題型五　立體幾何中的空間角問題
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1.如圖所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形，AD＝DE＝2AB，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)．
(1)求證：AF∥平面BCE；
(2)求證：平面BCE⊥平面CDE；
(3)求直線BF和平面BCE所成角的正弦值．

2．(2011•湖南)如圖，在圓錐PO中，已知PO＝2，⊙O的直徑AB＝2，C是 的中點(diǎn)，D為AC的中點(diǎn)．
(1)證明：平面POD⊥平面PAC；
(2)求二面角B—PA—C的余弦值．

答 案
1．(1)證明　設(shè)AD＝DE＝2AB＝2a，以A為原點(diǎn)，AC為x軸，AB為z軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系A(chǔ)—xyz，

則A(0,0,0)，C(2a,0,0)，B(0,0，a)，
D(a，3a,0)，E(a，3a,2a)．
因為F為CD的中點(diǎn)，
所以F32a，32a，0.
AF→＝32a，32a，0，BE→＝(a，3a，a)，BC→＝(2a,0，－a)．
因為AF→＝12(BE→＋BC→)，AF⊄平面BCE，
所以AF∥平面BCE.
(2)證明　因為AF→＝32a，32a，0，CD→＝(－a，3a,0)，ED→＝(0,0，－2a)，
故AF→•CD→＝0，AF→•ED→＝0，所以AF→⊥CD→，AF→⊥ED→.
所以AF→⊥平面CDE.又AF∥平面BCE，所以平面BCE⊥平面CDE.
(3)解　設(shè)平面BCE的法向量為n＝(x，y，z)．由n•BE→＝0，n•BC→＝0，
可得x＋3y＋z＝0,2x－z＝0，
取n＝(1，－3，2)．
又BF→＝32a，32a，－a，
設(shè)BF和平面BCE所成的角為θ，
則sin θ＝BF→•nBF→n＝2a2a•22＝24.
所以直線BF和平面BCE所成角的正弦值為24.
2.方法一　(1)證明　如圖，連結(jié)OC，因為OA＝OC，D是AC的中點(diǎn)，所以AC⊥OD.
又PO⊥底面⊙O，AC⊂底面⊙O，
所以AC⊥PO.
因為OD，PO是平面POD內(nèi)的兩條相交直線，
所以AC⊥平面POD，
而AC⊂平面PAC，
所以平面POD⊥平面PAC.
(2)解　在平面POD中，過O作OH⊥PD于H，由(1)知，平面POD⊥平面PAC，
所以O(shè)H⊥平面PAC.
又PA⊂平面PAC，所以PA⊥OH.
在平面PAO中，過O作OG⊥PA于G，連結(jié)HG，
則有PA⊥平面OGH，從而PA⊥HG，
故∠OGH為二面角B—PA—C的平面角．
在Rt△ODA中，OD＝OA•sin 45°＝22.
在Rt△POD中，
OH＝PO•ODPO2＋OD2＝2×222＋12＝105.
在Rt△POA中，
OG＝PO•OAPO2＋OA2＝2×12＋1＝63.
在Rt△OHG中，sin∠OGH＝OHOG＝10563＝155.
所以cos∠OGH＝1－sin2∠OGH＝1－1525＝105.
故二面角B—PA—C的余弦值為105.
方法二　(1)證明　如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OC，OP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則O(0,0,0)，A(－1,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，
P(0,0，2)，D－12，12，0.
設(shè)n1＝(x1，y1，z1)是平面POD的一個法向量，則由n1•OD→＝0，n•OP→＝0，
得－12x1＋12y1＝0，2z1＝0.所以z1＝0，x1＝y(tǒng)1.取y1＝1，得n1＝(1,1,0)．
設(shè)n2＝(x2，y2，z2)是平面PAC的一個法向量，則由n2•PA→＝0，n2•PC→＝0，
得－x2－2z2＝0，y2－2z2＝0.所以x2＝－2z2，y2＝2z2.取z2＝1，得n2＝(－2，2，1)．
因為n1•n2＝(1,1,0)•(－2，2，1)＝0，所以n1⊥n2.
從而平面POD⊥平面PAC.
(2)解　因為y軸⊥平面PAB，所以平面PAB的一個法向量為n3＝(0,1,0)．
由(1)知，平面PAC的一個法向量為n2＝(－2，2，1)．
設(shè)向量n2和n3的夾角為θ，則cos θ＝n2•n3n2•n3＝25＝105.
由圖可知，二面角B—PA—C的平面角與θ相等，
所以二面角B—PA—C的余弦值為105.

本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/gaosan/42558.html

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