江蘇省泰州市泰興三中2014屆高三（上）期中數學試卷（理科）　一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分，請將答案填寫在答題卷相應的位置上）1．（5分）已知復數z=x+yi（x，y∈R），且z（1+2i）=5，則x+y=　_________�。�2．（5分）已知集合M={x5?2x?3∈N+}，則M的所有非空真子集的個數是　_________�。�3．（5分）已知數列{an}是等差數列，且a1+a7+a13=?π，則sina7=　_________　．　4．（5分）給出下列幾個命題：①=是=的必要不充分條件；②若A、B、C、D是不共線的四點，則=是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；③若=則=④=的充要條件是；⑤若，為互相垂直的單位向量，=?2，=+，則，的夾角為銳角的充要條件是其中，正確命題的序號是　_________　．　5．（5分）設函數f（x）是定義在R上的偶函數，當x≥0時，f（x）=2x+1．若f（a）=3，則實數a的值為　_________�。�　6．（5分）（2015?徐州一模）已知等比數列{an}的前n項和為Sn，若a2a8=2a3a6，S5=?62，則a1的值是　_________�。�7．（5分）若命題“?x∈R，x2+ax+1＜0”是真命題，則實數a的取值范圍是　_________�。�8．（5分）（2015?鎮(zhèn)江一模）方程xlg（x+2）=1有　_________　個不同的實數根．9．（5分）已知=（1，sin2x），=（2，sin2x），其中x∈（0，π），若=?，則tanx的值等于 　_________�。�　10．（5分）（已知f（x）是定義在[?2，2]上的函數，且對任意實數x1，x2（x1≠x2），恒有，且f（x）的最大值為1，則滿足f（log2x）＜1的解集為 　_________�。�　11．（5分）（2015?鹽城一模）如圖，在等腰三角形ABC中，底邊BC=2，，=，若=，則=　_________　．　12．（5分）將函數的圖象向左平移個單位，得到函數y=g（x）的圖象，若y=g（x）在上為增函數，則ω的最大值為　_________�。�13．（5分）設等差數列{an}的首項及公差均是正整數，前n項和為Sn，且a1＞1，a4＞6，S3≤12，則a2015=　_________　．　14．（5分）已知函數f（x）=（a為常數，e為自然對數的底數）的圖象在點A（e，1）處的切線與該函數的圖象恰好有三個公共點，則實數a的取值范圍是　_________�。�　二、解答題：（本大題共6道題，計90分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟15．（14分）已知：、、是同一平面內的三個向量，其中=（1，2）（1）若=2，且∥，求的坐標；（2）若=，且+2與2?垂直，求與的夾角θ．16．（14分）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且c2=a2+b2?ab．（Ⅰ）若，求角B；（Ⅱ）設，，試求的取值范圍．　17．（15分）（2015?南通一模）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，．（1）求角C的大��；（2）若△ABC的外接圓直徑為1，求a2+b2的取值范圍．　18．（15分）如圖，在半徑為、圓心角為60°的扇形的弧上任取一點P，作扇形的內接矩形PNMQ，使點Q在OA上，點（N，M）在OB上，設矩形PNMQ的面積為y，（1）按下列要求寫出函數的關系式： ①設PN=x，將y表示成x的函數關系式； ②設∠POB=θ，將y表示成θ的函數關系式；（2）請你選用（1）中的一個函數關系式，求出y的最大值．　19．（16分）已知函數f（x）=asinx?x+b（a、b均為正的常數）．（1）求證函數f（x）在（0，a+b]內至少有一個零點；（2）設函數f（x）在處有極值①對于一切，不等式f（x）＞sinx+cosx總成立，求b的取值范圍；②若函數f（x）在區(qū)間（上單調遞增，求實數m的取值范圍．　20．（16分）已知數列{an}的奇數項是首項為1的等差數列，偶數項是首項為2的等比數列．數列{an} 前n項和為Sn，且滿足S3=a4，a3+a5=2+a4（1）求數列{an}的通項公式；（2）求數列{an}前2k項和S2k；（3）在數列{an}中，是否存在連續(xù)的三項am，am+1，am+2，按原來的順序成等差數列？若存在，求出所有滿足條件的正整數m的值；若不存在，說明理由．　參考答案一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分，請將答案填寫在答題卷相應的位置上）1．　1　．2．　510�。�3． �。�4．①②�。�5．　?1或1�。�6．　?2�。�7．（?∞，?2）∪（2，+∞）�。�8． 2　 9．　1�。�10．　[，4）�。�解：∵對任意實數x1，x2（x1≠x2），恒有，∴f（x）是定義在[?2，2]上的增函數∴f（x）的最大值為：f（2）=1∴f（log2x）＜1可轉化為：f（log2x）＜f（2）∴可得：解得：故答案為：[，4）11．　0�。�解：∵在等腰三角形ABC中，底邊BC=2，∴可取BC的中點O作為坐標原點距離平面直角坐標系．則B（?1，0），C（1，0），設A（0，a）（a＞0）．∵，∴D．∴=，=（1，?a）．∵=，∴，解得．∴．∵，∴，∴==．∴．∴===0．故答案為0．12．　2　．解：函數的圖象向左平移個單位，得到函數y=g（x）=2sinωx，y=g（x）在上為增函數，所以，即：ω≤2，所以ω的最大值為：2．故答案為：2．13．　4026�。�解：由題意可得設an=a1+（n?1）d，則Sn=na1+d，由a1＞1，a4＞6，S3≤12，得a1+3d＞6，3a1+3d≤12，解得6?3d＜a1≤12?d，因為首項及公差均是正整數，所以a1=2，d=2所以an=2n，a2015=4026．故答案為：4026．14．　�。�解：當x≥1，函數f（x）的導數，f'（x）=，則f'（e）=，則在A（e，1）處的切線方程為y?1=（x?e），即y=．當x≥1時，切線和函數f（x）=lnx有且只有一個交點，∴要使切線與該函數的圖象恰好有三個公共點，則當x＜1時，函數f（x）==，有兩個不同的交點，即（x+2）（x?a）=x，在x＜1時，有兩個不同的根，設g（x）=（x+2）（x?a）?x=x2+（1?a）x?2a，則滿足，即，∴，解得或，即實數a的取值范圍是．故答案為：．二、解答題：（本大題共6道題，計90分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟15．解：（1）設，∵=2，且∥，∴，…（3分）解得 或，…（5分）故 或．…（6分）（2）∵，∴， 即，…（8分）∴，整理得，…（10分）∴，…（12分）又∵θ∈[0，π]，∴θ=π．…（14分）16．解：（Ⅰ），由∵又∵（Ⅱ）=3sinA+cos2A=3sinA+1?2sin2A=?2（sinA?+∵，所以得的取值范圍為17．解：（1）在△ABC中，∵，∴=，化簡可得 sinCcosA?cosCsinA=sinBcosC?cosBsinC，即 sin（C?A）=sin（B?C）．∴C?A=B?C，或者C?A=π?（B?C） （不成立，舍去），即 2C=A+B，∴C=．（2）由于C=，設A=+α，B=?α，?＜α＜，由正弦定理可得 a=2rsinA=sinA，b=2rsinB=sinB，∴a2+b2=sin2A+sin2B=+=1?[cos（+2α）+cos（?2α）]=1+cos2α．由?＜2α＜，可得?＜cos2α≤1，∴＜1+cos2α≤，即a2+b2的取值范圍為 （，]．18．解：（1）①因為ON=，OM=，所以MN=，（2分）所以y=x（） x∈（0，）．（4分）②因為PN=sinθ，ON=，OM=，所以MN=ON?OM=（6分）所以y=sinθ，即y=3sinθcosθ?sin2θ，θ∈（0，）（8分）（2）選擇y=3sinθcosθ?sin2θ=sin（2θ+）?，（12分）∵θ∈（0，）∴（13分）所以．（14分）點評：本題是中檔題，考查函數解析式的求法，三角函數的最值的確定，三角函數公式的靈活運應，考查計算能力，課本題目的延伸．如果選擇①需要應用導數求解，麻煩，不是命題者的本意．　19．（1）證明：∵函數f（x）=asinx?x+b，a、b均為正的常數∴f（0）=b＞0，f（a+b）=asin（a+b）?a?b+b=a[sin（a+b）?1]≤0∴函數f（x）在（0，a+b]內至少有一個零點；（2）f′（x）=acosx?1，∵函數f（x）在處有極值，∴f′（）=acos?1=0，∴a=2∴f（x）=asinx?x+b=2sinx?x+b①不等式f（x）＞sinx+cosx等價于b＞cosx?sinx+x對于一切總成立設g（x）=cosx?sinx+x，∴g′（x）=?sinx?cosx+1=∵，∴，∴，∴g′（x）≤0∴g（x）=cosx?sinx+x在上是單調減函數，且最大值為1欲使b＞cosx?sinx+x對于一切總成立，只需要b＞1即可②由f′（x）=2cosx?1＞0，可得x∈（k∈Z）∴函數f（x）單調遞增區(qū)間為（k∈Z）∵函數f（x）在區(qū)間（上單調遞增∴，∴6k≤m≤1+3k，且m＞0∵6k≤1+3k，1+3k＞0（k∈Z），∴＜k≤0∴k=0，0≤m≤1即實數m的取值范圍為[0，1]．20．解：（1）設等差數列的公差為d，等比數列的公比為q，則a1=1，a2=2，a3=1+d，a4=2q，a5=1+2d．∵S3=a4，∴1+2（1+d）=2q，即4+d=2q，又a3+a5=2+a4，∴1+d+1+2d=2+2q，即3d=2q，解得d=2，q=3．∴對于k∈N*，有a2k?1=1+（k?1）?2=2k?1，故，k∈N*．（2）S2k=（a1+a3+…+a2k?1）+（a2+a4+…+a2k）=[1+3+…+（2k?1）]+2（1+3+32+…+3k?1）=．（3）在數列{an}中，僅存在連續(xù)的三項a1，a2，a3，按原來的順序成等差數列，此時正整數m的值為1，下面說明理由若am=a2k，則由am+am+2=2am+1，得2×3k?1+2×3k=2（2k+1）．化簡得4?3k?1=2k+1，此式左邊為偶數，右邊為奇數，不可能成立．若am=a2k?1，則由am+am+2=2am+1，得（2k?1）+（2k+1）=2×2×3k?1化簡得k=3k?1，令（k∈N*），則．因此，1=T1＞T2＞T3＞…，故只有T1=1，此時K=1，m=2×1?1=1．綜上，在數列{an}中，僅存在連續(xù)的三項a1，a2，a3，按原來的順序成等差數列，此時正整數m的值為1． 每天發(fā)布最有價值的高考資源 每天發(fā)布最有價值的高考資源 每天發(fā)布最有價值的江蘇省泰州市泰興三中2015屆高三上學期期中考試數學理試題（含答案）
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