2013屆高三數(shù)學(xué)章末綜合測試題（2）導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．
1．曲線y＝13x3＋x在點(diǎn)1，43處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角面積為( )
A.19 B.29 C.13 D.23
解析：y′＝x2＋1，當(dāng)x＝1時，k＝y(tǒng)′x＝1＝2，
∴切線方程為y－43＝2(x－1)．當(dāng)x＝0時，y＝－23，當(dāng)y＝0時，x＝13.
∴三角形的面積S＝12×－23×13＝19.
答案：A
2．函數(shù)y＝4x2＋1x的單調(diào)增區(qū)間為( )
A．(0，＋∞) B.12，＋∞
C．(－∞，－1) D.－∞，－12
解析：由y＝4x2＋1x，得y′＝8x－1x2. 令y′＞0，即8x－1x2＞0，解得x＞12，
∴函數(shù)y＝4x2＋1x在12，＋∞上遞增.
答案：B
3．若曲線f(x)＝xsinx＋1在x＝π2處的切線與直線ax＋2y＋1＝0互相垂直，則實(shí)數(shù)a等于( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析：據(jù)已知可得f′(x)＝sinx＋xcosx，故f′π2＝1.由兩直線的位置關(guān)系可得－a2×1＝－1，解得a＝2.
答案：D
4．設(shè)函數(shù)f(x)＝g(x)＋x2，曲線y＝g(x)在點(diǎn)(1，g(1))處的切線方程為y＝2x＋1，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線的斜率為( )
A．4 B．－14
C．2 D．－12
解析：∵f(x)＝g(x)＋x2，∴f′(x)＝g′(x)＋2x，
f′(1)＝g′(1)＋2＝2＋2＝4.
答案：A
5．已知f(x)＝x3－ax在(－∞，－1]上遞增，則a的取值范圍是( )
A．a(chǎn)＞3 B．a(chǎn)≥3
C．a(chǎn)＜3 D．a(chǎn)≤3
解析：由f(x)＝x3－ax，得f′(x)＝3x2－a，
由3x2－a≥0對于一切x∈(－∞，－1]恒成立，
3x2≥a，∴a≤3.
若a＜3，則f′(x)＞0對于一 切x∈(－∞，－1]恒成立．
若a＝3，x∈(－∞，－1)時，f′(x)＞0恒成立．
x＝－1時，f′(－1)＝0，∴a≤3.
答案：D
6．設(shè)f(x)是一個三次函數(shù)，f′(x)為其導(dǎo)函數(shù)，如圖所示的是y＝xf′(x)的圖像的一部分，則f(x)的極大值與極小值分別是( )
A．f(1)與f(－1) B．f(－1)與f(1)
C．f(2)與f(－2) D．f(－2)與f(2)
解析：由y＝xf′(x)的圖像知±2是y＝f′(x)的兩個零點(diǎn)，設(shè)f′(x)＝a(x－2)(x＋2)．
當(dāng)x＞2時，xf′(x)＝ax(x－2)(x＋ 2)＞0，∴a＞0.
由f′(x)＝a(x－2)(x＋2)知，f(－2)是極大值，f(2)是極小值，故選D.
答案：D
7．若函數(shù)f(x)＝13x3＋12f′(1)x2－f′(2)x＋3，則f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處切線的傾斜角為( )
A.π4 B.π3
C.2π3 D.3π4
解析：由題意，得f′(x)＝x2＋f′(1)x－f′(2)，
令x＝0，得f′(0)＝－f′(2)，
令x＝1，得f′(1)＝1＋f′(1)－f′(2)，
∴f′(2)＝1，∴f′(0)＝－1，
即f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處切線的斜率為－1，
∴傾斜角為3π4.
答案：D
8．下圖所示為函數(shù)y＝f(x)，y＝g(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖像，那么y＝f(x)，y＝ g(x)的圖像可能是( )
解析：由y＝f′(x)的圖像知，y＝f′(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，說明函數(shù)y＝f(x)圖像上任意一點(diǎn)切線的斜率在(0，＋∞)也單調(diào)遞減，故可排除A，C.又由圖像知，y＝f′(x)與y＝g′(x)的圖像 在x＝x0處相交，說明y＝f(x)與y＝g(x)的圖像在x＝x0處的切線斜率相同，故可排 除B.故選D.
答案：D
9．若函數(shù)f(x)在R上滿足f(x)＝ex＋x2－x＋sinx，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程是( )
A．y＝2x－1 B．y＝3x－2
C．y＝x＋1 D．y＝－2x＋3
解析：令x＝0，解得f(0)＝1.對f(x)求導(dǎo)，得f′(x)＝ex＋2x－1＋cosx，令x＝0，解得f′(0) ＝1，故切線方程為y＝x＋1.
答案：C
10．如圖，函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖像，則下面判斷正確的是( )
A．在(－2,1)內(nèi)f(x)是增函數(shù)
B．在(1,3)內(nèi)f(x)是減函數(shù)
C．在(4,5)內(nèi)f(x)是增函數(shù)
D．在x＝2時，f(x)取到極小值
解析：在(－2,1)上，導(dǎo)函數(shù)的符號有正有負(fù)，所以函數(shù)f(x)在這個區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)；同理，函數(shù)f(x)在(1,3)上也不是單調(diào)函數(shù)，在x＝2的左側(cè)，函數(shù)f(x)在－32，2上是增函數(shù)．在x＝2的右側(cè)，函數(shù)f(x)在(2,4)上是減函數(shù)，所以在x＝2時，f(x)取到極大值；在(4,5)上導(dǎo)函數(shù)的符號為正，所以函數(shù)f(x)在這個區(qū)間上為增函數(shù).
答案：C
11．已知函數(shù)f(x)＝x3－px2－qx的圖像與x軸相切于(1,0)點(diǎn)，則f (x)的極大值、極小值分別為( )
A.427、0 B．0、427
C．－427、0 D．0、－427
解析：f′(x)＝3x2－2px－q，
由f′(1)＝0，f(1)＝0，得3－2p－q＝0，1－p－q＝0，解得p＝2，q＝－1.
∴f(x)＝x3－2x2＋x.
由f′(x)＝3x2－4x＋1＝0，得x＝13，或x＝1.
從而求得當(dāng)x＝13時，f(x)取極大值427；當(dāng)x＝1時，f(x)取極小值0.故選A.
答案：A
12．如右圖，若函數(shù)y＝f(x)的圖像在點(diǎn)P處的切線方程為x－y＋2＝0，則f(1)＋f′(1)＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：由圖像知f(1)＝3，f′(1)＝1，故f(1)＋f′(1)＝
3＋1＝4.
答案：D
第Ⅱ卷 (非選擇 共90分)
二、填空題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分．
13．設(shè)P為曲線C：y＝x2－x＋1上一點(diǎn)，曲線C在點(diǎn)P處的切線的斜率的范圍是[－1,3]，則點(diǎn)P縱坐標(biāo)的取值范圍是__________．
解析：設(shè)P(a，a2－a＋1)，y′x＝a＝2a－1∈－1，3，
∴0≤a≤2.從而g(a)＝a2－a＋1＝a－122＋34.
當(dāng)a＝12時，g(a)in＝34；a＝2時，g(a)ax＝3. 故P點(diǎn)縱坐標(biāo)范圍是34，3.
答案：34，3
14．已知函數(shù)f(x)＝lnx＋2x，g(x)＝a(x2＋x)，若f(x)≤g(x)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________．
解析：設(shè)F(x)＝f(x)－g(x)，其定義域?yàn)?0，＋∞)，
則F′(x)＝1x＋2－2ax－a＝－(2x＋1)(ax－1)x，x∈(0，＋∞)．
當(dāng)a≤0時，F(xiàn)′(x)＞0，F(xiàn)(x)單調(diào)遞增，F(xiàn)(x)≤0不可能恒成立．
當(dāng)a＞0時，令F′(x)＝0，得x＝1a，或x＝－12(舍去)．
當(dāng)0＜x＜1a時，F(xiàn)′(x)＞0；當(dāng)x＞1a時，F(xiàn)′(x)＜0.故F(x)在(0，＋∞)上有最大值F1a，由題意F1a≤0恒成立，即ln1a＋1a－1≤0.令φ(a)＝ln1a＋1a－1，則φ(a)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，且φ(1)＝0，故ln1a＋1a－1≤0成立的充要條件是a≥1.
答案：[1，＋∞)
15．設(shè)函數(shù)y＝ax2＋bx＋k(k＞0)在x＝0處取得極值，且曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線垂直于直線x＋2y＋1＝0，則a＋b的值為__________．
解析：∵f(x)＝ax2＋bx＋k(k＞0)，∴f′(x)＝2ax＋b.又f(x)在x＝0處有極值，故f′(0)＝0，從而b＝0.由曲線y＝f(x)在(1，f(1))處的切線與直線x＋2y＋1＝ 0垂直，可知該切線斜率為 2，即f′(1)＝2，∴2a＝2，得a＝1.
∴a＋b＝1＋0＝1.
答案：1
16．已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則下列說法正確的是__________．(填寫正確命題的序號)
①函數(shù)f(x)在區(qū)間(－3,1)內(nèi)單調(diào)遞減；
②函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,7)內(nèi)單調(diào)遞減；
③當(dāng)x＝－3時，函數(shù)f(x)有極大值；
④當(dāng)x＝7時，函數(shù)f(x)有極小值．
解析：由圖像可得，在區(qū)間(－3,1)內(nèi)f(x)的導(dǎo)函數(shù)數(shù)值大于零，所以f(x)單調(diào)遞增；在區(qū)間(1,7)內(nèi)f(x)的導(dǎo)函數(shù)值小于零，所以f(x)單調(diào)遞減；在x＝－3左右的導(dǎo)函數(shù)符號不變，所以x＝－3不是函數(shù)的極大值點(diǎn)；在x＝7左右的導(dǎo)函數(shù)符號在由負(fù)到正，所以函數(shù)f(x)在x＝7處有極小值．故②④正確．
答案：②④
三、解答題：本大題共6小題，共70分．
17．(10分)已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2(a，b∈R)．
(1)若函數(shù)f(x)在x＝1處有極值為10，求b的值；
(2)若對任意a∈[－4，＋∞)，f(x)在x∈[0,2]上單調(diào)遞增，求b的最小值．
解析：(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
則f′(1)＝3＋2a＋b＝0，f(1)＝1＋a＋b＋a2＝10⇒a＝4，b＝－11或a＝－3，b＝3.
當(dāng)a＝4，b＝－11時，f′(x)＝3x2＋8x－11，Δ＝64＋132＞0，故函數(shù)有極值點(diǎn)；
當(dāng)a＝－3，b＝3時，f′(x)＝3(x－1)2≥0，故函數(shù)無極值點(diǎn)；
故b的值為－11.
(2)方法一：f′(x)＝3x2＋2ax＋b≥0對任意的a∈[－4，＋∞)，x∈[0,2]都成立，
則F(a)＝2xa＋3x2＋b≥0對任意的a∈[－4，＋∞)，x∈[0,2]都成立．
∵x≥0，F(xiàn)(a)在a∈[－4，＋∞)上單調(diào)遞增或?yàn)槌?shù)函數(shù)，
∴得F(a)in＝F(－4)＝－8x＋3x2＋b≥0對任意的x∈[0,2]恒成立，即b≥(－3x2＋8x)ax，
又－3x2＋8x＝－3x－432＋163≤163，
當(dāng)x＝43時，(－3x2＋8x)ax＝163，得b≥163，
故b的最小值為163.
方法二：f′(x)＝3x2＋2ax＋b≥0對任意的a∈[－4，＋∞)，x∈[0,2]都成立，
即b≥－3x2－2ax對任意的a∈[－4，＋∞)，x∈[0,2]都成立，即b≥(－3x2－2ax)ax.
令F(x)＝－3x2－2ax＝－3x＋a32＋a23，
①當(dāng)a≥0時，F(xiàn)(x)ax＝0，于是b≥0；
②當(dāng)－4≤a＜0時，F(xiàn)(x)ax＝a23，于是b≥a23.
又∵a23ax＝163，∴b≥163.
綜上，b的最小值為163.
18．(12分)已知函數(shù)f(x)＝x3－12x2＋bx＋c.
(1)若f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)，求b的取值范圍；
(2)若f(x)在x＝1處取得極值，且x∈[－1,2]時，f(x)＜c2恒成立，求c的取值范圍．]
解析：(1)f′(x)＝3x2－x＋b，因f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)，則f′(x)≥0，即3x2－x＋b≥0，
∴b≥x－3x2在(－∞，＋∞)恒成立．
設(shè)g(x)＝x－3x2，當(dāng)x＝16時，g(x)ax＝112，∴b≥112.
(2)由題意，知f′(1)＝0，即3－1＋b＝0，∴b＝－2.
x∈[－1,2]時，f(x)＜c2恒成立，只需f(x)在[－1,2]上的最大值小于c2即可．因f′(x)＝3x2－x－2，
令f′(x)＝0，得x＝1，或x＝－23.
∵f(1)＝－32＋c，f(－23)＝2227＋c，f(－1)＝12＋c，f(2)＝2＋c，
∴f(x)ax＝f(2)＝2＋c，
∴2＋c＜c2，解得c＞2，或c ＜－1，
所以c的取值范圍為(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
19．(12分)已知函數(shù)f(x)＝2x－2＋1x2＋1(x∈R)．
(1)當(dāng)＝1時，求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程；
(2)當(dāng)＞0時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值．
解析：(1)當(dāng)＝1時，f(x)＝2xx2＋1，f(2)＝45，
又因?yàn)閒′(x)＝2(x2＋1)－4x2(x2＋1)2＝2－2x2(x2＋1)2，則f′(2)＝－625.
所以曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程為
y－45＝－625(x－2)，即6x＋25y－32＝0.
(2)f′(x)＝2(x2＋1)－2x(2x－2＋1)(x2＋1)2
＝－2(x－)(x＋1)(x2＋1)2.
令f′(x)＝0，得到x1＝－1，x2＝.
∵＞0，∴－1＜.
當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：
x－∞，－1
－1
－1，
(，＋∞)
f′(x)－0＋0－
f(x)遞減極小值遞增極大值遞減
從而f(x)在區(qū)間－∞，－1，(，＋∞)內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間－1，內(nèi)為增函數(shù)，
故函數(shù)f(x)在點(diǎn)x1＝－1處取得極小值f－1，且f－1＝－2，函數(shù)f(x)在點(diǎn)x2＝處取得極大值f()，且f()＝1.
20．(12分)已知函數(shù)f(x)＝(a－12)x2＋ln x(a∈R)．
(1)當(dāng)a＝1時，求f(x)在區(qū)間[1，e]上的最大值和最小值；
(2)若在區(qū)間(1，＋∞)上，函數(shù)f(x)的圖像恒在直線y＝2ax下方，求a的取值范圍．
解析：(1)當(dāng)a＝1時，f(x)＝12x2＋lnx，f′(x)＝x＋1x＝x2＋1x.
對于x∈[1，e]有f′(x)＞0，
∴f(x)在區(qū)間[1，e]上為增函數(shù)，
∴f(x)ax＝f(e)＝1＋e22，f(x)in＝f(1)＝12.
(2)令g(x)＝f(x)－2ax＝(a－12)x2 －2ax＋lnx，
則g(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)．
在區(qū)間(1，＋∞)上，函數(shù)f(x)的圖像恒在直線y＝2ax下方等價于g(x)＜0在區(qū)間(1，＋∞ )上恒成立．
∵g′(x)＝(2a－1)x－2a＋1x
＝(2a－1)x2－2ax＋1x
＝(x－1)[(2a－1)x－1]x，
①若a＞12，令g′(x)＝0，得極值點(diǎn)x1＝1，x2＝12a－1，
當(dāng)x2＞x1＝1，即12＜a＜1時，在(x2，＋∞)上有g(shù)′(x)＞0，
此時g(x)在區(qū)間(x2，＋∞)上是增函數(shù)，并且在該區(qū)間上有g(shù)(x)∈(g(x2)，＋∞)，不符合題意；
當(dāng)x2≤x1＝1，即a≥1時，同理可知，g(x)在區(qū)間(1，＋∞)上，有g(shù)(x)∈(g(1)，＋∞)，也不符合題意；
②若a≤12，則有2a－1≤0，此時在區(qū)間(1，＋∞)上恒有g(shù)′(x)＜0，從而g(x)在區(qū)間(1，＋∞)上是減函數(shù)．
要使g(x)＜0在此區(qū)間上恒成立，
只需滿足g(1)＝－a－12≤0⇒a≥－12，
由此求得a的取值范圍是－12，12.
綜上可知，當(dāng)a∈－12，12時，函數(shù)f(x)的圖像恒在直線y＝2ax下方．
21．(12分)設(shè)函數(shù)f(x)＝lnx，g(x)＝ax＋bx，函數(shù)f(x)的圖像與x軸的交點(diǎn)也在函數(shù)g(x)的圖像上，且在此點(diǎn)有公共切線．
(1)求a，b的值；
(2)對任意x＞0，試比較f(x)與g(x)的大�。�
解析：(1)f(x)＝lnx的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是(1,0)，依題意，得g(1)＝a＋b＝0.①
又f′(x)＝1x，g′(x)＝a－bx2，
且f(x)與g(x)在點(diǎn)(1,0)處有公共切線，
∴g′(1)＝f′(1)＝1，即a－b＝1.②
由①②得，a＝12，b＝－12.
(2)令F(x)＝f(x)－g(x)，則
F(x)＝lnx－12x－12x＝lnx－12x＋12x，
∴F′(x)＝1x－12－12x2＝－121x－12≤0.
∴F(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)．
當(dāng)0＜x＜1時，F(xiàn)(x)＞F(1)＝0，即f(x)＞g(x)；
當(dāng)x＝1時，F(xiàn)(1)＝0，即f(x)＝g(x)；
當(dāng)x＞1時，F(xiàn)(x)＜F(1)＝0，即f(x)＜g(x)．
22．(12分)設(shè)函數(shù)f(x)＝ax3－2bx2＋cx＋4d(a，b，c，d∈R)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，且x＝1時，f(x)取極小值－23.
(1)求a，b，c，d的值；
(2)當(dāng)x∈[－1,1]時，圖像上是否存在兩點(diǎn)，使得過兩點(diǎn)處的切線互相垂直？試證明你的結(jié)論；
(3)若x1，x2∈[－1,1]，求證：f(x1)－f(x2)≤43.
解析：(1)∵函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，
∴對任意實(shí)數(shù)x有f(－x)＝－f(x)，
∴－ax3－2bx2－cx＋4d ＝－ax3＋2bx2－cx－4d，
即bx2－2d＝0恒成立，∴b＝0，d＝0，
∴f(x)＝ax3＋cx，f′(x)＝3ax2＋c，
∵當(dāng)x＝1時，f(x)取極小值－23，
∴3a＋c＝0，且a＋c＝－23，
解得a＝13，c＝－1.
(2)當(dāng)x∈[－1,1]時，圖像上不存在這樣的兩點(diǎn)使結(jié)論成立．
假設(shè)圖像上存在兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，使得過此兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則由f′(x)＝x2－1知，兩點(diǎn)處的切線斜率分別為k1＝x12－1，k2＝x22－1，
且(x12－1)(x22－1)＝－1.(*)
∵x1，x2∈[－1,1]，∴x12－1≤0，x22－1≤0.
∴(x12－1)(x22－1)≥0.
此與(*)相矛盾，故假設(shè)不成立．
(3)f′(x)＝x2－1，令f′(x)＝0，得x＝±1.
當(dāng)x∈(－∞，－1)或x∈(1，＋∞)時，f′(x)＞0，
當(dāng)x∈(－1,1)時，f′(x)＜0，
∴f(x)在[－1,1]上是減函數(shù)，
且f(x)ax＝f(－1)＝23，f(x)in＝f(1)＝－23.
∴在[－1,1]上，f(x)≤23，
于是x1，x2∈[－1,1]時，
f(x1)－f(x2)≤f(x1)＋f(x2)≤23＋23＝43.
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