是最基本的抽樣方法，是其他兩種方法的基礎(chǔ)，它們的共同點(diǎn)都是等概率抽樣.適用范圍不同，要根據(jù)總體的具體情況 選用不同的方法.
3.對(duì)于總體分布，總是用樣本的頻率分布對(duì)它進(jìn)行估計(jì).
4.用樣本估計(jì)總體，一般分成以下幾個(gè)步驟：
先求樣本數(shù)據(jù)中的最大值和最小值(稱為極值)，再確定合適的組數(shù)和組距，確定分點(diǎn)(每個(gè)分點(diǎn)只屬于一組，故一般采用半開半閉區(qū)間)，然后列出頻率分布表(準(zhǔn)確，查數(shù)據(jù)容易)，畫頻率 分布直方圖.

13.2　兩變量間的相關(guān)性、回歸分析和獨(dú)立性檢驗(yàn)

典例精析
題型一　求回歸直線方程
【例1】下表是關(guān)于某設(shè)備的使用年限(年)和所需要的維修費(fèi)用(萬(wàn)元)的幾組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：
x23456
y2.23.85.56.57.0
(1)若y對(duì)x呈線性相關(guān)關(guān)系，求出y關(guān)于x的線性回歸方程y＝ x＋ ；
(2)估計(jì)使用年限為10年時(shí)，維修費(fèi)用為多少？
【解析】(1)因?yàn)?xiyi＝112.3， x2i＝4＋9＋16＋25＋36＝90，且 ＝4， ＝5，n＝5，
所以 ＝112.3－5×4×590－5×16＝12.310＝1.23， ＝5－1.23×4＝0.08，
所以回歸直線方程為y＝1.23x＋0.08.
(2)當(dāng)x＝10時(shí)，y＝1.23×10＋0.08＝12.38，
所以估計(jì)當(dāng)使用10年時(shí)，維修費(fèi)用約為12.38萬(wàn)元.
【點(diǎn)撥】當(dāng)x與y呈線性相關(guān)關(guān)系時(shí)，可直接求出回歸直線方程，再利用回歸直線方程進(jìn)行計(jì)算和預(yù)測(cè).
【變式訓(xùn)練1】某工廠經(jīng)過(guò)技術(shù)改造后，生產(chǎn)某種產(chǎn)品的產(chǎn)量(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)有如下幾組樣本數(shù)據(jù).
x3456
y2.5344.5
據(jù)相關(guān)性檢驗(yàn)，y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，通過(guò)線性回歸分析，求得回歸直線的斜率為0.7，那么y關(guān)于x的回歸直線方程是　　　　　　　　.
【解析】先求得 ＝4.5， ＝3.5，由 ＝0.7x＋a過(guò)點(diǎn)( ， )，則a＝0.35，所以回歸直線方程是 ＝0.7x＋0.35.
題型二　獨(dú)立性檢驗(yàn)
【例2】研究小麥種子經(jīng)滅菌與否跟發(fā)生黑穗病的關(guān)系，經(jīng)試驗(yàn)觀察，得到數(shù)據(jù)如下表所示：
種子滅菌種子未滅菌 合計(jì)
黑穗病26184210
無(wú)黑穗病50200250
合計(jì)76384460
試按照原試驗(yàn)?zāi)康淖鹘y(tǒng)計(jì)分析推斷.
【解析】由列聯(lián)表得：
a＝26，b＝1 84，c＝50，d＝200，a＋b＝210，c＋d＝250，a＋c＝76，b＋d＝384，n＝460.
所以2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)＝460×(26×200－184×50)2210×250×76×384≈4.804，
由于2≈4.804＞3.841，
所以有95%的把握認(rèn)為種子滅菌與否與小麥發(fā)生黑穗病是有關(guān)系的.
【變式訓(xùn)練2】(2010東北三 省三校模擬)某 研究小組為了研究中學(xué)生的身體發(fā)育情況，在某學(xué)校隨機(jī)抽出20名15至16周歲的男生，將他們的身高和體重制成2×2的列聯(lián)表，根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，可以有　　　%的把握認(rèn)為該學(xué)校15至16周歲的男生的身高和體重之間有關(guān)系.
超重不超重合計(jì)
偏高 415
不偏高312 15
合計(jì)71320
附：獨(dú)立性檢驗(yàn)臨界值表
P(2≥k0)0.0250.0100.0050.001
k0 5.0246.6357.87910.828
(獨(dú)立性檢驗(yàn)隨機(jī)變量2值的計(jì)算公式：2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d))
【解析】由表可得a＋b＝5，c＋d＝1 5，a＋c＝7，b＋d＝13，ad＝48，bc＝3，n＝20，運(yùn)用獨(dú)立性檢驗(yàn)隨機(jī)變量2值的計(jì)算公式得2＝20×(48－3)25×15×7×13＝54091≈5.934，
由于2≈5.934＞5.024，所以有97.5%的把握認(rèn)為該學(xué)校15至16周歲的男生的身高和體重之間有關(guān)系.
總結(jié)提高
1.在研究?jī)蓚�(gè)變量之間是否存在某種關(guān)系時(shí)，必須從散點(diǎn)圖入手.
2.樣本的隨機(jī)性導(dǎo)致由線性回歸方程所作出的預(yù)報(bào)也具有隨機(jī)性.

本文來(lái)自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/gaosan/37904.html

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