高三第一輪復(fù)習 第五 功和能
第一節(jié) 功
基礎(chǔ)知識 一、功的概念
1、定義： 力和力的作用點通過位移的乘積．
2.做功的兩個必要因素：力和物體在力的方向上的位移
3、公式：W＝FScosα（α為F與s的夾角）．
說明：恒力做功大小只與F、s、α這三個量有關(guān)．與物體是否還受其他力、物體運動的速度、加速度等其他因素無關(guān)，也與物體運動的路徑無關(guān)．
4.單位：焦耳（J) 1 J＝1N•m.
5.物理意義：表示力在空間上的積累效應(yīng)，是能的轉(zhuǎn)化的量度
6.功是標量，沒有方向，但是有正負．正功表示動力做功，負功表示阻力做功，功的正負表示能的轉(zhuǎn)移方向．
①當0≤a＜900時W＞0，力對物體做正功；
②當α=900時W＝0，力對物體不做功；
③當900＜α≤1800時W＜0，力對物體做負功或說成物腳體克服這個力做功，這兩種說法是從二個角度描述同一個問題．
二、注意的幾個問題
①F：當F是恒力時，我們可用公式W＝Fscosθ運算；當F大小不變而方向變化時，分段求力做的功；當F的方向不變而大小變化時，不能用W＝Fscosθ公式運算（因數(shù)學知識的原因），我們只能用動能定理求力做的功．
②S：是力的作用點通過的位移，用物體通過的位移表述時，在許多問題上學生往往會產(chǎn)生一些錯覺，在后面的練習中會認識到這一點，另外位移S應(yīng)當弄清是相對哪一個參照物的位移
③功是過程量：即做功必定對應(yīng)一個過程（位移），應(yīng)明確是哪個力在哪一過程中的功．
④什么力做功：在研究問題時，必須弄明白是什么力做的功．如圖所示，在力F作用下物體勻速通過位移S則力做功FScosθ，重力做功為零，支持力做功為零，摩擦力做功－Fscosθ，合外力做功為零．
例1．如圖所示，在恒力F的作用下，物體通過的位移為S，則力F做的功為
解析：力F做功W＝2Fs．此情況物體雖然通過位移為S．但力的作用點通過的位移為2S，所以力做功為2FS． 答案：2Fs
例2．如圖所示，把A、B兩球由圖示位置同時由靜止釋放（繩開始時拉直），則在兩球向左下擺動時．下列說法正確的是
A、繩子OA對A球做正功
B、繩子AB對B球不做功
C、繩子AB對A球做負功
D、繩子AB對B球做正功
解析：由于O點不動，A球繞O點做圓周運動，OA對球A不做功。對于AB段，我們可以想象，當擺角較小時．可以看成兩個擺長不等的單擺，由單擺的周期公式就可以看出，A擺將先回到平衡位置．B擺將落后于A擺，AB繩對A球做負功，對B球做正功。答案：CD
擴展與研究：一個力對物體做不做功，是正功還是負功，判斷的方法是：①看力與位移之間夾角，或者看力與速度方向之間的夾角：為銳角時，力對物體做正功，在上例中AB的拉力與B球的速度方向就是銳角；為鈍角時，力對物體做負功，上例中AB的拉力與A球的速度方向就是鈍角。為直角時，力對物體不做功，上例中OA與A球的拉力與A球速度方向就是直角。②看物體間是否有能量轉(zhuǎn)化。若有能量轉(zhuǎn)化，則必定有力做功。此法常用于相連的物體做曲線運動的情況。
練習1：如圖所示，一輛小車靜止在光滑水平導(dǎo)軌上，一個小球用細繩懸掛在車上，由圖中位置無初速釋放，則在小球下擺過程中，繩的拉力（）
A、對小球不做功
B、對小球做正功
C、對小球做負功
D、對小車做正功
規(guī)律方法 1、恒力功的計算方法
1.由公式W=Fs cosα求解
兩種處理辦法：
①W等于力F乘以物體在力F方向上的分位移scosα,即將物體的位移分解為沿F方向上和垂直F方向上的兩個分位移s1和s2，則F做的功 W＝F s1＝Fscosα.
②W等于力F在位移s方向上的分力Fcosα乘以物體的位移s，即將力F分解為沿s方向和垂直s方向的兩個分力F1和F2，則F做功W=F1s＝Fcosαs.
注意：這種方法只能用計算恒力做功（軌跡可以是直線也可以是曲線）
例3．如圖所示，質(zhì)量為m的物體，靜止在傾角為α的粗糙的斜面體上，當兩者一起向右勻速直線運動，位移為S時，斜面對物體m的彈力做的功是多少？物體m所受重力做的功是多少？摩擦力做功多少？斜面對物體m做功多少？
解析：物體m受力如圖所示，m有沿斜面下滑的趨勢，f為靜摩擦力，位移S的方向同速度v的方向．彈力N對m做的功W1＝N•scos（900＋α）＝－ mgscosαsinα，
重力G對m做的功W2＝G•s cos900=0．摩擦力f對m做的功W3=fscosα=mgscosαsinα．斜面對m的作用力即N和f的合力，方向豎直向上，大小等于mg（m處于平衡狀態(tài)），則： w＝F合scos900＝mgscos900＝o
答案：－ mgscosαsinα，0， mgscosαsinα，0
點評：求功，必須清楚地知道是哪個力的功，應(yīng)正確地畫出力、位移，再求力的功．
2、多個力的總功求解
①用平行四邊形定則求出合外力，再根據(jù)w＝F合scosα計算功．注意α應(yīng)是合外力與位移s間的夾角．
②分別求各個外力的功：W1＝F1 scosα1， W2=F2scosα2……再求各個外力功的代數(shù)和．
例4．物體靜止在光滑水平面上，先對物體施一水平右的恒力Fl，經(jīng)ts后撤去F1，立即再對它施一水平向左的恒力F2，又經(jīng)ts后物體回到原出發(fā)點，在這一點過程中，F(xiàn)l、F2分別對物體做的功W1、W2間的關(guān)系是（）
A. W1 = W2 ；B. W2＝2 W1； C. W2＝3W1；D. W2=5 W1 ；
【解析】認為F1和F2使物體在兩段物理過程中經(jīng)過的位移、時間都相等，故認為W1 = W2而誤選A;
而認為后一段過程中多運動了一段距離而誤選B。這都反映了學生缺乏一種物理思想：那就是如何架起兩段物理過程的橋梁？很顯然，這兩段物理過程的聯(lián)系點是“第一段過程的末速度正是第二段過程的初速度”。由于本題雖可求出返回時的速度，但如果不注意加速度定義式中ΔV的矢量性，必然會出現(xiàn)錯誤，錯誤得到其結(jié)果v2＝0，而誤選A,其原因就是物體的運動有折返。
解法1：如圖,A到B作用力為F1，BCD作用力為F2,由牛頓第二定律F=ma，及勻減速直線運動的位移公式S=vot－½at2,勻加速直線運動的速度公式v0=at，設(shè)向右為正，AB=S，可得：
一S＝v0t－½a2t2=（a1t）t－½a2t2，S=0＋½a1t2；∴－½a1t2=a1t2－½a2t2；即
∴F2=3 F1
A 到 B過程F1做正功，BCB/過程F2的功抵消，B/到D過程F2做正功，即W1＝F1 S, W2=F2S，∴W2＝3W1,
解法2：設(shè)F2的方向為正方向，F(xiàn)1作用過程位移為S，F(xiàn)1對物體做正功，由動能定理：F1S=½mv12。
在F2作用的過程中，F(xiàn)2的位移為一S，與F2同向，物體回到出發(fā)點時速度為v2，由動能定理得：F2S=½mv22－½mv12。 由牛頓第二定律得 ．∴v2＝2v1，∴W2＝3W1
拓展：若該物體回到出發(fā)點時的動能為32J，則Fl、F2分別對物體做的功W1、W2是多少？
由動能定理得：ΔE= W1＋W2=32J，W1/W2= F1/F2，∴W1=8J；W2=24J。
3、變力做功問題
①W＝F•scosα是用計算恒力的功，若是變力，求變力的功只有通過將變力轉(zhuǎn)化為恒力，再用W＝Fscosα計算．
例5． 如圖19-B-2所示，用恒力F拉繩，使物體沿水平地面從A點移動到B點，AB=s圖中αβ已知（繩不可伸長；不計繩滑輪質(zhì)量和滑輪摩擦）求F對物體做的功。
②有兩類不同的力：一類是與勢能相關(guān)聯(lián)的力，比如重力、彈簧的彈力以及電場力等，它們的功與路徑無關(guān)，只與位移有關(guān)或者說只與始末點的位置有關(guān)；另一類是滑動摩擦力、空氣阻力等，在曲線運動或往返運動時，這類力（大小不變）的功等于力和路程（不是位移）的積．
例6．以一定的初速度豎直向上拋出一個小球，小球上升的最大高度為ｈ，空氣阻力的大小恒為F，則從拋出到落回到拋出點的過程中，空氣阻力對小球做的功為 ( )
A.．零 B．－Fh C．Fh D．－2 Fh?
（功的公式中F是恒力，W功是標量，本題中F是恒力還是變力？考查學生的理解和應(yīng)變能力。）
③根據(jù)功和能關(guān)系求變力的功．如根據(jù)勢能的變化求對應(yīng)的力做的功，根據(jù)動能定理求變力做的功，等等．
④根據(jù)功率恒定，求變力的功，W=Pt.
⑤求出變力F對位移的平均力計算，當變力F是位移s的線性函數(shù)時，平均力 ．
例7、 如圖3所示，在光滑的水平面上，勁度系數(shù)為k的彈簧左端固定 在豎直墻上，右端系著一小球，彈簧處于自然狀態(tài)時，小球位于O點，今用外力壓縮彈簧，使其形變量為x，當撤去外力后，求小球到達O點時彈簧的彈力所做的功。
練習2：某人用豎直向上的力勻速提起長為L、質(zhì)量為m的置于地面上的鐵鏈，求將鐵鏈從提起到剛提離地面時，提力所做的功？
⑥作出變力F隨位移，變化的圖象，圖象與位移軸所圍均“面積”即為變力做的功．
量為:
例8.(08寧夏理綜18)一滑塊在水平地面上沿直線滑行,t=0時其速度為1 m/s.從此刻開始滑塊運動方向上再施加一水平面作用力F,力F和滑塊的速度v隨時間的變化規(guī)律分別如圖a和圖b所示。設(shè)在第1秒內(nèi)、第2秒內(nèi)、第3秒內(nèi)力F對滑塊做的功分別為W1、W2、W3,則以下關(guān)系式正確的是（ ）
A. W1=W2=W3 B.W1<W2<W3C. W1<W3<W2D. W1=W2<W3
答案 B
解析 由v-t圖象可知第1秒內(nèi)、第2秒內(nèi)、第3秒內(nèi)的力和位移均為正方向,
所以：W1〈W2〈W3.
4、作用力和反作用力的做功
作用力與反作用力同時存在，作用力做功時，反作用力可能做功，也可能不做功，可能做正功，也可能做負功，不要以為作用力與反作用力大小相等、方向相反，就一定有作用力、反作用力的功數(shù)值相等，一正一負．所以作用力與反作用力做功不一定相等，但沖量的大小相等．
例9．以下說法正確的是（ ）
A．摩擦力可以對物體做正功 B．摩擦力可以使物體的速度發(fā)生變化，但對物體不做功
C．作用力與反作用力做功一定相等 D．一對平衡力做功之和為零
解析：A．摩擦力可以對物體做正功，只要摩擦力的方向與物體運動方向相同，摩擦力就做正功．摩擦力可以改變物體的速度，對物體有一個沖量作用，但物體在力的方向上沒有位移，因而不做功，如隨圓板一起轉(zhuǎn)動的物體．由此可以認識到：力對物體有沖量，但不一定對物體做功，相反只要力對物體做功，一定會有沖量．又可進一步認識：力使物體動量發(fā)生變化，其動能不一定變化；但力使物體動能發(fā)生變化時，其動量一定發(fā)生變化．c．作用力與反作用力做功不一定相等，如一炸彈炸成質(zhì)量為m與 2 m的兩塊，根據(jù)動量守恒mv1=2mv2， 則v1=2v2，作用力和反作用力做功為W1=½m(2v2)2與W2=½mv22，所以不相等�？烧J識到：作用力和反作用力產(chǎn)生的沖量總是大小相等，但做功可能不相等．D．一對平衡力合力為零，所以二力合力做功為零．答案：ABD
5．摩擦力的做功
A、靜摩擦力做功的特點
（1）靜摩擦力可以做正功，也可以做負功，還可以不做功。
（2）在靜摩擦力做功的過程中，只有機械能的相互轉(zhuǎn)移（靜摩擦力起著傳遞機械能的作用），而沒有機械能轉(zhuǎn)化為其他形式的能．
（3）相互摩擦的系統(tǒng)內(nèi)，一對靜摩擦力所做功的代數(shù)和總為零。
B．滑動摩擦力做功的特點
如圖所示，上面不光滑的長木板，放在光滑的水平地面上，一小木塊以速度V0從木板的左端滑上木板，當木塊和木板相對靜止時，木板相對地面滑動了S，小木塊相對木板滑動了d，則由動能定理知：
滑動摩擦力對木塊所做功為： W木塊=一f（d＋S）……①
滑動摩擦力對木板所做功為： W木板=fs……②
所以，木塊動能增量為： ΔE木塊=一f（d＋s）……③
木板動能增量為： ΔE木板=fs………④
由③④得：ΔE木塊＋ΔE木板=一fd………⑤
⑤式表明木塊和木板組成的系統(tǒng)的機械能的減少量等于滑動摩擦力與木塊相對木板的位移的乘積。這部分減少的能量轉(zhuǎn)化為內(nèi)能。
故滑動摩擦力做功有以下特點：
1）滑動摩擦力可以對物體做正功，也可以對物體做負功，當然也可以不做功。
2）一對滑動摩擦力做功的過程中，能量的轉(zhuǎn)化有兩個方面：一是相互摩擦的物體之間機械能的轉(zhuǎn)移；二是機械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能。轉(zhuǎn)化為內(nèi)能的量值等于滑動摩擦力與相對位移的乘積。
3）滑動摩擦力、空氣摩擦阻力等，在曲線運動或往返運動時等于力和路程（不是位移）的乘積
例10．如圖所示，半徑為R的孔徑均勻的圓形彎管水平放置，小球在管內(nèi)以足夠大的初速度v0在水平面內(nèi)做圓周運動，小球與管壁間的動摩擦因數(shù)為μ，設(shè)從開始運動的一周內(nèi)小球從A到B和從B到A的過程中摩擦力對小球做功分別為W1和W2，在這一周內(nèi)摩擦力做的總功為W3，則下列關(guān)系式正確的是（ ）
A．W1＞W(wǎng)2 B．W1＝W2 C． W3＝ 0 D． W3＝W1＋W2
解析：求某一力對物體所做的功值有多種思路，對于恒力（大小、方向均不變的力）做功的情況，通常由w＝Fscosα求解．對于變力（特別是方向發(fā)生變化的力）做功的情況，一般由功能轉(zhuǎn)換關(guān)系求解．對于后一種思路，一定要正確判斷哪些力做功，在外力做功的過程中，物體（或系統(tǒng)）的能量如何發(fā)生變化，變化了多少．
小球在水平彎管內(nèi)運動，滑動摩擦力始終與速度方向相反，做負功，而小球在水平面內(nèi)的圓周運動的向心力是由外管壁對小球的彈力N提供的，由于轉(zhuǎn)動半徑R始終不變，摩擦力對小球做負功，小球運動的速率逐漸減小，向心力減小即N減小，而f＝μN，滑動摩擦力f也減小，即由下列關(guān)系：
N=Fn=mv2/R m，R不變，v減小，則N減小，
f＝μN N減小，則f減小
W=－fπR f減小，則W減小
所以W1＞W(wǎng)2
W1．W2都為負功，因此W3＝W1＋W2．答案：AD
例11．如圖所示，PQ是固定在水平桌面上的固定擋板，質(zhì)量為m的小木塊N從靠近P以一定的初速度向Q運動，已知物塊與桌面間的動摩擦因數(shù)為μ，P與Q相距為s，物塊與Q板碰撞n次后，最后靜止于 PQ的中點，則整個過程摩擦力所做的功為多少？（n為自然數(shù)）
解析：物塊與Q板碰撞n次后，最后停在PQ中點，會有兩種可能，一種可能是與Q板碰后向P板運動至中點而停止，設(shè)與Q板碰撞n次，則物體運動的路程為（2n一 ）s，摩擦力所做的功為Wf1=μmg（2n一 ）s
第二種可能是物塊與Q板碰后再與P板碰撞向Q板運動至中點而停止，在這種情況下，物體運動的路程為（2n＋ ）s ，摩擦力所做的功為 Wf2= μmg（2n＋ ）s，兩種情況下，摩擦力對物體均做負功。
擴展與研究：兩類不同的力，一類是與勢能相關(guān)的力，如重力、彈簧的彈力、電場力等，它們的功與路程無關(guān)系，只與位移有關(guān)。另一類是滑動摩擦力，空氣阻力等，這類力做功與物體的運動路徑有關(guān)。在上例中，滑動摩擦力是一個變力，方向在變化，可轉(zhuǎn)化為恒力做功，同時滑動摩擦力做功要看物體運動的路程，這是摩擦力做功的特點，必須牢記。
點評：求功的思路共有四條:（1）由功的定義．恒力做功；（2）由能量關(guān)系求解；（3）由功率的定義；（4）由動能定理求解．
后作業(yè)
1．討論力F在下列幾種情況下做功的多少．
（1）用水平推力F推質(zhì)量是m的物體在光滑水平面上前進了s．
（2）用水平推力F推質(zhì)量為2m的物體沿動摩擦因數(shù)為μ的水平面前進了s．
（3）斜面傾角為θ，與斜面平行的推力F，推一個質(zhì)量為2m的物體沿光滑斜面向上推進了s．（ ）
A．（3）做功最多 B．（2）做功最多 C．做功相等 D．不能確定
2．如圖4-1-10所示，兩個物體與水平地面間的動摩擦 因數(shù)相等，它們的質(zhì)量也相等．在甲圖用力 拉物體，在乙圖用力 推物體，夾角均為 ，兩個物體都做勻速直線運動，通過相同的位移．設(shè) 和 對物體所做的功為 和 ，物體克服摩擦力做的功為 和 ，下面哪組表示式是正確的（）
A． B．
C． D．
2．如圖19-B-3，物體以一定的初速度沿水平面，由A點滑到B點，摩擦力做功為W1，若該物體從A/沿兩斜面滑到B/。摩擦力做功為W2，已知物體與各接觸面的滑動摩擦系數(shù)均相同，則：( )
A．W1=W2 B.W1>W2 C．W1<W2D．不能確定
3．（93年全國高考題）小物塊位于光滑的斜面上，斜面位于光滑的水平面上，如圖19-A-1，從地面上看在物塊沿斜面下滑的過程中，斜面對物塊的作用力（ ）
A.垂直于繼承面，做功為零
B.垂直于接觸面，做功不為零
C.不垂直于接觸面，做功為零
D.不垂直于接觸面，做功不為零
（由于運動具有相對性，所以要注意物塊相對地面的位移的方向。）
4． 關(guān)于摩擦力對物體做功，說法正確的是( )
A.滑動摩擦力總是做負功?
B.滑動摩擦力可能做負功，也可能做正功?
C.靜摩擦力對物體一定做負功?
D.靜摩擦力對物體總是做正功
5．如圖19-A-4所示，電梯與水平地面成θ角，一人站在電梯上，電梯從靜止開始勻加速上升，到達一定速度后再勻速上升．若以N表示水平梯板對人的支持力，G為人受到的重力，f為電梯對人的靜摩擦力，則下列結(jié)論正確的是 ( )
A．加速過程中f≠0，f、N、G都做功
B．加速過程中f≠0，N不做功
C．加速過程中f＝0，N、G都做功
D．勻速過程中f＝0，N、G都不做功
（該題綜合考查牛頓運動定律和功的知識）
6. 如圖19-B-4所示，木塊A放在木塊B的左上端，用恒力F將A拉至B的右端，第一次將B固定在地面上，F(xiàn)做的功為W1；第二次讓B可以在光滑地面上自由滑動，F(xiàn)做的功為W2，比較兩次做功，應(yīng)有： ( )
A．W1<W2 B．W1=W2C．.W1>W2D．無法比較
7. 如圖19-B-5所示，站在汽車的人用手推車的力為F，腳對車向后的摩擦力為f，當車向前運動時以下說法正確的是 ( )
A.當車勻速運動時，F(xiàn)和f對車做功的代數(shù)和為零
B.當車加速運動時，F(xiàn)和f對車做的總功為負功
C.當車減速運動時，F(xiàn)和f對車做的總功為正功
D.不管車做何種運動，F(xiàn)和f對車做功的總功率都為零
8．一個傾斜放置的皮帶運輸機工作穩(wěn)定后，將一物體 緩慢放在運動的皮帶上，最終物體由A位置移到B位置（如圖19-B-7）。在這段過程中，物體所受各力中： ( )
A．只有摩擦力做正功B．摩擦力一定做負功
C．重力一定做正功 D．重力一定做負功
第二節(jié) 功率
基礎(chǔ)知識
一、功率的定義: 功跟完成這些功所用時間的比值叫做功率，它表示物體做功的快慢．
二、單位：瓦（w），千瓦（kw）；
三、功率是標量
四、公式:P＝W／t＝Fv
1．P＝W／t 所求的是這段時間內(nèi)平均功率．
2．P＝Fv當v為平均值時為平均功率，當v為即時值時為即時功率．
3．P＝Fv應(yīng)用時，F(xiàn)、v必須同向，否則應(yīng)分解F或v，使二者同向．這里的P=Fv實際上是Fvcosθ、θ為F、v夾角．
4．我們處理問題時必須清楚是哪一個力的功率，如一個機械的功率為P，這里指的是牽引力的功率，不可認為是機械所受合外力的功率．
五、發(fā)動機銘牌上的功率，是額定功率，也就是說該機正常運行時的最大輸出功率，該機工作時輸出功率要小于或等于此值．
規(guī)律方法 1、功率的計算方法
例1．如圖所示，質(zhì)量為lkg的物體與平面間摩擦系數(shù)μ=0．l（g取10m／s2），在2 N水平拉力作用下由靜止開始運動了2s，求這段時間內(nèi)拉力、摩擦力、重力、支持力的平均功率及2s末的即時功率各為多少？
解析：a= =1m／s2．s＝½at2＝2m． v＝at＝2m/s
外力 F做功功率．平均值為：p1＝W/t=Fs/t=2W 2s末即時功率為：P1/=Fv＝4 W
摩擦力做功功率．平均值：P2=fs/t=1W 2 s末即時功率為：P2/=fv= 2 W
重力與支持力N由P=Fvcosθ知：功率都為0．
答案：外力F平均功率和即時功率分別為2W、4W；摩擦力平均功率和即時功率分別為1W、2W；重力和支持力功率都為0．
點評：（1）明確是什么力做功功率； （2）清楚是平均功率還是即時功率．
例2．如圖所示，質(zhì)量為m的物體沿高為h的光滑斜面滑下到達底端時重力的即時功率為多少？
錯解：由機械能守恒定律可知到達底端速度v= ，所以此時功率P＝mgv=mg ：提示：這里沒有注意到mg與v的夾角，應(yīng)當為P= mgsinθ 點評：做題時注意力跟速度的夾角．
例3．一個小孩站在船頭，按應(yīng)當為圖5—15兩種情況用同樣大小力拉繩，經(jīng)過相同的時間t（船未碰撞），小孩所做的功W1、W2及在時間t內(nèi)小孩拉繩的功率 P1、P2的關(guān)系為（ ）
A．W1＞W(wǎng)2，P1= P2 B．W1＝W2，P1＝P2
C．W1＜W2，P1＜P2 D．W1＜W2，P1= P2
提示：兩種情況中拉力對人做的功一樣，第二種情況拉力除對人做功外，又對另一只小船也做了功，所以W2＞W(wǎng)1．由于所用時間一樣，所以P2＞P1． 答案：C
點評：應(yīng)弄清哪一個力對哪一個物體做功，其功率是什么
2、兩種功率
例4、質(zhì)量為2千克的物體做自由落體運動。在下落過程中，頭2秒內(nèi)重力的功率是________J，第2秒末重力的功率是 ，第2秒內(nèi)重力的功率是_________W。(g取10m/s2)
例5．從空中以10m/s的初速度平拋一個質(zhì)量為1kg的物體，物體在空中運動了3s后落地，不計空氣阻力，取g=10m/s，求物體3s內(nèi)重力的平均功率和落地時的瞬時功率。
例6．（1994年上海高考題）跳繩是一種健身運動。設(shè)某運動員的質(zhì)量是50kg，他一分鐘跳繩180次。假定在每次跳躍中，腳與地面的接觸時間占跳躍一次所需時間的2/5，則該運動員跳繩時克服重力做功的平均功率是 （g取10m/s2）
解析：把運動員每次跳躍轉(zhuǎn)換成質(zhì)點做豎直上拋運動模型。每次跳躍總時間
T＝60/180＝1/3s． 每次騰空的時間t= （l一 ）=0．02s。
每次騰空高度 h=½g（t/2）2=½×10×（0．02/2）2＝0．05m。
每次騰空上升時克服重力做的功 W=mgh=50×10×0．05＝25J。
把每次跳躍總時間T內(nèi)的觸地過程、下落過程舍棄，簡化成在T內(nèi)就是單一豎直上升克服重力做功的過程，故可解出 P＝W/T＝25／（1/3）=75 W。
點評：綜上所述不難發(fā)現(xiàn)，靈活地轉(zhuǎn)換物理模型是一種重要的物理思想方法。學會這種方法，就會使我們在解決物理問題時變得從容自如，巧解速解物理問題，從而提高學習的效率。
例7．若某人的心臟每分鐘跳動75次，心臟收縮壓為135mmHg（lmmHg＝133．322Pa）收縮一次輸出血量平均為70ml，那么心臟收縮時的平均功率有多大？
解析：心臟收縮一次做功：W=P•ΔV
∵P=135mmHg＝1．8×104Pa ΔV＝70ml＝7×10－5m3
∴W＝1．8×104Pa×7×10－5m3＝1．26J ∴每分鐘，心臟做功W/=75×1．26=94．5J
∴心臟收縮時平均功率為 =94．5/60=1．6W
3、汽車起動問題分析
（1）以恒定功率起動： 汽車從靜止開始以額定功率起動，開始時由于汽車的速度很小，由公式P=Fv知：牽引力F較大，因而由牛頓第二定律F-f=ma知，汽車的加速度較大．隨著時間的推移，汽車的速度將不斷增大，牽引力F將減小，加速度減小，但是由于速度方向和加速度方向相同，汽車的速度仍在不斷增大，牽引力將繼續(xù)減小，直至汽車的牽引力F和阻力f相平衡為止． 汽車的牽引力F和阻力f平衡時，F(xiàn)-f=0，加速度a＝0，汽車的速度達到最大值vm ．汽車的運動形式是做加速度越越小的變加速直線運動，最終做勻速直線運動．其速度-時間圖像如圖所示．
(2) 由于牽引力F恒定，根據(jù)牛頓第二定律F-f=ma，可知：加速度a恒定，汽車作勻加速直線運動，隨著時間的推移，實際功率將不斷增大．由于汽車的實際功率不能超過其額定功率，汽車的勻加速直線運動只能維持到其實際功率等于其額定功率時，此時汽車的速度達到它勻加速直線運動階段的最大速度v1m，其后汽車只能以額定功率起動的方式進行再加速，其運動方式和第一種起動形式完全相同．即汽車繼續(xù)做加速度越越小的變加速直線運動，直至汽車進入勻速直線運動狀態(tài)，速度達到最終的最大速度vm．汽車的起動過程經(jīng)歷了兩階段：一是勻加速直線運動階段，二是變加速直線運動階段，最終做勻速直線運動．其速度-時間圖像如圖4-1-4所示．
例8、額定功率為 的汽車在平直公路上行駛時，其最大速度可達到 ，汽車的質(zhì)量為 。如果從靜止開始做勻加速運動，設(shè)運動中阻力不變，加速度為 ，求：
（1）汽車所受阻力；（2）這個勻加速過程能維持多長時間；
（3）第3秒末汽車的瞬時功率；（4）汽車做勻加速運動過程中，發(fā)動機做的功。
例9．一輛汽車在平直的公路上以速度v0開始加速行駛，經(jīng)過一段時間t，前進了距離s，此時恰好達到其最大速度Vm.設(shè)此過程中汽車發(fā)動機始終以額定功率P工作，汽車所受的阻力恒定為F，則在這段時間里，發(fā)動機所做的功為（ ）
A、Fvmt；B、Pt；C、½mvm2＋Fs－½mv02；D、 ；
解析：汽車在恒定功率作用做變牽引力的加速運動，所以發(fā)動機做功為變力做功，根據(jù)P=W/t可求得W=Pt，而P=F/v=Fvm，所以W= Fvm t；根據(jù)能量守恒：W＋½mv02=½mvm2＋Fs
所以W=½mvm2＋Fs－½mv02；答案：ABC
思考：為何用 得到 不正確？錯在哪里？
4、實際問題中的功率
例10．推動節(jié)水工程的轉(zhuǎn)動噴水“龍頭”。如圖所示，龍頭距地面h，其噴灌半徑可達10h，每分鐘噴水質(zhì)量為m，所用水從地面下H的井中抽取，設(shè)水以相同的速率噴出，水泵的效率為η，水泵的功率P至少多大？
解析:水泵對水做功，用增大水的重力勢能和動能．
設(shè)水噴出時速度為v，則h=½gt2,10h=vt;解得
每分鐘內(nèi)水泵對水做的功W＝mg（H＋h）＋½mv2=mg(H+26h)，又W=ηPt,∴
后作業(yè)
1、一輛汽車從靜止開始做加速直線運動，運動過程中汽車牽引力的功率保持不變，所受阻力恒定，行駛2min速度達到10m/s，那么該汽車在這段時間內(nèi)行駛的距離為
A、一定大于600m B、一定小于600m
C、一定等于600m D、可能等于1200m
2、（1998年上海市高考題）人的心臟每跳一次大約輸送體積8×10－5m3的血液，正常人的血壓為1.5×104Pa。若某人心跳70次/分鐘，則他的心臟工作的平均功率多大？
3、（1994年上海市高考題）某運動員質(zhì)量50kg，一分鐘跳繩180次，每次跳躍中腳與地面接觸時間為一次跳躍時間的2/5，則該運動員跳繩是克服重力做功平均功率為多少。
4、（2008北京卷23題）風能將成為21世紀大規(guī)模開發(fā)的一種可再生清潔能。風力發(fā)電機是將風能（氣流的動能）轉(zhuǎn)化為電能的裝置，其主要部包括風輪機、齒輪箱、發(fā)電機等，如圖所示。風輪機葉片旋轉(zhuǎn)所掃過的面積為風力發(fā)電機可接受風能的面積。設(shè)空氣密度為ρ，氣流速度為v，風輪葉片長度為r。求單位時間內(nèi)流向風輪機的最大風能Pm
5、汽車在平直公路上做加速運動, 下列說法中正確的是
A．若汽車運動的加速度不變,則發(fā)動機的功率不變.
B．若汽車運動的加速度不變,則發(fā)動機的功率不斷增大.
C．若汽車發(fā)動機的功率不變, 則汽車運動的加速度不變.
D．若汽車發(fā)動機的功率不變, 則汽車運動的加速度不斷減小.
6、質(zhì)量為 m 的汽車，啟動后沿平直路面行駛，如果發(fā)動機的功率恒為P,且行駛過程中受到的摩擦阻力大小一定，汽車速度能夠達到的最大值為v，那么當汽車的車速 為v/4時，汽車的瞬時加速度的大小為
A、P/mv B、2P/mv C、3P/mv D、4p/mv
7、質(zhì)量為2千克的物體做自由落體運動。在下落過程中，頭2秒內(nèi)重力的功率是________J，第2秒內(nèi)重力的功率是_________W。(g取10m/s2)
8、升降機吊起重為1.4×104N的貨物，貨物以0.5m/s的速度勻速上升。這時升降機提升貨物做功的功率是____________W。
第三節(jié) 動能 動能定理
基礎(chǔ)知識一、動能
如果一個物體能對外做功，我們就說這個物體具有能量．物體由于運動而具有的能． Ek＝½mv2，其大小與參照系的選取有關(guān)．動能是描述物體運動狀態(tài)的物理量．是相對量。
二、動能定理
做功可以改變物體的能量．所有外力對物體做的總功等于物體動能的增量．
W1＋W2＋W3＋……＝½mvt2－½mv02
1．反映了物體動能的變化與引起變化的原因——力對物體所做功之間的因果關(guān)系．可以理解為外力對物體做功等于物體動能增加，物體克服外力做功等于物體動能的減�。哉κ羌犹枺摴κ菧p號。
2．“增量”是末動能減初動能．ΔE＞0表示動能增加，ΔE＜0表示動能減�。�
3、動能定理適用單個物體，對于物體系統(tǒng)尤其是具有相對運動的物體系統(tǒng)不能盲目的應(yīng)用動能定理．由于此時內(nèi)力的功也可引起物體動能向其他形式能（比如內(nèi)能）的轉(zhuǎn)化．在動能定理中．總功指各外力對物體做功的代數(shù)和．這里我們所說的外力包括重力、彈力、摩擦力、電場力等．
4．各力位移相同時，可求合外力做的功，各力位移不同時，分別求力做功，然后求代數(shù)和．
5．力的獨立作用原理使我們有了牛頓第二定律、動量定理、動量守恒定律的分量表達式．但動能定理是標量式．功和動能都是標量，不能利用矢量法則分解．故動能定理無分量式．在處理一些問題時，可在某一方向應(yīng)用動能定理．
6．動能定理的表達式是在物體受恒力作用且做直線運動的情況下得出的．但它也適用于變?yōu)榧拔矬w作曲線運動的情況．即動能定理對恒力、變力做功都適用；直線運動與曲線運動也均適用．
7．對動能定理中的位移與速度必須相對同一參照物．
三、由牛頓第二定律與運動學公式推出動能定理
設(shè)物體的質(zhì)量為m，在恒力F作用下，通過位移為S，其速度由v0變?yōu)関t，
則：根據(jù)牛頓第二定律F=ma……① 根據(jù)運動學公式2as=vt2一v02……②
由①②得：FS=½mvt2－½mv02
四．應(yīng)用動能定理可解決的問題
恒力作用下的勻變速直線運動，凡不涉及加速度和時間的問題，利用動能定理求解一般比用牛頓定律及運動學公式求解要簡單的多．用動能定理還能解決一些在中學應(yīng)用牛頓定律難以解決的變力做功的問題、曲線運動等問題．
例1.如圖所示，質(zhì)量為m的物體與轉(zhuǎn)臺之間的摩擦系數(shù)為μ，物體與轉(zhuǎn)軸間距離為R，物體隨轉(zhuǎn)臺由靜止開始轉(zhuǎn)動，當轉(zhuǎn)速增加到某值時，物體開始在轉(zhuǎn)臺上滑動，此時轉(zhuǎn)臺已開始勻速轉(zhuǎn)動，這過程中摩擦力對物體做功為多少？
解析：物體開始滑動時，物體與轉(zhuǎn)臺間已達到最大靜摩擦力，這里認為就是滑動摩擦力μmg．
根據(jù)牛頓第二定律μmg=mv2/R……① 由動能定理得：W=½mv2 ……②
由①②得：W=½μmgR，所以在這一過程摩擦力做功為½μmgR
點評：（1）一些變力做功，不能用 W＝ FScosθ求，應(yīng)當善于用動能定理．
（2）應(yīng)用動能定理解題時，在分析過程的基礎(chǔ)上無須深究物體的運動狀態(tài)過程中變化的細節(jié)，只須考慮整個過程的功量及過程始末的動能．若過程包含了幾個運動性質(zhì)不同的分過程．即可分段考慮，也可整個過程考慮．但求功時，有些力不是全過程都作用的，必須根據(jù)不同情況分別對待求出總功．計算時要把各力的功連同符號（正負）一同代入公式．
例2.如圖所示，質(zhì)量為m的鉛球從離地面h的高處由靜止開始下落，落到地面后陷入泥潭，下沉的深度是s，試求泥潭對鉛球的平均作用力。
解法一：運動公式結(jié)合牛頓第二定律
解法二：分段用動能定理，引進中間速度
解法三：整段用動能定理
——一題多解，應(yīng)用動能定理的基本思路和優(yōu)勢。
規(guī)律方法 1、動能定理應(yīng)用的基本步驟
應(yīng)用動能定理涉及一個過程，兩個狀態(tài)．所謂一個過程是指做功過程，應(yīng)明確該過程各外力所做的總功；兩個狀態(tài)是指初末兩個狀態(tài)的動能．
動能定理應(yīng)用的基本步驟是：
①選取研究對象，明確并分析運動過程．
②分析受力及各力做功的情況，受哪些力？每個力是否做功？在哪段位移過程中做功？正功？負功？做多少功？求出代數(shù)和．
③明確過程始末狀態(tài)的動能Ek1及E2
④列方程 W=E2一Ek1，必要時注意分析題目的潛在條，補充方程進行求解．
例3．一質(zhì)量為lkg的物體被人用手由靜止向上提升1m時物體的速度是 ，下列說法中錯誤的是(g取l0rn/s2)； ( )
A．提升過程中手對物體做功12J
B．提升過程中合外力對物體做功12J
C．提升過程中手對物體做功２Ｊ
D．提升過程中物體克服重力做功l０J
練習1。在離地面高度為h處豎直向上拋出一個質(zhì)量為m的物體，拋出時的速度為v0，當它落到地面時的速度為v，用g表示重力加速度，則在此過程中物塊克服空氣阻力做的功為
A、 B、
C、 D、
例4. 2010•全國卷Ⅱ•24如圖，NP 為整直面內(nèi)一固定軌道，其圓弧段N與水平段NP相切于N、P端固定一豎直擋板。相對于N的高度為h，NP長度為s.一木塊自端從靜止開始沿軌道下滑，與擋板發(fā)生一次完全彈性碰撞后停止在水平軌道上某處。若在N段的摩擦可忽略不計，物塊與NP段軌道間的滑動摩擦因數(shù)為μ，求物塊停止的地方與N點距離的可能值。
【答案】物塊停止的位置距N的距離可能為 或
【解析】根據(jù)功能原理，在物塊從開始下滑到停止在水平軌道上的過程中，物塊的重力勢能的減少 與物塊克服摩擦力所做功的數(shù)值相等。
①
設(shè)物塊的質(zhì)量為m，在水平軌道上滑行的總路程為s′，則
②
③
連立①②③化簡得
④
第一種可能是：物塊與彈性擋板碰撞后，在N前停止，則物塊停止的位置距N的距離為
⑤
第一種可能是：物塊與彈性擋板碰撞后，可再一次滑上光滑圓弧軌道，滑下后在水平軌道上停止，則物塊停止的位置距N的距離為
⑥
所以物塊停止的位置距N的距離可能為 或 。
練習2、（2004年遼寧）如圖所示，ABCD是一個盆式容器，盆內(nèi)側(cè)壁與盆底BC的連接處是一段與BC相切的圓弧，B、C為水平的，其距離d=0.50m。盆邊緣的高度為h=0.30m。在A處放一個質(zhì)量為m的小物塊并讓其從靜止出發(fā)下滑。已知盆內(nèi)側(cè)壁是光滑的，而盆底BC因與小物塊間的動摩擦因數(shù)μ=0.10。小物塊在盆內(nèi)回滑動，最后停下，則停的地點到B的距離為（ ）
A. 0.50m B. 0.25m C. 0.10m D. 0
： 解決由摩擦的往復(fù)運動，用動能定理很便捷。
2、應(yīng)用動能定理的優(yōu)越性
(1)由于動能定理反映的是物體兩個狀態(tài)的動能變化與其合力所做功的量值關(guān)系，所以對由初始狀態(tài)到終止狀態(tài)這一過程中物體運動性質(zhì)、運動軌跡、做功的力是恒力還是變力等諸多問題不必加以追究，就是說應(yīng)用動能定理不受這些問題的限制．
(2)一般說，用牛頓第二定律和運動學知識求解的問題，用動能定理也可以求解，而且往往用動能定理求解簡捷．可是，有些用動能定理能夠求解的問題，應(yīng)用牛頓第二定律和運動學知識卻無法求解．可以說，熟練地應(yīng)用動能定理求解問題，是一種高層次的思維和方法，應(yīng)該增強用動能定理解題的主動意識．
(3)用動能定理可求變力所做的功．在某些問題中，由于力F的大小、方向的變化，不能直接用W=Fscosα求出變力做功的值，但可由動能定理求解．
例5．如圖所示，質(zhì)量為m的物體用細繩經(jīng)過光滑小孔牽引在光滑水平面上做勻速圓周運動，拉力為某個值F時，轉(zhuǎn)動半徑為R，當拉力逐漸減小到F/4時，物體仍做勻速圓周運動，半徑為2R，則外力對物體所做的功的大小是:
解析:設(shè)當繩的拉力為F時，小球做勻速圓周運動的線速度為v1，則有F=mv12/R……①
當繩的拉力減為F/4時，小球做勻速圓周運動的線速度為v2,則有F/4=mv22/2R……②
在繩的拉力由F減為F/4的過程中，繩的拉力所做的功為W=½mv22－½mv12=－¼FR
所以，繩的拉力所做的功的大小為FR/4,A選項正確．
說明:用動能定理求變力功是非常有效且普遍適用的方法．
練習3、如圖所示，一質(zhì)量為 的小球 ，用長為 的輕繩懸掛于 點，小球在水平力F作用下，從平衡位置P點，緩慢移動到Q點，則力F所做的功為（ ）
A． B． C． D．
3、應(yīng)用動能定理要注意的問題
注意1．由于動能的大小與參照物的選擇有關(guān)，而動能定理是從牛頓運動定律和運動學規(guī)律的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出，因此應(yīng)用動能定理解題時，動能的大小應(yīng)選取地球或相對地球做勻速直線運動的物體作參照物確定．
例6．如圖所示質(zhì)量為1kg的小物塊以5m/s的初速度滑上一塊原靜止在水平面上的木板，木板質(zhì)量為4kg，木板與水平面間動摩擦因數(shù)是0.02，經(jīng)過2S以后，木塊從木板另一端以1m/s相對于地的速度滑出，g取10m／s，求這一過程中木板的位移．
解析：設(shè)木塊與木板間摩擦力大小為f1，木板與地面間摩擦力大小為f2．
對木塊：一f1t=mvt一mv0，得f1=2 N
對木板：（fl－f2）t＝v,f2＝μ（m＋ ）g
得v＝0．5m/s 對木板：（fl－f2）s=½v2，得 S=0•5 m 答案：0．5 m
注意2．用動能定理求變力做功，在某些問題中由于力F的大小的變化或方向變化，所以不能直接由W=Fscosα求出變力做功的值．此時可由其做功的結(jié)果——動能的變化求變?yōu)镕所做的功．
例7．質(zhì)量為m的小球被系在輕繩一端，在豎直平面內(nèi)做半徑為R的圓周運動，運動過程中小球受到空氣阻力的作用．設(shè)某一時刻小球通過軌道的最低點，此時繩子的張力為7mg,此后小球繼續(xù)做圓周運動，經(jīng)過半個圓周恰能通過最高點，則在此過程中小球克服空氣阻力所做的功為（）
A.mgR/4 B. mgR/3 C. mgR/2 D.mgR
解析:小球在圓周運動最低點時,設(shè)速度為v1,則7mg－mg=mv12/R……①
設(shè)小球恰能過最高點的速度為v2,則mg=mv22/R……②
設(shè)設(shè)過半個圓周的過程中小球克服空氣阻力所做的功為W,由動能定理得:－mg2R－W=½mv22－½mv12……③
由以上三式解得W=mgR/2. 答案：C
說明：該題中空氣阻力一般是變化的，又不知其大小關(guān)系，故只能根據(jù)動能定理求功，而應(yīng)用動能定理時初、末兩個狀態(tài)的動能又要根據(jù)圓周運動求得不能直接套用，這往往是該類題目的特點．
4、動能定理的綜合應(yīng)用
動能定理和動量定理、動量守恒定律的綜合應(yīng)用是力學問題的難點，也是高考考查的重點，解決這類問題關(guān)鍵是分清哪一過程中動量守恒，哪一過程中應(yīng)用動能定理、動量定理
例8．某地強風的風速約為v=20m/s,設(shè)空氣密度ρ=1.3kg/m3,如果把通過橫截面積=20m2風的動能全部轉(zhuǎn)化為電能,則利用上述已知量計算電功率的公式應(yīng)為P=_________,大小約為_____W(取一位有效數(shù)字)
Ek=子 P=
例9。兩個人要將質(zhì)量＝1000 kg的小車沿一小型鐵軌推上長L＝5 m,高h＝1 m的斜坡頂端．已知車在任何情況下所受的摩擦阻力恒為車重的0.12倍，兩人能發(fā)揮的最大推力各為800 N.水平軌道足夠長，在不允許使用別的工具的情況下，兩人能否將車剛好推到坡頂？如果能應(yīng)如何辦？（要求寫出分析和計算過程）（g取10 m/s 2）
解析:小車在軌道上運動時所受摩擦力f
f＝μg＝0.12×1000×10N=1200 N
兩人的最大推力F＝2×800 N＝1600 N
F＞f,人可在水平軌道上推動小車加速運動，但小車在斜坡上時f＋gsinθ＝1200 N＋10000•1/5N＝3200 N＞F=1600 N
可見兩人不可能將小車直接由靜止沿坡底推至坡頂．
若兩人先讓小車在水平軌道上加速運動，再沖上斜坡減速運動，小車在水平軌道上運動最小距離為s
（F一f）s十FL一fL一gh=0
答案:能將車剛好推到坡頂，先在水平面上推20 m，再推上斜坡．
例10、（2010金華模擬）如圖，質(zhì)量為m的小球用長為L的輕質(zhì)細繩懸于O點，與O點處于同一水平線上的P點處有一個光滑的細釘，已知OP=L/2，在A點給小球一個水平向左的初速度v0，發(fā)現(xiàn)小球恰能到達跟P點在同一豎直線上的最高點B。則：
（1）小球到達B點時的速率？
（2）若不計空氣阻力，則初速度v0為多少？
（3）若初速度v0=3gL ，則在小球從A到B的過程中克服空氣阻力做了多少功？
例11、（2008年西城二模，22）
后作業(yè)
1、（03上海）一個質(zhì)量為0.3kg的彈性小球，在光滑水平面上以6m/s的速度垂直撞到墻上，碰撞后小球沿相反的方向運動，反彈后的速度大小與碰撞前相同，則碰撞前后小球速度的變化量△v和碰撞過程中墻對小球的做功的大小W為
A、△v=0 B、△v=12m/s
C、 W=0 D、W=10.8J
2、如圖所示，光滑水平桌面上開了一個小孔，穿一根細繩．繩一端系一個小 球，另一端用大小為F的力拉繩，維持小球在水平面上作半徑為r的勻速圓周運動．現(xiàn)在緩慢地拉繩，使圓周半徑逐漸減�。斃ψ�?yōu)?F時，小球運動半徑變?yōu)閞/2在此過程中拉力對小球所做的功是（ ）
A．零B． C． D．
3、（04北京）被豎直上拋的物體的初速度與回到拋出點時速度大小之比為 ，而空氣阻力在運動過程中大小不變，則重力與空氣阻力的大小之比為 （ ）
A． B． C． D．
4、（2000年全國高考題）如圖所示，DO是水平面，AB是斜面。初速度為 的物體從D點出發(fā)沿DBA滑動到頂點A時速度剛好為零；如果斜面改為AC，讓物體從D點出發(fā)剛好能沿DCA滑到A點，則物體具有的初速度（已知物體與路面間的動摩擦因數(shù)處處相同且不為零，不計轉(zhuǎn)折點B點或C點的機械能損失）（ ）
A． 大于 B． 等于
C． 小于 D．取決于斜面的傾角
5、質(zhì)量為 的汽車發(fā)動機的功率恒為 ，摩擦阻力恒為 ，牽引力為 。汽車由靜止開始，經(jīng)過時間 行駛了位移 時，速度達到最大值 ，則發(fā)動機所做的功為 （ ）
A． B． C． D．
6、如圖所示，斜面傾角為θ，滑塊質(zhì)量為m，滑塊與斜面的動摩擦因數(shù)為μ，從距擋板為s0的位置以v0的速度沿斜面向上滑行.設(shè)重力沿斜面的分力大于滑動摩擦力，且每次與P碰撞前后的速度大小保持不變，斜面足夠長.求滑塊從開始運動到最后停止滑行的總路程s.
7、如圖所示，質(zhì)量為m的小球由光滑斜軌道自由下滑后，接著又在一個與斜軌道相連的豎直的光滑圓環(huán)內(nèi)側(cè)運動，阻力不計，求：⑴小球至少應(yīng)從多高的地方滑下，才能達到圓環(huán)頂端而不離開圓環(huán) ⑵小球到達圓環(huán)底端時，作用于環(huán)底的壓力
8、質(zhì)量為m的物塊從高為h的斜面上的A處下滑，又在同樣的水平面上滑行S后靜止于B處。已知斜面的傾角為θ，物塊由斜面到水平面時圓滑過渡。求物塊與接觸面間的動摩擦因數(shù)。
9、某人質(zhì)量為m，從平臺上跳下，下落2m后雙腳觸地，接著曲腿使重心下降0.5m，問腳受到的地面的作用力是重力的多少倍？
10、一小球從H高處由靜止下落，與地面碰后又彈起。如球與地面碰撞時無機械能損失，球下落和上升過程中所受空氣阻力都是球重的0.2倍，那么球由開始下落到最后靜止總共通過的路程是多少？
11、質(zhì)量為m=1kg的木塊靜止在高h=1.2m的平臺上，木塊與平臺間的動摩擦因數(shù)μ=0.2，用水平推力F=20N使木塊產(chǎn)生位移L1=3m，之后撤去推力，木塊又滑行L2=1m飛出平臺，求木塊落地時速度的大��？
12．質(zhì)量 的物體以50J的初動能在粗糙的水平地面上滑行， 其動能與位移關(guān)系如圖4－2－8所示，則物體在水平面上的滑行時間 為( )
A． B． C． D．2s
第四節(jié) 機械能守恒定律
基礎(chǔ)知識
一、重力勢能
1．由物體間的相互作用和物體間的相對位置決定的能叫做勢能．如重力勢能、彈性勢能、電勢能等．
（1）物體由于受到重力作用而具有重力勢能，表達式為 EP= mgh．式中h是物體到零重力勢能面的高度．
（2）重力勢能是物體與地球系統(tǒng)共有的．只有在零勢能參考面確定之后，物體的重力勢能才有確定的值。重力勢能的負號不表示方向，表示比零勢能參考面的勢能小，顯然零勢能參考面選擇的不同，同一物體在同一位置的重力勢能的多少也就不同，所以重力勢能是相對的．通常在不明確指出的情況下，都是以地面為零勢面的．但應(yīng)特別注意的是，當物體的位置改變時，其重力勢能的變化量與零勢面如何選取無關(guān)．在實際問題中我們更會關(guān)心的是重力勢能的變化量．
（3）．重力勢能的變化與重力做功的關(guān)系：重力做正功，重力勢能就減少；重力做負功，或者物體克服重力做功，重力勢能就增加
重力做的功等于重力勢能減少量 WG=ΔEP減=EP初一EP末
特別應(yīng)注意：重力做功只能使重力勢能與動能相互轉(zhuǎn)化，不能引起物體機械能的變化．
二、彈性勢能：
1．定義：物體由于發(fā)生彈性形變而具有的能量．
2．彈性勢能的變化與彈力做功的關(guān)系，與重力勢能的變化與重力做功的關(guān)系相類似：彈力做正功，物體的彈性勢能就減少；彈力做負功，或者叫外力克服彈力做功，物體的彈性勢能就增加．（說明：物體的彈性勢能的大小與物體的、發(fā)生彈性形變的大小等有關(guān)．）
彈簧彈力做的功等于彈性勢能減少量
三、機械能：動能和勢能統(tǒng)稱機械能，即：機械能=動能＋重力勢能＋彈性勢能
例1．如圖所示，桌面高地面高H，小球自離桌面高h處由靜止落下，不計空氣阻力，則小球觸地的瞬間機械能為（設(shè)桌面為零勢面）（ ）
A．mgh； B．mgH；C．mg（H＋h）； D．mg（H－h(huán)）
解析：這一過程機械能守恒，以桌面為零勢面，E初=mgh，所以著地時也為mgh，有的學生對此接受不了，可以這樣想，E初=mgh ，末為 E末=½mv2－mgH，而½mv2=mg（H＋h）由此兩式可得：E末=mgh 答案：A
四、機械能守恒定律
1、內(nèi)容：在只有重力（或系統(tǒng)內(nèi)彈力）做功的情形下，物體的重力勢能（或彈性勢能）和動能發(fā)生相互轉(zhuǎn)化，但總的機械能保持不變。
2.機械能守恒的條
（1)對某一物體，若只有重力（或彈簧彈力）做功，其他力不做功（或其他力做功的代數(shù)和為零），則該物體機械能守恒．
(2）對某一系統(tǒng)，物體間只有動能和重力勢能及彈性勢能的相互轉(zhuǎn)化，系統(tǒng)和外界沒有發(fā)生機械能的傳遞，機械能也沒有轉(zhuǎn)變?yōu)槠渌问降哪�，則系統(tǒng)機械能守恒．
3．表達形式：E1＋Epl=Ek2＋EP2
（1）我們解題時往往選擇的是與題目所述條或所求結(jié)果相關(guān)的某兩個狀態(tài)或某幾個狀態(tài)建立方程式．此表達式中EP是相對的．建立方程時必須選擇合適的零勢能參考面．且每一狀態(tài)的EP都應(yīng)是對同一參考面而言的．
（2）其他表達方式，ΔEP=一ΔE，系統(tǒng)勢能的增量等于系統(tǒng)動能的減少量．
（3）ΔEa=一ΔEb，將系統(tǒng)分為a、b兩部分，a部分機械能的增量等于另一部分b的機械能的減少量，
三、判斷機械能是否守恒
首先應(yīng)特別提醒注意的是，機械能守恒的條絕不是合外力的功等于零，更不是合外力等于零，例如水平飛的子彈打入靜止在光滑水平面上的木塊內(nèi)的過程中，合外力的功及合外力都是零，但系統(tǒng)在克服內(nèi)部阻力做功，將部分機械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，因而機械能的總量在減少．
（1)用做功判斷：分析物體或物體受力情況（包括內(nèi)力和外力），明確各力做功的情況，若對物體或系統(tǒng)只有重力或彈力做功，沒有其他力做功或其他力做功的代數(shù)和為零，則機械能守恒；
(2）用能量轉(zhuǎn)化判定：若物體系中只有動能和勢能的相互轉(zhuǎn)化而無機械能與其他形式的能的轉(zhuǎn)化，則物體系機械能守恒．
（3）對一些繩子突然繃緊，物體間非彈性碰撞等除非題目的特別說明，機械能必定不守恒，完全非彈性碰撞過程機械能不守恒
（4）大多數(shù)情況下勻速運動不守恒，有摩擦不守恒
例2．對一個系統(tǒng)，下面說法正確的是（ ）
A．受到合外力為零時，系統(tǒng)機械能守恒
B．系統(tǒng)受到除重力彈力以外的力做功為零時，系統(tǒng)的機械能守恒
C．只有系統(tǒng)內(nèi)部的重力彈力做功時，系統(tǒng)的機械能守恒
D．除重力彈力以外的力只要對系統(tǒng)作用，則系統(tǒng)的機械能就不守恒
解析：A，系統(tǒng)受到合外力為零時，系統(tǒng)動量守恒，但機械能就不一定守恒， 答案：C
【例3】如圖所示，在光滑的水平面上放一質(zhì)量為＝96．4kg的木箱，用細繩跨過定滑輪O與一質(zhì)量為m=10kg的重物相連，已知木箱到定滑輪的繩長AO＝8m，OA繩與水平方向成300角，重物距地面高度h=3m，開始時讓它們處于靜止狀態(tài)．不計繩的質(zhì)量及一切摩擦，g取10 m／s2，將重物無初速度釋放，當它落地的瞬間木箱的速度多大？
解析：本題中重物m和水箱動能均于重物的重力勢能，只是m和的速率不等．
根據(jù)題意，m，和地球組成的系統(tǒng)機械能守恒，選取水平面為零勢能面，有mgh＝½mv ＋½v
從題中可知，O距之間的距離為 h/＝Oasin300＝4 m
當m落地瞬間，OA繩與水平方向夾角為α，則cosα= =4/5
而m的速度vm等于v沿繩的分速度，如圖5—55所示，則有 vm＝vcosα
所以，由式①一③得v= m/s 答案： m/ s
四．機械能守恒定律與動量守恒定律的區(qū)別：
動量守恒是矢量守恒，守恒條是從力的角度，即不受外力或外力的和為零。機械能守恒是標量守恒，守恒條是從功的角度，即除重力、彈力做功外其他力不做功。確定動量是否守恒應(yīng)分析外力的和是否為零，確定系統(tǒng)機械能是否守恒應(yīng)分析外力和內(nèi)力做功，看是否只有重力、系統(tǒng)內(nèi)彈力做功。還應(yīng)注意，外力的和為零和外力不做功是兩個不同的概念。所以，系統(tǒng)機械能守恒時動量不一定守恒；動量守恒時機械能也不一定守恒。
例4。如圖所示裝置，木塊B與水平面的接觸是光滑的，子彈A沿水平方向射入木塊后留在木塊內(nèi)，將彈簧壓縮到最短．現(xiàn)將子彈、木塊和彈簧合在一起作為研究對象（系統(tǒng)），則此系統(tǒng)在子彈射入木塊到彈簧壓縮至最短的整個過程中（ ）
A．動量守恒、機械能守恒 B．動量不守恒，機械能不守恒
C．動量守恒、機械能不守恒 D．動量不守恒、機械能守恒
解析：在力學中，給定一個系統(tǒng)后，這個系統(tǒng)經(jīng)某一過程兵動量和機械能是否守恒，要看是否滿足動量守恒和機械能守恒條．在這個過程中，只要系統(tǒng)不受外力作用或合外力為零（不管系統(tǒng)內(nèi)部相互作用力如何）動量必然守恒．但在子彈、木塊、彈簧這個系統(tǒng)中，由于彈簧的壓縮，墻對彈簧有作用力，所以水平合外力不等于零，系統(tǒng)動量不守恒，若選取子彈，木塊為系統(tǒng)，在子彈射入木塊過程中，因t很短，彈簧還不及壓縮，或認為內(nèi)力遠大于外力（彈力），系統(tǒng)動量守恒．在這個過程中，外力 F、N、 mg不做功．系統(tǒng)內(nèi)彈力做功，子彈打入木塊的過程中，有摩擦力做功，有機械能向內(nèi)能轉(zhuǎn)化．因此機械能不守恒（若取子彈打入B后，A、B一起壓縮彈簧的過程，系統(tǒng)只有彈力做功，機械能守恒）．答案：B
由上述分析可知，判定系統(tǒng)動量，機械能是否守恒的關(guān)鍵是明確守恒條和確定哪個過程．
例5。兩個完全相同的質(zhì)量均為m的沿塊A和B，放在光滑水平面上，滑塊A與輕彈簧相連，彈簧另一端固定在墻上，當滑塊B以v0的初速度向滑塊A運動時，如圖所示，碰A后不再分開，下述正確的是（ ）
A．彈簧最大彈性勢能為½mv02 B．彈簧最大彈性勢能為¼mv02
C．兩滑塊相碰以及以后一起運動系統(tǒng)機械能守恒
D．兩滑塊相碰以及以后一起運動中，系統(tǒng)動量守恒
解析：兩滑決的運動應(yīng)分兩階段，第一階段兩滑決相碰，由于碰后兩滑塊一起運動，有部分機械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能．機械能不守恒，但動量守恒．因此有： mv0=（m十m）v 所以v=½v0
第二階段，兩滑塊一起在彈簧力作用下回振動，此時只有彈簧力做功，機械能守恒．但在此過程系統(tǒng)外力沖量不為零，系統(tǒng)動量不守恒，因此有： EP＋½（m＋m）v2/2=½（m＋m）v2
所以彈性勢能最大為v/2＝0時，所以EP =¼mv ． 答案：B
五.機械能守恒定律與動能定理的區(qū)別
機械能守恒定律反映的是物體初、末狀態(tài)的機械能間關(guān)系，且守恒是有條的，而動能定理揭示的是物體動能的變化跟引起這種變化的合外力的功間關(guān)系，既關(guān)心初末狀態(tài)的動能，也必須認真分析對應(yīng)這兩個狀態(tài)間經(jīng)歷的過程中做功情況．
規(guī)律方法
應(yīng)用機械能守恒定律解題的基本步驟
（1）根據(jù)題意選取研究對象（物體或系統(tǒng)）．
（2）明確研究對象的運動過程，分析對象在過程中的受力情況，弄清各力做功的情況，判斷機械能是否守恒．
（3）恰當?shù)剡x取零勢面，確定研究對象在過程中的始態(tài)和末態(tài)的機械能．
（4）根據(jù)機械能守恒定律的不同表達式列式方程，若選用了增（減）量表達式，（3）就應(yīng)成為確定過程中，動能、勢能在過程中的增減量或各部分機械能在過程中的增減量列方程進行求解．
例6、在高度為h=0.8m的水平光滑桌面上，有一輕彈簧左端固定，質(zhì)量為m=1.0kg的小球在外力作用下使彈簧處于壓縮狀態(tài)，當彈簧具有4.5J的彈性勢能時，由靜止釋放小球，將小球水平彈出，如圖，不計空氣阻力，求小球落地時的速度大��？
先用守恒思想求小球被彈出的初速度
解一：用平拋知識解
解二：用動能定理
解三：用機械能守恒
解四：直接全過程對系統(tǒng)用機械能守恒，不求拋出時的初速度
1、單個物體在變速運動中的機械能守恒問題
例7。從某高處平拋一個物體，物體落地時速度方向與水平方向夾角為θ，取地面處重力勢能為零，則物體落下高度與水平位移之比為 ．拋出時動能與重力勢能之比為 ．
解析：設(shè)平拋運動的時間為 t，則落地時， gt=v0tanθ即 gt2＝v0ttanθ
所以 2h＝stanθ所以h/s=tanθ/2
由于落地的速度v=v0/cosθ 又因為½m v02十mgh=½mv2
所以mgh=½m v02/cos2θ－½mv02 所以½mv02/mgh=cot2θ
例8．如圖所示，一個光滑的水平軌道AB與光滑的圓軌道BCD連接，其中圖軌道在豎直平面內(nèi)，半徑為R，B為最低點，D為最高點．一個質(zhì)量為m的小球以初速度v0沿AB運動，剛好能通過最高點D，則（ ）
A．小球質(zhì)量越大，所需初速度v0越大
B．圓軌道半徑越大，所需初速度v0越大
C．初速度v0與小球質(zhì)量m、軌道半徑R無關(guān)
D。小球質(zhì)量m和軌道半徑R同時增大，有可能不用增大初速度v0
解析：球通過最高點的最小速度為v，有mg=mv2/R，v=
這是剛好通過最高點的條，根據(jù)機械能守恒，在最低點的速度v0應(yīng)滿足
½m v02=mg2R＋½mv2，v0= 答案：B
2、系統(tǒng)機械能守恒問題
例9．如圖所示，總長為L的光滑勻質(zhì)的鐵鏈，跨過一光滑的輕質(zhì)小定滑輪，開始時底端相齊，當略有擾動時，某一端下落，則鐵鏈剛脫離滑輪的瞬間，其速度多大？
解析：鐵鏈的一端上升，一端下落是變質(zhì)量問題，利用牛頓定律求解比較麻煩，也超出了中學物理大綱的要求．但由題目的敘述可知鐵鏈的重心位置變化過程只有重力做功，或“光滑”提示我們無機械能與其他形式的能轉(zhuǎn)化，則機械能守恒，這個題目我們用機械能守恒定律的總量不變表達式E2=El，和增量表達式ΔEP=一ΔE分別給出解答，以利于同學分析比較掌握其各自的特點．
（1）設(shè)鐵鏈單位長度的質(zhì)量為P，且選鐵鏈的初態(tài)的重心位置所在水平面為參考面，則初態(tài)E1=0
滑離滑輪時為終態(tài)，重心離參考面距離L/4，EP/=－PLgL/4
Ek2=½Lv2即終態(tài)E2=－PLgL/4＋½PLv2
由機械能守恒定律得E2= E1有 －PLgL/4＋½PLv2=0，所以v=
（2）利用ΔEP=－ΔE，求解:初態(tài)至終態(tài)重力勢能減少，重心下降L/4，重力勢能減少－ΔEP= PLgL/4，動能增量ΔE=½PLv2，所以v=
點評（1）對繩索、鏈條這類的物體，由于在考查過程中常發(fā)生形變，其重心位置對物體說，不是固定不變的，能否確定其重心的位里則是解決這類問題的關(guān)鍵，順便指出的是均勻質(zhì)量分布的規(guī)則物體常以重心的位置確定物體的重力勢能．此題初態(tài)的重心位置不在滑輪的頂點，由于滑輪很小，可視作對折求重心，也可分段考慮求出各部分的重力勢能后求出代數(shù)和作為總的重力勢能．至于零勢能參考面可任意選取，但以系統(tǒng)初末態(tài)重力勢能便于表示為宜．
（2）此題也可以用等效法求解，鐵鏈脫離滑輪時重力勢能減少，等效為一半鐵鏈至另一半下端時重力勢能的減少，然后利用ΔEP=－ΔE求解，留給同學們思考．
例10、如圖，一根輕質(zhì)細桿的兩端分別固定著A、B兩只質(zhì)量均為m的小球，O點是一光滑水平軸，已知AO=L，BO=2L。現(xiàn)在使細桿從水平位置由靜止開始釋放，當B球轉(zhuǎn)到O點正下方時，它對細桿的拉力大小是多少？
例11：如圖，輕桿AB長2L，A端連在固定軸上，B端固定一個質(zhì)量為2m的小球，中點C固定一個質(zhì)量為m的小球。AB桿可以繞A端在豎直平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動，現(xiàn)將桿置于水平位置，然后由靜止釋放，不計各處摩擦與空氣阻力，試求：（1）AB桿轉(zhuǎn)到豎直位置時，角速度ω多大？
（2）AB桿從水平轉(zhuǎn)到豎直位置過程中，B端小球的機械能增量多大?
后作業(yè)
1、(2002春全國) 圖四個選項中，木塊均在固定的斜面上運動，其中圖A、B、C中的斜面是光滑的，圖D中的斜面是粗糙的；圖A、B中的力F為木塊所受的外力，方向如圖中箭頭所示，圖A、B、D中的木塊向下運動，圖C中的木塊向上運動。在這四個圖所示的運動過程中機械能守恒的是（ ）
2、如圖，小球自a點由靜止自由下落，到b點時與彈簧接觸，到c點時彈簧被壓縮到最短，若不計彈簧質(zhì)量和空氣阻力，在小球由a→b→c的運動過程中（ ）
A．小球和彈簧總機械能守恒
B．小球的重力勢能隨時間均勻減少
C．小球在b點時動能最大
D．到c點時小球重力勢能的減少量等于彈簧彈性勢能的增加量
3. 一物體從高處勻加速下落，在下落過程中它的機械能（ ）
A．一定增加 B．一定減小
C．保持不變 D．條不足、無法確定
4．如圖，斜面置于光滑的水平面上，其光滑斜面上有一物體由靜止開始下滑，在物體下滑的過程中，下列說法正確的是（ ）
A．物體的重力勢能減小，動能增加
B．物體的機械能不變
C．斜面對物體的支持力垂直于支持面，不對物體做功
D．物體和斜面組成的系統(tǒng)機械能守恒
5、如圖所示,通過定滑輪懸掛兩個質(zhì)量為m1、m2的物體(m1>m2),不計繩子質(zhì)量、繩子與滑輪間的摩擦,在m1向下運動一段距離的過程中,下列說法中正確的是 ( ). (A)m1勢能的減少量等于m2動能的增加量 (B)m1勢能的減少量等于m2勢能的增加量 (C)m1機械能的減少量等于m2機械能的增加量 (D)m1機械能的減少量大于m2機械能的增加量
4、長度為L的均勻鏈條放在光滑水平桌面上，使其長度的L／4垂在桌邊，如圖所示，松手后鏈條從靜止開始沿桌邊下滑，則鏈條滑至剛離開桌邊時的速度大小為多少？
第五節(jié) 功能問題的綜合應(yīng)用
基礎(chǔ)知識 一、功能關(guān)系
1．能是物體做功的本領(lǐng)．也就是說是做功的根．功是能量轉(zhuǎn)化的量度．究竟有多少能量發(fā)生了轉(zhuǎn)化，用功量度，二者有根本的區(qū)別，功是過程量，能是狀態(tài)量．
2．我們在處理問題時可以從能量變化求功，也可以從物體做功的多少求能量的變化．不同形式的能在轉(zhuǎn)化過程中是守恒的．
3、功和能量的轉(zhuǎn)化關(guān)系
①合外力對物體所做的功等于物體動能的增量． W合=Ek2一Ek1（動能定理）
②只有重力做功（或系統(tǒng)內(nèi)彈力）做功，物體的動能和勢能相互轉(zhuǎn)化，物體的機械能守恒。
③重力功是重力勢能變化的量度,即WG=－ΔEP重＝一（EP末一EP初) =EP初一EP末
④彈力功是彈性勢能變化的量度，即：W彈＝一△EP彈＝一（EP末一EP初) =EP初一EP末
⑤除了重力，彈力以外的其他力做功是物體機械能變化的量度，即：W其他=E末一E初
⑥一對滑動摩擦力對系統(tǒng)做總功是系統(tǒng)機械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能的量度，即：f•S相＝Q
⑦電場力功是電勢能變化的量度，即：WE=qU=一ΔE =-(E末一E初）=E初一E末
例1。在水平地面上平鋪n塊磚，每塊磚的質(zhì)量為m，厚度為h，如將磚一塊一塊地疊，需要做多少功？
解析：這是一道非常典型變質(zhì)量與做功的題，很多同學不知怎樣列功能關(guān)系式才求出功的大小，我們先畫清楚草圖．根據(jù)功能關(guān)系可知：只要找出磚疊放起時總增加的能量 ΔE，就可得到W人＝ΔE，而ΔE＝E末－E初=nmgnh/2－nmgh/2=n（n－1）mgh/2
因此，用“功能關(guān)系”解題，關(guān)鍵是分清物理過程中有多少種形式的能轉(zhuǎn)化，即有什么能增加或減少，列出這些變化了的能量即可．
答案：n（n－1）mgh/2
4、對繩子突然繃緊，物體間非彈性碰撞等除題目特別說明，必定有機械能損失，碰撞后兩物體粘在一起的過程中一定有機械能損失。
二、能的轉(zhuǎn)化和守恒
能量既不能憑空產(chǎn)生，也不能憑空消失，它只能從一種形式的能轉(zhuǎn)化為另一種形式的能，或者從一個物體轉(zhuǎn)移到另一個物體，能的總量保持不變。
1．應(yīng)用能量守恒定律的兩條思路：
（1）某種形式的能的減少量，一定等于其他形式能的增加量．
（2）某物體能量的減少量，一定等于其他物體能量的增加量．
例2。如圖所示，一輕彈簧一端系在墻上的O點，自由伸長到B點，今將一質(zhì)量m的小物體靠著彈簧，將彈簧壓縮到A點，然后釋放，小物體能在水平面上運動到C點靜止，AC距離為S；若將小物體系在彈簧上，在A由靜止釋放，小物體將做阻尼運動到最后靜止，設(shè)小物體通過總路程為l，則下列答案中可能正確的是（ ）
A．l=2S； B．l＝S ；C．l＝0．5S ；D．l＝0
解析：若物體恰好靜止在B．則彈簧原具有的彈性勢能全部轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，應(yīng)有l(wèi)＝S．若物體最后靜止在B點的左側(cè)或右側(cè)時，彈簧仍具有一定的彈性勢能，在這種情況下，物體移動的總路程就會小于S．
答案：BC
例3．如圖5—20所示，木塊A放在木塊B上左端，用力F將A拉至B的右端，第次將B固定在地面上，F(xiàn)做功為W1，生熱為Q1；第二次讓B可以在光滑地面上自由滑動，這次F做的功為W2，生熱為Q2，則應(yīng)有（ ）
A． W1＜W2， Q1= Q2 B． W1= W2， Q1＝Q2
C． W1＜W2， Q1＜Q2 D． W1＝W2， Q1＜Q2
解析：設(shè)B的長度為d，則系統(tǒng)損失的機械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能的數(shù)量Q1＝Q2=μmAgd，所以 C、D都錯．
在兩種情況下用恒力F將A拉至B的右端的過程中．第二種情況下A對地的位移要大于第一種情況下A對地的位移，所以 W2＞W(wǎng)1，B錯
答案：A
3．用能量守恒定律解題的步驟
①確定研究的對象和范圍，分析在研究的過程中有多少種不同形式的能（包括動能、勢能、內(nèi)能、電能等）發(fā)生變化．
②找出減少的能并求總的減少量ΔE減，找出增加的能并求總的增加量ΔE增
③由能量守恒列式，ΔE減=ΔE增。
④代入已知條求解．
例4。如圖半徑分別為R和r的甲、乙兩圓形軌道放置在同一豎直平面內(nèi)，兩軌道之間由一條水平軌道CD相連，現(xiàn)有一小球從斜面上高為3R處的A點由靜止釋放，要使小球能滑上乙軌道并避免出現(xiàn)小球脫離圓形軌道而發(fā)生撞軌現(xiàn)象，試設(shè)計CD段可取的長度。小球與CD段間的動摩擦因數(shù)為μ，其作各段均光滑。
{解析}：有兩種情況，一種是小球恰過乙軌道
最高點，在乙軌道最高點的mg=mv2/r，從開始運
動到乙軌道最高點，由動能定理得
mg（3R-2r）-μmgCD=½mv2-0聯(lián)立解得
CD=（6R-5r）/2μ，故應(yīng)用CD＜（6R-5r）/2μ。
另一種是小球在乙軌道上運動¼圓周時，速度變?yōu)榱�，由mg（3R-r）=μmgCD解出CD=（3R-r）/μ，故應(yīng)有CD＞（3R-r）/μ
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