第5時 萬有引力定律與天體運動
導(dǎo)學(xué)目標(biāo) 1.掌握萬有引力定律的內(nèi)容、公式及適用條.2.學(xué)會用萬有引力定律解決天體運動問題．
一、開普勒三定律
[基礎(chǔ)導(dǎo)引]
開普勒行星運動三定律不僅適用于行星繞太陽的運動，也適用于衛(wèi)星繞行星的運動．如果一顆人造地球衛(wèi)星沿橢圓軌道運動，它在離地球最近的位置(近地點)和最遠(yuǎn)的位置(遠(yuǎn)地點)，哪點的速度比較大？
[知識梳理]
1．開普勒第一定律：所有行星繞太陽運動的軌道都是________，太陽處在橢圓的一個________上．
2．開普勒第二定律：對任意一個行星說，它與太陽的連線在相同的時間內(nèi)掃過相等的________．
3．開普勒第三定律：所有行星的軌道的半長軸的三次方跟它的________________的比值都相等，即a3T2＝k.
思考：開普勒第三定律中的k值有什么特點？
二、萬有引力定律
[基礎(chǔ)導(dǎo)引]
根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律說明：為什么不同物體在
地球表面的重力加速度都是相等的？為什么高上的重力加速度比地面的�。�
[知識梳理]
1．內(nèi)容
自然界中任何兩個物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與________________________________成正比，與它們之間____________________成反比．
2．公式
____________，通常取G＝____________ N•m2/kg2，G是比例系數(shù)，叫引力常量．
3．適用條
公式適用于________間的相互作用．當(dāng)兩物體間的距離遠(yuǎn)大于物體本身的大小時，物體可視為質(zhì)點；均勻的球體可視為質(zhì)點，r是__________間的距離；對一個均勻球體與球外一個質(zhì)點的萬有引力的求解也適用，其中r為球心到________間的距離．
考點一 天體產(chǎn)生的重力加速度問題
考點解讀
星體表面及其某一高度處的重力加速度的求法：
設(shè)天體表面的重力加速度為g，天體半徑為R，則mg＝GmR2，即g＝GR2(或G＝gR2)
若物體距星體表面高度為h，則重力mg′＝Gm(R＋h)2，即g′＝G(R＋h)2＝R2(R＋h)2g.
典例剖析
例1 某星球可視為球體，其自轉(zhuǎn)周期為T，在它的兩極處，用彈簧秤測得某物體重為P，在它的赤道上，用彈簧秤測得同一物體重為0.9P，則星球的平均密度是多少？
跟蹤訓(xùn)練1 1990年5月，紫金天臺將他們發(fā)現(xiàn)的第2 752號小行星命名為吳健雄星，該小行星的半徑為16 km.若將此小行星和地球均看成質(zhì)量分布均勻的球體，小行星密度與地球相同．已知地球半徑R＝6 400 km，地球表面重力加速度為g.這個小行星表面的重力加速度為 ( )
A．400g B.1400g C．20g D.120g
考點二 天體質(zhì)量和密度的計算
考點解讀
1．利用天體表面的重力加速度g和天體半徑R.
由于GmR2＝mg，故天體質(zhì)量＝gR2G，天體密度ρ＝V＝43πR3＝3g4πGR.
2．通過觀察衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運動的周期T，軌道半徑r.
(1)由萬有引力等于向心力，即Gmr2＝m4π2T2r，得出中心天體質(zhì)量＝4π2r3GT2；
(2)若已知天體的半徑R，則天體的密度ρ＝V＝43πR3＝3πr3GT2R3；
(3)若天體的衛(wèi)星在天體表面附近環(huán)繞天體運動，可認(rèn)為其軌道半徑r等于天體半徑R，則天體密度ρ＝3πGT2.可見，只要測出衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運動的周期T，就可估測出中心天體的密度．
特別提醒 不考慮天體自轉(zhuǎn)，對任何天體表面都可以認(rèn)為mg＝GmR2.從而得出G＝gR2(通常稱為黃金代換)，其中為該天體的質(zhì)量，R為該天體的半徑，g為相應(yīng)天體表面的重力加速度．
典例剖析
例2 天學(xué)家新發(fā)現(xiàn)了太陽系外的一顆行星，這顆行星的體積是地球的4.7倍，質(zhì)量是地球的25倍．已知某一近地衛(wèi)星繞地球運動的周期約為1.4小時，引力常量G＝6.67×10－11 N•m2/kg2，由此估算該行星的平均密度約為 ( )
A．1.8×103 kg/m3 B．5.6×103 kg/m3
C．1.1×104 kg/m3 D．2.9×104 kg/m3
跟蹤訓(xùn)練2 為了對火星及其周圍的空間環(huán)境進(jìn)行探測，我國于2011年10月發(fā)射了第一顆火星探測器“螢火一號”．假設(shè)探測器在離火星表面高度分別為h1和h2的圓軌道上運動時，周期分別為T1和T2.火星可視為質(zhì)量分布均勻的球體，且忽略火星的自轉(zhuǎn)影響，萬有引力常量為G.僅利用以上數(shù)據(jù)，可以計算出 ( )
A．火星的密度和火星表面的重力加速度
B．火星的質(zhì)量和火星對“螢火一號”的引力
C．火星的半徑和“螢火一號”的質(zhì)量
D．火星表面的重力加速度和火星對“螢火一號”的引力
3.雙星模型
例3 宇宙中兩顆相距較近的天體稱為“雙星”，它們以二者連線上的某一點為圓心做勻速圓周運動而不至因萬有引力的作用吸引到一起．
(1)試證明它們的軌道半徑之比、線速度之比都等于質(zhì)量的反比．
(2)設(shè)兩者的質(zhì)量分別為m1和m2，兩者相距L，試寫出它們角速度的表達(dá)式．
建模感悟
1．要明確雙星中兩顆子星做勻速圓周運動的向心力
雙星中兩顆子星相互繞著旋轉(zhuǎn)可看作勻速圓周運動，其向心力由兩恒星間的萬有引力提供．由于力的作用是相互的，所以兩子星做圓周運動的向心力大小是相等的，利用萬有引力定律可以求得其大�。�
2．要明確雙星中兩顆子星做勻速圓周運動的運動參量的關(guān)系
兩子星繞著連線上的一點做勻速圓周運動，所以它們的運動周期是相等的，角速度也是相等的，所以線速度與兩子星的軌道半徑成正比．
3．要明確兩子星做勻速圓周運動的動力學(xué)關(guān)系
設(shè)兩子星的質(zhì)量分別為1和2，相距L，1和2的線速度分別為v1和v2，角速度分別為ω1和ω2，由萬有引力定律和牛頓第二定律得：
1：G12L2＝1v21r1＝1r1ω21
2：G12L2＝2v22r2＝2r2ω22
在這里要特別注意的是在求兩子星間的萬有引力時兩子星間的距離不能代成了兩子星做圓周運動的軌道半徑．
跟蹤訓(xùn)練3 宇宙中存在一些離其它恒星較遠(yuǎn)的、由質(zhì)量相等的三顆星組成的三星系統(tǒng)，通�？珊雎云渌求w對它們的引力作用．已觀測到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成形式：一種是三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運行；另一種是三顆星位于等邊三角形的三個頂點上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運行．設(shè)每個星體的質(zhì)量均為m.
(1)試求第一種形式下，星體運動的線速度和周期．
(2)假設(shè)兩種形式星體的運動周期相同，第二種形式下星體之間的距離應(yīng)為多少？
A組 開普勒定律的應(yīng)用
1．(2010•新標(biāo)全國•20)太陽系中的8大行星的軌道均可以近似看成圓軌道．下列4幅圖是用描述這些行星運動所遵從的某一規(guī)律的圖象．圖中坐標(biāo)系的橫軸是lg(T/T0)，縱軸是lg(R/R0)；這里T和R分別是行星繞太陽運行的周期和相應(yīng)的圓軌道半徑，T0和R0分別是水星繞太陽運行的周期和相應(yīng)的圓軌道半徑．下列4幅圖中正確的是 ( )
2．(2011•安徽•22)(1)開普勒行星運動第三定律指出：行星繞太陽運動的橢圓軌道的半長軸a的三次方與它的公轉(zhuǎn)周期T的二次方成正比，即a3T2＝k，k是一個對所有行星都相同的常量．將行星繞太陽的運動按圓周運動處理，請你推導(dǎo)出太陽系中該常量k的表達(dá)式．已知引力常量為G，太陽的質(zhì)量為太．
(2)開普勒定律不僅適用于太陽系，它對一切具有中心天體的引力系統(tǒng)(如地月系統(tǒng))都成立．經(jīng)測定月地距離為3.84×108 m，月球繞地球運動的周期為2.36×106 s，試計算地球的質(zhì)量地．(G＝6.67×10－11 N•m2/kg2，結(jié)果保留一位有效數(shù)字)
B組 萬有引力定律在天體運動中的應(yīng)用
3．一物體靜置在平均密度為ρ的球形天體表面的赤道上，已知萬有引力常量為G，若由于天體自轉(zhuǎn)使物體對天體表面壓力恰好為零，則天體自轉(zhuǎn)周期為 ( )
A. 4π3Gρ B. 34πGρ
C. 3πGρ D. πGρ
4．據(jù)報道，最近在太陽系外發(fā)現(xiàn)了首顆“宜居”行星，其質(zhì)量約為地球質(zhì)量的6.4倍．一個在地球表面重量為600 N的人在這個行星表面的重量將變?yōu)?60 N，由此可推知，該行星的半徑與地球半徑之比約為 ( )
A．0.5 B．2 C．3.2 D．4
5．宇航員在一星球表面上的某高處，沿水平方向拋出一小球．經(jīng)過時間t，小球落到星球表面，測得拋出點與落地點之間的距離為L.若拋出時初速度增大到2倍，則拋出點與落地點之間的距離為3L.已知兩落地點在同一水平面上，該星球的半徑為R，萬有引力常量為G.求該星球的質(zhì)量.
時規(guī)范訓(xùn)練
(限時：30分鐘)
1．對萬有引力定律的表達(dá)式F＝Gm1m2r2，下列說法正確的是 ( )
A．公式中G為常量，沒有單位，是人為規(guī)定的
B．r趨向于零時，萬有引力趨近于無窮大
C．兩物體之間的萬有引力總是大小相等，與m1、m2是否相等無關(guān)
D．兩個物體間的萬有引力總是大小相等，方向相反的，是一對平衡力
2．最近，科學(xué)家通過望遠(yuǎn)鏡看到太陽系外某一恒星有一行星，并測得它圍繞該恒星運行一周所用的時間為1 200年，它與該恒星的距離為地球到太陽距離的100倍．假定該行星繞恒星運行的軌道和地球繞太陽運行的軌道都是圓周，僅利用以上兩個數(shù)據(jù)可以求出的量有 ( )
A．恒星質(zhì)量與太陽質(zhì)量之比
B．恒星密度與太陽密度之比
C．行星質(zhì)量與地球質(zhì)量之比
D．行星運行速度與地球公轉(zhuǎn)速度之比
3．兩個大小相同的實心小鐵球緊靠在一起時，它們之間的萬有引力為F.若兩個半徑為實心小鐵球半徑2倍的實心大鐵球緊靠在一起，則它們之間的萬有引力為 ( )
A．2F B．4F C．8F D．16F
4．如圖1所示，A和B兩行星繞同一恒星C做圓周運動，旋轉(zhuǎn)方向相
同，A行星的周期為T1，B行星的周期為T2，某一時刻兩行星相距最
近，則 ( )
A．經(jīng)過T1＋T2兩行星再次相距最近
B．經(jīng)過T1T2T2－T1兩行星再次相距最近
C．經(jīng)過T1＋T22兩行星相距最遠(yuǎn)
D．經(jīng)過T1T2T2－T1兩行星相距最遠(yuǎn)
5．原香港中大學(xué)校長、被譽為“光纖之父”的華裔科學(xué)家高錕和另外兩名美國科學(xué)家共同分享了2009年度的諾貝爾物理學(xué)獎．早在1996年中國科學(xué)院紫金天臺就將一顆于1981年12月3日發(fā)現(xiàn)的國際編號為“3463”的小行星命名為“高錕星”．假設(shè)“高錕星”為均勻的球體，其質(zhì)量為地球質(zhì)量的1k，半徑為地球半徑的1q，則“高錕星”表面的重力加速度是地球表面的重力加速度的 ( )
A.qk B.kq C.q2k D.k2q
6．火星的質(zhì)量和半徑分別約為地球的110和12，地球表面的重力加速度為g，則火星表面的重力加速度約為 ( )
A．0.2g B．0.4g C．2.5g D．5g
圖2
7．一物體從一行星表面某高度處自由下落(不計阻力)．自開始下落計時，得到物體離行星表面高度h隨時間t變化的圖象如圖2所示，則根據(jù)題設(shè)條可以計算出 ( )
A．行星表面重力加速度的大小
B．行星的質(zhì)量
C．物體落到行星表面時速度的大小
D．物體受到行星引力的大小
8．(2009•浙江•19)在討論地球潮汐成因時，地球繞太陽運行軌道與月球繞地球運行軌道可視為圓軌道．已知太陽質(zhì)量約為月球質(zhì)量的2.7×107倍，地球繞太陽運行的軌道半徑約為月球繞地球運行的軌道半徑的400倍．關(guān)于太陽和月球?qū)Φ厍蛏舷嗤|(zhì)量海水的引力，以下說法正確的是 ( )
A．太陽引力遠(yuǎn)大于月球引力
B．太陽引力與月球引力相差不大
C．月球?qū)Σ煌瑓^(qū)域海水的吸引力大小相等
D．月球?qū)Σ煌瑓^(qū)域海水的吸引力大小有差異
9．如圖3所示，P、Q為質(zhì)量均為m的兩個質(zhì)點，分別置于地球表面不
同緯度上，如果把地球看成是一個均勻球體，P、Q兩質(zhì)點隨地球自
轉(zhuǎn)做勻速圓周運動，則以下說法中正確的是 ( )
A．P、Q做圓周運動的向心力大小相等
B．P、Q受地球重力相等
C．P、Q做圓周運動的角速度大小相等
D．P、Q做圓周運動的周期相等
10．根據(jù)觀察，在土星外層有一個環(huán)，為了判斷環(huán)是土星的連續(xù)物還是小衛(wèi)星群．可測出環(huán)中各層的線速度v與該層到土星中心的距離R之間的關(guān)系．下列判斷正確的是( )
A．若v與R成正比，則環(huán)為連續(xù)物
B．若v2與R成正比，則環(huán)為小衛(wèi)星群
C．若v與R成反比，則環(huán)為連續(xù)物
D．若v2與R成反比，則環(huán)為小衛(wèi)星群
復(fù)習(xí)講義
基礎(chǔ)再現(xiàn)
一、
基礎(chǔ)導(dǎo)引 根據(jù)開普勒第二定律，衛(wèi)星在近地點速度較大、在遠(yuǎn)地點速度較�。�
知識梳理 1.橢圓 焦點 2.面積 3.公轉(zhuǎn)周期的二次方
思考：在太陽系中，比例系數(shù)k是一個與行星無關(guān)的常量，但不是恒量，在不同的星系中，k值不相同，k值與中心天體有關(guān)．
該定律不僅適用于行星，也適用于其他天體．如對繞地球飛行的衛(wèi)星說，它們的k值相同且與衛(wèi)星無關(guān)．
二、
基礎(chǔ)導(dǎo)引 根據(jù)萬有引力定律，在地球表面，對于質(zhì)量為m的物體有：G地mR2地＝mg，得g＝G地R2地
對于質(zhì)量不同的物體，得到結(jié)果是相同的．
在高上，G地mr2＝mg，高的r較大，所以在高上的自由落體加速度g值就較小．
知識梳理 1.物體的質(zhì)量m1和m2的乘積 距離r的二次方 2.F＝Gm1m2r2 6.67×10－11 3.質(zhì)點 兩球心 質(zhì)點
堂探究
例1 30πGT2
跟蹤訓(xùn)練1 B
例2 D
跟蹤訓(xùn)練2 A
例3 (1)見解析 (2)G(m1＋m2)/L3
解析 (1)證明：兩天體繞同一點做勻速圓周運動的角速度ω一定要
相同，它們做勻速圓周運動的向心力由它們之間的萬有引力提
供，所以兩天體與它們的圓心總是在一條直線上．
設(shè)兩者的圓心為O點，軌道半徑分別為R1和R2，如圖所示．對兩天體，由萬有引力定律可分別列出
Gm1m2L2＝m1ω2R1①
Gm1m2L2＝m2ω2R2②
所以R1R2＝m2m1，所以v1v2＝R1ωR2ω＝R1R2＝m2m1，
即它們的軌道半徑、線速度之比都等于質(zhì)量的反比．
(2)由①②兩式相加得Gm1＋m2L2＝ω2(R1＋R2)，因為R1＋R2＝L，所以ω＝ G(m1＋m2)L3.
跟蹤訓(xùn)練3 (1) 5Gm4R 4π R35Gm (2) 3125R
分組訓(xùn)練
1．B
2．(1)k＝G4π2太 (2)6×1024 kg
3．C
4．B
5.23LR23Gt2
時規(guī)范訓(xùn)練
1．C
2．AD
3．D
4．B
5．C
6．B
7．AC
8．AD
9．CD
10．AD
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