第七 解三角形

一、基礎(chǔ)知識
在本中約定用A，B，C分別表示△ABC的三個內(nèi)角，a, b, c分別表示它們所對的各邊長， 為半周長。
1．正弦定理： =2R（R為△ABC外接圓半徑）。
推論1：△ABC的面積為S△ABC=
推論2：在△ABC中，有bcosC+ccosB=a.
推論3：在△ABC中，A+B= ，解a滿足 ，則a=A.
正弦定理可以在外接圓中由定義證明得到，這里不再給出，下證推論。先證推論1，由正弦函數(shù)定義，BC邊上的高為bsinC，所以S△ABC= ；再證推論2，因為B+C= -A，所以sin(B+C)=sinA，即sinBcosC+cosBsinC=sinA，兩邊同乘以2R得bcosC+ccosB=a；再證推論3，由正弦定理 ，所以 ，即sinasin( -A)=sin( -a)sinA，等價于 [cos( -A+a)-cos( -A-a)]= [cos( -a+A)-cos( -a-A)]，等價于cos( -A+a)=cos( -a+A)，因為0< -A+a， -a+A< . 所以只有 -A+a= -a+A，所以a=A，得證。
2．余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA ，下面用余弦定理證明幾個常用的結(jié)論。
（1）斯特瓦特定理：在△ABC中，D是BC邊上任意一點，BD=p，DC=q，則AD2= （1）
【證明】 因為c2=AB2=AD2+BD2-2AD•BDcos ，
所以c2=AD2+p2-2AD•pcos ①
同理b2=AD2+q2-2AD•qcos ， ②
因為 ADB+ ADC= ，
所以cos ADB+cos ADC=0，
所以q×①+p×②得
qc2+pb2=(p+q)AD2+pq(p+q)，即AD2=
注：在（1）式中，若p=q，則為中線長公式
（2）海倫公式：因為 b2c2sin2A= b2c2 (1-cos2A)= b2c2 [(b+c) -a2][a2-(b-c) 2]=p(p-a)(p-b)(p-c).
這里
所以S△ABC=
二、方法與例題
1．面積法。
例1 （共線關(guān)系的張角公式）如圖所示，從O點發(fā)出的三條射線滿足 ，另外OP，OQ，OR的長分別為u, w, v，這里α，β，α+β∈(0, )，則P，Q，R的共線的充要條是

【證明】P，Q，R共線
(α+β)= uwsinα+ vwsinβ
，得證。
2．正弦定理的應(yīng)用。
例2 如圖所示，△ABC內(nèi)有一點P，使得 BPC- BAC= CPA- CBA= APB- ACB。
求證：AP•BC=BP•CA=CP•AB。
【證明】 過點P作PD BC，PE AC，PF AB，垂足分別為D，E，F(xiàn)，則P，D，C，E；P，E，A，F(xiàn)；P，D，B，F(xiàn)三組四點共圓，所以 EDF= PDE+ PDF= PCA+ PBA= BPC- BAC。由題設(shè)及 BPC+ CPA+ APB=3600可得 BAC+ CBA+ ACB=1800。
所以 BPC- BAC= CPA- CBA= APB- ACB=600。
所以 EDF=600，同理 DEF=600，所以△DEF是正三角形。
所以DE=EF=DF，由正弦定理，CDsin ACB=APsin BAC=BPsin ABC，兩邊同時乘以△ABC的外接圓直徑2R，得CP•BA=AP•BC=BP•AC，得證：
例3 如圖所示，△ABC的各邊分別與兩圓⊙O1，⊙O2相切，直線GF與DE交于P，求證：PA BC。
【證明】 延長PA交GD于，
因為O1G BC，O2D BC，所以只需證
由正弦定理 ，
所以
另一方面， ，
所以 ，
所以 ，所以PA//O1G，
即PA BC，得證。
3．一個常用的代換：在△ABC中，記點A，B，C到內(nèi)切圓的切線長分別為x, y, z，則a=y+z, b=z+x, c=x+y.
例4 在△ABC中，求證：a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) ≤3abc.
【證明】 令a=y+z, b=z+x, c=x+y，則
abc=(x+y)(y+z)(z+x)

=8xyz=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)
=a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)-2abc.
所以a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) ≤3abc.
4．三角換元。
例5 設(shè)a, b, c∈R+，且abc+a+c=b，試求 的最大值。
【解】 由題設(shè) ，令a=tanα, c=tanγ, b=tanβ,
則tanβ=tan(α+γ), P=2sinγsin(2α+γ)+3cos2γ≤ ，
當(dāng)且僅當(dāng)α+β= ，sinγ= ，即a= 時，Pmax=
例6 在△ABC中，若a+b+c=1，求證: a2+b2+c2+4abc<
【證明】 設(shè)a=sin2αcos2β, b=cos2αcos2β, c=sin2β, β .
因為a, b, c為三邊長，所以c< , c>a-b，
從而 ，所以sin2β>cos2α•cos2β.
因為1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca),
所以a2+b2+c2+4abc=1-2(ab+bc+ca-2abc).
又ab+bc+ca-2abc=c(a+b)+ab(1-2c)
=sin2βcos2β+sin2αcos2α•cos4β•cos2β
= [1-cos22β+(1-cos22α)cos4βcos2β]
= + cos2β(cos4β-cos22αcos4β-cos2β)
> + cos2β(cos4β-sin4β-cos2β)= .
所以a2+b2+c2+4abc<
三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題
1．在△ABC中，邊AB為最長邊，且sinAsinB= ，則cosAcosB的最大值為__________.
2．在△ABC中，若AB=1，BC=2，則 的取值范圍是__________.
3．在△ABC中，a=4, b+c=5, tanC+tanB+ tanCtanB，則△ABC的面積為__________.
4．在△ABC中，3sinA+4cosB=6, 3cosA+4sinB=1，則 =__________.
5．在△ABC中，“a>b”是“sinA>sinB”的__________條.
6．在△ABC中，sinA+cosA>0, tanA-sinA<0，則角A的取值范圍是__________.
7．在△ABC中，sinA= ，cosB= ，則cosC=__________.
8．在△ABC中，“三邊a, b, c成等差數(shù)列”是“tan ”的__________條.
9．在△ABC中，若sinC=2cosAsinB，則三角形形狀是__________.
10．在△ABC中，tanA•tanB>1，則△ABC為__________角三角形.
11．三角形有一個角是600，夾這個角的兩邊之比是8：5，內(nèi)切圓的面積是12 ，求這個三角形的面積。
12．已知銳角△ABC的外心為D，過A，B，D三點作圓，分別與AC，BC相交于，N兩點。求證：△NC的外接圓半徑等于△ABD的外接圓半徑。
13．已知△ABC中，sinC= ，試判斷其形狀。
四、高考水平訓(xùn)練題
1．在△ABC中，若tanA= , tanB= ，且最長邊長為1，則最短邊長為__________.
2．已知n∈N+，則以3，5，n為三邊長的鈍角三角形有________個.
3．已知p, q∈R+, p+q=1，比較大小：psin2A+qsin2B__________pqsin2C.
4．在△ABC中，若sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC，則△ABC 為__________角三角形.
5．若A為△ABC 的內(nèi)角，比較大�。� __________3.
6．若△ABC滿足acosA=bcosB，則△ABC的形狀為__________.
7．滿足A=600，a= , b=4的三角形有__________個.
8．設(shè) 為三角形最小內(nèi)角，且acos2 +sin2 -cos2 -asin2 =a+1，則a的取值范圍是__________.
9．A，B，C是一段筆直公路上的三點，分別在塔D的西南方向，正西方向，西偏北300方向，且AB=BC=1km，求塔與公路AC段的最近距離。
10．求方程 的實數(shù)解。
11．求證：
五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題
1．在△ABC中，b2=ac，則sinB+cosB的取值范圍是____________.
2．在△ABC中，若 ，則△ABC 的形狀為____________.
3．對任意的△ABC， -(cotA+cotB+cotC)，則T的最大值為____________.
4．在△ABC中， 的最大值為____________.
5．平面上有四個點A，B，C，D，其中A，B為定點，AB= ，C，D為動點，且AD=DC=BC=1。記S△ABD=S，S△BCD=T，則S2+T2的取值范圍是____________.
6．在△ABC中，AC=BC， ，O為△ABC的一點， ， ABO=300，則 ACO=____________.
7．在△ABC中，A≥B≥C≥ ，則乘積 的最大值為____________，最小值為__________.
8．在△ABC中，若c-a等于AC邊上的高h，則 =____________.
9．如圖所示，，N分別是△ABC外接圓的弧 ，AC中點，P為BC上的動點，P交AB于Q，PN交AC于R，△ABC的內(nèi)心為I，求證：Q，I，R三點共線。
10．如圖所示，P，Q，R分別是△ABC的邊BC，CA，AB上一點，且AQ+AR=BR+BP=CQ+CP。求證：AB+BC+CA≤2（PQ+QR+RP）。
11．在△ABC外作三個等腰三角形△BFC，△ADC，△AEB，使BF=FC，CD=DA，AE=EB， ADC=2 BAC， AEB=2 ABC， BFC=2 ACB，并且AF，BD，CE交于一點，試判斷△ABC的形狀。

六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題
1．已知等腰△ABC，AB=AC，一半圓以BC的中點為圓心，且與兩腰AB和AC分別相切于點D和G，EF與半圓相切，交AB于點E，交AC于點F，過E作AB的垂線，過F作AC的垂線，兩垂線相交于P，作PQ BC，Q為垂足。求證： ，此處 = B。
2．設(shè)四邊形ABCD的對角線交于點O，點和N分別是AD和BC的中點，點H1，H2（不重合）分別是△AOB與△COD的垂心，求證：H1H2 N。
3．已知△ABC，其中BC上有一點，且△AB與△AC的內(nèi)切圓大小相等，求證： ，此處 (a+b+c), a, b, c分別為△ABC對應(yīng)三邊之長。
4．已知凸五邊形ABCDE，其中 ABC= AED=900， BAC= EAD，BD與CE交于點O，求證：AO BE。
5．已知等腰梯形ABCD，G是對角線BD與AC的交點，過點G作EF與上、下底平行，點E和F分別在AB和CD上，求證： AFB=900的充要條是AD+BC=CD。
6．AP，AQ，AR，AS是同一個圓中的四條弦，已知 PAQ= QAR= RAS，求證：AR（AP+AR）=AQ（AQ+AS）。
7．已知一凸四邊形的邊長依次為a, b, c, d，外接圓半徑為R，如果a2+b2+c2+d2=8R2，試問對此四邊形有何要求？
8．設(shè)四邊形ABCD內(nèi)接于圓，BA和CD延長后交于點R，AD和BC延長后交于點P， A， B， C指的都是△ABC的內(nèi)角，求證：若AC與BD交于點Q，則
9．設(shè)P是△ABC內(nèi)一點，點P至BC，CA，AB的垂線分別為PD，PE，PF（D，E，F(xiàn)是垂足），求證：PA•PB•PC≥(PD+PE)•(PE+PF)•(PF+PD)，并討論等號成立之條。

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