第四　平面向量

高考導航

考試要求重難點擊命題展望
　　1.平面向量的實際背景及基本概念
(1)了解向量的實際背景；
(2)理解平面向量的概念，理解兩個向量相等的含義；
(3)理解向量的幾何 表示.
2.向量的線性運算
(1)掌握向量加法、減法的運算，并理解其幾何意義；
(2)掌握向量數(shù)乘的運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義；
(3)了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義.
3.平面向量的基本定理及其坐標表示
(1)了解平面向量的基本定理及其意義；
(2)掌握平面向量的正交分解及其坐標表示；
(3)會用坐標表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算；
(4)理解用坐標表示的平面向量共線的條.
4.平面向量的數(shù)量積
(1)理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義；
(2)了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關系；
(3)掌握數(shù)量積的坐標表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算；
(4)能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系.
5.向量的應用
(1)會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題；
(2)會用向量方法解決某些簡單的力學問題及其他一些實際問題.本重點：
1.向量的各種運算；
2.向量的坐標運算及數(shù)形結(jié)合的思想；
3.向量的數(shù)量積在證明有關向量相等、兩向量垂直、投影、夾角等問題中的應用.
本難點：
1.向量的直角坐標運算在證明向量垂直和平行問題中的應用；
2.向量的夾角公式和距離公式在求解平面上兩條直線的夾角和兩點間距離中的應用.　　向量是近代數(shù)學中重要和基本的數(shù)學概念之一，它是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具，有著極其豐富的實際背景，同時又是數(shù)形結(jié)合思想運用的典范，正是由于向量既具有幾何形式又具有代數(shù)形式的“雙重身份”，所以它成為中學數(shù)學知識的一個交匯點.在高考中，不僅注重考查向量本身的基礎知識和方法，而且常與解析幾何、三角函數(shù)、數(shù)列等一起進行綜合考查.
在考試要求的層次上更加突出向量的實際背景、幾何意義、運算功能和應用價值.

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4.1　平面向量的概念及線性運算

典例精析
題型一　向量的有關概念
【例1】 下列命題：
①向量 的長度與 的長度相等；
②向量a與向量b平行，則a與b的方向相同或相反；
③兩個有共同起點的單位向量，其終點必相同；
④向量 與向量 是共線向量，則A、B、C、D必在同一直線上.
其中真命題的序號是　　　.
【解析】①對；零向量與任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故②錯；③顯然錯； 與 是共線向量，則A、B、C、D可在同一直線上，也可共面但不在同一直線上，故④錯.故是真命題的只有①.
【點撥】正確理解向量的有關概念是解決本題的關鍵，注意到特殊情況，否定某個命題只要舉出一個反例即可.
【變式訓練1】下列各式：
①a＝ ；
②(a b) c＝a (b c)；
③ － ＝ ；
④在任意四邊形ABCD中，為AD的中點，N為BC的中點，則 ＋ ＝2 ；
⑤a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且a與b不共線，則(a＋b)⊥(a－b).
其中正確的個數(shù)為(　　)
A.1B.2C.3D.4
【解析】選D. a＝ 正確；(a b) c≠a (b c)； － ＝ 正確；如下圖所示，

= + + 且 = + + ，
兩式相加可得2 ＝ ＋ ，即命題④正確；
因為a，b不共線，且a＝b＝1，所以a＋b，a－b為菱形的兩條對角線，
即得(a＋b)⊥(a－b).
所以命題①③④⑤正確.
題型二　與向量線性運算有關的問題
【例2】如圖，ABCD是平行四邊形，AC、BD交于點O，點在線段DO上，且 = ，點N在線段OC上,且 = ,設 =a, =b,試用a、b表示 ， ， .
【解析】在▱ABCD中，AC，BD交于點O，
所以 ＝12 ＝12( － )＝12(a－b)，
＝ ＝12 ＝12( ＋ )＝12(a＋b).
又 ＝13 ， ＝13 ，
所以 ＝ ＋ ＝b＋13
＝b＋13×12(a－b)＝16a＋56b，
＝ ＋ ＝ ＋13
＝43 ＝43×12(a＋b)＝23(a＋b).
所以 ＝ －
＝23(a＋b)－(16a＋56b)＝12a－16b.
【點撥】向量的線性運算的一個重要作用就是可以將平面內(nèi)任一向量由平面內(nèi)兩個不共線的向量表示，即平面向量基本定理的應用，在運用向量解決問題時，經(jīng)常需要進行這樣的變形.
【變式訓練2】O是平面α上一點，A、B、C是平面α上不共線的三點，平面α內(nèi)的動點P滿足 ＝ ＋λ( ＋ )，若λ＝12時，則 ( ＋ )的值為　　　　.
【解析】由已知得 － ＝λ( ＋ )，
即 ＝λ( ＋ )，當λ＝12時，得 ＝12( ＋ )，
所以2 ＝ ＋ ，即 － ＝ － ，
所以 ＝ ，
所以 ＋ ＝ ＋ ＝0，
所以 ( ＋ )＝ 0＝0，故填0.
題型三　向量共線問題
【例3】 設兩個非零向量a與b不共線.
(1)若 ＝a＋b， ＝2a＋8b， ＝3(a－b)，
求證：A，B，D三點共線；
(2)試確定實數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線.
【解析】(1)證明：因為 ＝a＋b， ＝2a＋8b， ＝3(a－b)，
所以 ＝ ＋ ＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5 ，
所以 ， 共線.又因為它們有公共點B，
所以A，B，D三點共線.
(2)因為ka＋b和a ＋kb共線，
所以存在實數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，
所以(k－λ)a＝(λk－1)b.
因為a與b是不共線的兩個非零向量，
所以k－λ＝λk－1＝0，所以k2－1＝0，所以k＝±1.
【點撥】(1)向量共線的充要條中，要注意當兩向量共線時，通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量，要注意待定系數(shù)法的運用和方程思想.
(2)證明三點共線問題，可用向量共線解決，但應注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線.
【變式訓練3】已知O是正三角形BAC內(nèi)部一點， +2 +3 =0，則△OAC的面積與△OAB的面積之比是（）
A.32B.23
C.2D.13
【解析】如圖，在三角形ABC中， ＋2 ＋3 ＝0，整理可得 ＋ ＋2( ＋ )＝0.令三角形ABC中AC邊的中點為E，BC邊的中點為F，則點O在點F與點E連線的13處，即OE＝2OF.
設三角形ABC中AB邊上的高為h，則S△OAC＝S△OAE＋S△OEC＝12 OE (h2＋h2)＝12OE•h，
S△OAB＝12AB 12h＝14AB•h，
由于AB＝2EF，OE＝23EF，所以AB＝3OE，
所以S△OACS△OAB＝ ＝23.故選B.
總結(jié)提高
1.向量共線也稱向量平行，它與直線平行有區(qū)別，直線平行不包括共線(即重合)的情形，而向量平行則包括共線(即重合)的情形.
2.判斷兩非零向量是否平行，實際上就是找出一個實數(shù)，使這個實數(shù)能夠和其中一個向量把另外一個向量表示出.
3.當向量a與b共線同向時，a＋b＝a＋b；
當向量a與b共線反向時，a＋b＝a－b；
當向量a與b 不共線時，a＋b＜a＋b.

4.2　平面向量的基本定理及其坐標表示

典例精析
題型一　平面向量基本定理的應用
【例1】如圖▱ABCD中,,N分別是DC，BC中點.已知 =a, =b,試用a，b表示 ， 與
【解析】易知 ＝ ＋
＝ ＋12 ，
＝ ＋ ＝ ＋12 ，
即
所以 ＝23(2b－a)， ＝23(2a－b).
所以 ＝ ＋ ＝23(a＋b).
【點撥】運用平面向量基本定理及線性運算，平面內(nèi)任何向量都可以用基底表示.此處方程思想的運用值得仔細領悟.
【變式訓練1】已知D為△ABC的邊BC上的中點，△ABC所在平面內(nèi)有一點P，滿足 ＋ ＋ ＝0，則 等于(　　)
A.13　　　　B.12　　　　C.1　　　　D.2
【解析】由于D為BC邊上的中點，因此由向量加法的平行四邊形法則，易知 ＋ ＝2 ，因此結(jié)合 ＋ ＋ ＝0即得 ＝2 ，因此易得P，A，D三點共線且D是PA的中點，所以 ＝1，即選C.
題型二　向量的坐標運算
【例2】 已知a＝(1，1)，b＝(x，1)，u＝a＋2b，v＝2a－b.
(1)若u＝3v，求x；(2)若u∥v，求x.
【解析】因為a＝(1，1)，b＝(x，1)，
所以u＝(1，1)＋2(x，1)＝(1，1)＋(2x，2)＝(2x＋1，3)，
v＝2(1，1)－(x，1)＝(2－x，1).
(1)u＝3v⇔(2x＋1，3)＝3(2－x，1)
⇔(2x＋1，3)＝(6－3x，3)，
所以2x＋1＝6－3x，解得x＝1.
(2)u∥v ⇔(2x＋1，3)＝λ(2－x，1)
⇔
⇔(2x＋1)－3(2－x)＝0⇔x＝1.
【點撥】對用坐標表示的向量說，向量相等即坐標相等，這一點在解題中很重要，應引起重視.
【變式訓練2】已知向量an＝(cosnπ7，sinnπ7)(n∈N*)，b＝1.則函數(shù)y＝a1＋b2＋a2＋b2＋a3＋b2＋…＋a141＋b2的最大值為　　　.
【解析】設b＝(cos θ，sin θ)，所以y＝a1＋b2＋a2＋b2＋a3＋b2＋…＋a141＋b2＝(a1)2＋b2＋2(cosπ7，sinπ7)(cos θ，sin θ)＋… ＋(a141)2＋b2＋2(cos141π7，sin141π7)(cos θ，sin θ)＝282＋2cos(π7－θ)，所以y的最大值為284.
題型三　平行(共線)向量的坐標運算
【例3】已知△ABC的角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，設向量m＝(a，b)，n＝(sin B，sin A)，p＝(b－2，a－2).
(1)若m∥n，求證：△ABC為等腰三角形；
(2)若m⊥p，邊長c＝2，角C＝π3，求△ABC的面積.
【解析】(1)證明：因為m∥n，所以asin A＝bsin B.
由正弦定理，得a2＝b2，即a＝b.所以△ABC為等腰三角形.
(2)因為m⊥p，所以m•p＝0，即
a(b－2)＋b(a－2)＝0，所以a＋b＝ab.
由余弦定理，得4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，
所以(ab)2－3ab－4＝0.
所以ab＝4或ab＝－1(舍去).
所以S△ABC＝12absin C＝12×4×32＝3.
【點撥】設m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，則
①m∥n⇔x1y2＝x2y1；②m⊥n⇔x1x2＋y1y2＝0.
【變式訓練3】已知a，b，c分別為△ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊，向量m＝(2cosC－1，－2)，n＝(cos C，cos C＋1).若m⊥n，且a＋b＝10，則△ABC周長的最小值為(　　)
A.10－53B.10＋53
C.10－23D.10＋23
【解析】由m⊥n得2cos2C－3cos C－2＝0，解得cos C＝－12或cos C＝2(舍去)，所以c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab＝100－ab，由10＝a＋b≥2ab⇒ab≤25，所以c2≥75，即c≥53，所以a＋b＋c≥10＋53，當且僅當a＝b＝5時，等號成立.故選B.
總結(jié)提高
1.向量的坐標表示，實際是向量的代數(shù)表示，在引入向量的坐標表示后，即可使向量運算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密地結(jié)合起.向量方法是幾 何方法與代數(shù)方法的結(jié)合體，很多幾何問題可轉(zhuǎn)化為熟知的向量運算.
2.向量的運算中要特別注意方程思想的運用.
3.向量的運算分為向量形式與坐標形式.向量形式即平行四邊形法則與三角形法則，坐標形式即代入向量的直角坐標.

4.3　平面向量的數(shù)量積及向量的應用

典例精析
題型一　利用平面向量數(shù)量積解決模、夾角問題
【例1】 已知a，b夾角為120°，且a＝4，b＝2，求：
(1)a＋b；
(2)(a＋2b) •(a＋b)；
(3)a與(a＋b)的夾角θ.
【解析】(1)(a＋b)2＝a2＋b2＋2a•b
＝16＋4－2×4×2×12＝12，
所以a＋b＝23.
(2)(a＋2b) •(a＋b)＝a2＋3a•b＋2b2
＝16－3×4×2×12＋2×4＝12.
(3)a•(a＋b)＝a2＋a•b＝16－4×2×12＝12.
所以cos θ＝ ＝124×23＝32，所以θ＝π6.
【點撥】利用向量數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運算律可以解決向量的模、夾角等問題.
【變式訓練1】已知向量a，b，c滿足：a＝1，b＝2，c＝a＋b，且c⊥a，則a與b的夾角大小是　　　　.
【解析】 由c⊥a⇒c•a＝0⇒a2＋a•b＝0，
所以cos θ＝－12，所以θ＝120°.
題型二　利用數(shù)量積解決垂直與平行的問題
【例2】 在 △ABC中， ＝(2，3)， ＝(1，k)，且△A BC的一個內(nèi)角為直角，求k的值.
【解析】①當∠A＝90°時，有 • ＝0，
所以2×1＋3•k＝0，所以k＝－23；
②當∠B＝90°時，有 • ＝0，
又 ＝ － ＝(1－2，k－3)＝(－1，k－3)，
所以2×(－1)＋3×(k－3)＝0⇒k＝113；
③當∠C＝90°時，有 • ＝0，
所以－1＋k•(k－3)＝0，
所以k2－3k－1＝0⇒k＝3±132.
所以k的取值為－23，113或3±132.
【點撥】因為哪個角是直角尚未確定，故必須分類討論.在三角形中計算兩向量的數(shù)量積，應注意方向及兩向量的夾角.
【變式訓練2】△ABC中，AB＝4，BC＝5，AC＝6，
求 • ＋ • ＋ • .
【解析】因為2 • ＋2 • ＋2 •
＝( • ＋ • )＋( • ＋ • )＋( • ＋ • )
＝ •( ＋ )＋ •( ＋ )＋ •( ＋ )
＝ • ＋ • ＋ •
＝－42－62－52＝－77.
所以 • ＋ • ＋ • ＝－772.
題型三　平面向量的數(shù)量積的綜合問題
【例3】數(shù)軸Ox，Oy交于點O，且∠xOy＝π3，構(gòu)成一個平面斜坐標系，e1，e2分別是與Ox，Oy同向 的單位向量，設P為坐標平面內(nèi)一點，且 ＝xe1＋ye2，則點P的坐標為(x，y)，已知Q(－1，2).
(1)求 的值及 與Ox的夾角；
(2)過點Q的直線l⊥OQ，求l的直線方程(在斜坐標系中).
【解析】(1)依題意知，e1•e2＝12，
且 ＝－e1＋2e2，
所以 2＝(－e1＋2e2)2＝1＋4－4e1•e2＝3.
所以 ＝3.
又 •e1＝(－e1＋2e2) •e1＝－e21＋2e1 e2＝0.
所以 ⊥e1，即 與Ox成90°角.
(2)設l上動點P(x，y)，即 ＝xe1＋ye2，
又 ⊥l，故 ⊥ ，
即[(x＋1)e1＋(y－2)e2] •(－e1＋2e2)＝0.
所以－(x＋1)＋(x＋1)－(y－2) •12＋2(y－2)＝0，
所以y＝2，即為所求直線l的方程.
【點撥】綜合利用向量線性運算與數(shù)量積的運算，并且與不等式、函數(shù)、方程、三角函數(shù)、數(shù)列、解析幾何等相交匯 ，體現(xiàn)以能力立意的命題原則是近年高考的命題趨勢.
【變式訓練3】在平面直角坐標系xOy中，點A(5，0).對于某個正實數(shù)k，存在函數(shù)f(x)＝ax2(a＞0)，使得 ＝λ ( ＋ )(λ為常數(shù))，其中點P，Q的坐標分別為(1，f(1))，(k，f(k))，則k的取值范圍為(　　)
A.(2，＋∞)B.(3，＋∞)
C.(4，＋∞)D.(8，＋∞)
【解析】如圖所示，設 ＝ ， ＝ ， ＋ ＝ ，則 ＝λ .因為P(1，a)，Q(k，ak2)， ＝(1，0)， ＝(kk2＋a2k4，ak2k2＋a2k4)， ＝(kk2＋a2k4＋1，ak2k2＋a2k4)，則直線OG的方程為y＝ak2k＋k2＋a2k4x，又 ＝λ ，所以P(1，a)在直線OG上，所以a＝ak2k＋k2＋a2k4，所以a2＝1－2k.
因為 ＝1＋a2＞1，所以1－2k＞0，所以k＞2. 故選A.
總結(jié)提高
1.本節(jié)是平面向量這一的重要內(nèi)容，要準確理解兩個?向量數(shù)量積的定義及幾何意義，熟練掌握向量數(shù)量積的性質(zhì)及運算律；數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即(a•b) •c≠a•(b•c)；數(shù)量積不滿足消去律，即a•b＝a•c推不出b＝c.
2.通過向量的數(shù)量積，可以計算向量的長度，平面內(nèi)兩點間的距離，兩個向量的夾角，判斷兩直線是否垂直.
3.向量的線性運算、數(shù)量積運算是平面向量的最基本知識，在解決向量與不等式、函數(shù)、方程、數(shù)列、三角函數(shù)、解析幾何等綜合性問題時，往往要找到其內(nèi)在的聯(lián)系以獲得正確的解題途徑.

本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/gaosan/46377.html

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