第四　平面向量

高考導(dǎo)航

考試要求重難點(diǎn)擊命題展望
　　1.平面向量的實(shí)際背景及基本概念
(1)了解向量的實(shí)際背景；
(2)理解平面向量的概念，理解兩個(gè)向量相等的含義；
(3)理解向量的幾何 表示.
2.向量的線性運(yùn)算
(1)掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義；
(2)掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個(gè)向量共線的含義；
(3)了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義.
3.平面向量的基本定理及其坐標(biāo)表示
(1)了解平面向量的基本定理及其意義；
(2)掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示；
(3)會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算；
(4)理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條.
4.平面向量的數(shù)量積
(1)理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義；
(2)了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系；
(3)掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；
(4)能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.
5.向量的應(yīng)用
(1)會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問題；
(2)會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的力學(xué)問題及其他一些實(shí)際問題.本重點(diǎn)：
1.向量的各種運(yùn)算；
2.向量的坐標(biāo)運(yùn)算及數(shù)形結(jié)合的思想；
3.向量的數(shù)量積在證明有關(guān)向量相等、兩向量垂直、投影、夾角等問題中的應(yīng)用.
本難點(diǎn)：
1.向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算在證明向量垂直和平行問題中的應(yīng)用；
2.向量的夾角公式和距離公式在求解平面上兩條直線的夾角和兩點(diǎn)間距離中的應(yīng)用.　　向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念之一，它是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具，有著極其豐富的實(shí)際背景，同時(shí)又是數(shù)形結(jié)合思想運(yùn)用的典范，正是由于向量既具有幾何形式又具有代數(shù)形式的“雙重身份”，所以它成為中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)交匯點(diǎn).在高考中，不僅注重考查向量本身的基礎(chǔ)知識(shí)和方法，而且常與解析幾何、三角函數(shù)、數(shù)列等一起進(jìn)行綜合考查.
在考試要求的層次上更加突出向量的實(shí)際背景、幾何意義、運(yùn)算功能和應(yīng)用價(jià)值.

知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

4.1　平面向量的概念及線性運(yùn)算

典例精析
題型一　向量的有關(guān)概念
【例1】 下列命題：
①向量 的長(zhǎng)度與 的長(zhǎng)度相等；
②向量a與向量b平行，則a與b的方向相同或相反；
③兩個(gè)有共同起點(diǎn)的單位向量，其終點(diǎn)必相同；
④向量 與向量 是共線向量，則A、B、C、D必在同一直線上.
其中真命題的序號(hào)是　　　.
【解析】①對(duì)；零向量與任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故②錯(cuò)；③顯然錯(cuò)； 與 是共線向量，則A、B、C、D可在同一直線上，也可共面但不在同一直線上，故④錯(cuò).故是真命題的只有①.
【點(diǎn)撥】正確理解向量的有關(guān)概念是解決本題的關(guān)鍵，注意到特殊情況，否定某個(gè)命題只要舉出一個(gè)反例即可.
【變式訓(xùn)練1】下列各式：
①a＝ ；
②(a b) c＝a (b c)；
③ － ＝ ；
④在任意四邊形ABCD中，為AD的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)，則 ＋ ＝2 ；
⑤a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且a與b不共線，則(a＋b)⊥(a－b).
其中正確的個(gè)數(shù)為(　　)
A.1B.2C.3D.4
【解析】選D. a＝ 正確；(a b) c≠a (b c)； － ＝ 正確；如下圖所示，

= + + 且 = + + ，
兩式相加可得2 ＝ ＋ ，即命題④正確；
因?yàn)閍，b不共線，且a＝b＝1，所以a＋b，a－b為菱形的兩條對(duì)角線，
即得(a＋b)⊥(a－b).
所以命題①③④⑤正確.
題型二　與向量線性運(yùn)算有關(guān)的問題
【例2】如圖，ABCD是平行四邊形，AC、BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)在線段DO上，且 = ，點(diǎn)N在線段OC上,且 = ,設(shè) =a, =b,試用a、b表示 ， ， .
【解析】在▱ABCD中，AC，BD交于點(diǎn)O，
所以 ＝12 ＝12( － )＝12(a－b)，
＝ ＝12 ＝12( ＋ )＝12(a＋b).
又 ＝13 ， ＝13 ，
所以 ＝ ＋ ＝b＋13
＝b＋13×12(a－b)＝16a＋56b，
＝ ＋ ＝ ＋13
＝43 ＝43×12(a＋b)＝23(a＋b).
所以 ＝ －
＝23(a＋b)－(16a＋56b)＝12a－16b.
【點(diǎn)撥】向量的線性運(yùn)算的一個(gè)重要作用就是可以將平面內(nèi)任一向量由平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量表示，即平面向量基本定理的應(yīng)用，在運(yùn)用向量解決問題時(shí)，經(jīng)常需要進(jìn)行這樣的變形.
【變式訓(xùn)練2】O是平面α上一點(diǎn)，A、B、C是平面α上不共線的三點(diǎn)，平面α內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P滿足 ＝ ＋λ( ＋ )，若λ＝12時(shí)，則 ( ＋ )的值為　　　　.
【解析】由已知得 － ＝λ( ＋ )，
即 ＝λ( ＋ )，當(dāng)λ＝12時(shí)，得 ＝12( ＋ )，
所以2 ＝ ＋ ，即 － ＝ － ，
所以 ＝ ，
所以 ＋ ＝ ＋ ＝0，
所以 ( ＋ )＝ 0＝0，故填0.
題型三　向量共線問題
【例3】 設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線.
(1)若 ＝a＋b， ＝2a＋8b， ＝3(a－b)，
求證：A，B，D三點(diǎn)共線；
(2)試確定實(shí)數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線.
【解析】(1)證明：因?yàn)?＝a＋b， ＝2a＋8b， ＝3(a－b)，
所以 ＝ ＋ ＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5 ，
所以 ， 共線.又因?yàn)樗鼈冇泄�共點(diǎn)B，
所以A，B，D三點(diǎn)共線.
(2)因?yàn)閗a＋b和a ＋kb共線，
所以存在實(shí)數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，
所以(k－λ)a＝(λk－1)b.
因?yàn)閍與b是不共線的兩個(gè)非零向量，
所以k－λ＝λk－1＝0，所以k2－1＝0，所以k＝±1.
【點(diǎn)撥】(1)向量共線的充要條中，要注意當(dāng)兩向量共線時(shí)，通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量，要注意待定系數(shù)法的運(yùn)用和方程思想.
(2)證明三點(diǎn)共線問題，可用向量共線解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線.
【變式訓(xùn)練3】已知O是正三角形BAC內(nèi)部一點(diǎn)， +2 +3 =0，則△OAC的面積與△OAB的面積之比是（）
A.32B.23
C.2D.13
【解析】如圖，在三角形ABC中， ＋2 ＋3 ＝0，整理可得 ＋ ＋2( ＋ )＝0.令三角形ABC中AC邊的中點(diǎn)為E，BC邊的中點(diǎn)為F，則點(diǎn)O在點(diǎn)F與點(diǎn)E連線的13處，即OE＝2OF.
設(shè)三角形ABC中AB邊上的高為h，則S△OAC＝S△OAE＋S△OEC＝12 OE (h2＋h2)＝12OE•h，
S△OAB＝12AB 12h＝14AB•h，
由于AB＝2EF，OE＝23EF，所以AB＝3OE，
所以S△OACS△OAB＝ ＝23.故選B.
總結(jié)提高
1.向量共線也稱向量平行，它與直線平行有區(qū)別，直線平行不包括共線(即重合)的情形，而向量平行則包括共線(即重合)的情形.
2.判斷兩非零向量是否平行，實(shí)際上就是找出一個(gè)實(shí)數(shù)，使這個(gè)實(shí)數(shù)能夠和其中一個(gè)向量把另外一個(gè)向量表示出.
3.當(dāng)向量a與b共線同向時(shí)，a＋b＝a＋b；
當(dāng)向量a與b共線反向時(shí)，a＋b＝a－b；
當(dāng)向量a與b 不共線時(shí)，a＋b＜a＋b.

4.2　平面向量的基本定理及其坐標(biāo)表示

典例精析
題型一　平面向量基本定理的應(yīng)用
【例1】如圖▱ABCD中,,N分別是DC，BC中點(diǎn).已知 =a, =b,試用a，b表示 ， 與
【解析】易知 ＝ ＋
＝ ＋12 ，
＝ ＋ ＝ ＋12 ，
即
所以 ＝23(2b－a)， ＝23(2a－b).
所以 ＝ ＋ ＝23(a＋b).
【點(diǎn)撥】運(yùn)用平面向量基本定理及線性運(yùn)算，平面內(nèi)任何向量都可以用基底表示.此處方程思想的運(yùn)用值得仔細(xì)領(lǐng)悟.
【變式訓(xùn)練1】已知D為△ABC的邊BC上的中點(diǎn)，△ABC所在平面內(nèi)有一點(diǎn)P，滿足 ＋ ＋ ＝0，則 等于(　　)
A.13　　　　B.12　　　　C.1　　　　D.2
【解析】由于D為BC邊上的中點(diǎn)，因此由向量加法的平行四邊形法則，易知 ＋ ＝2 ，因此結(jié)合 ＋ ＋ ＝0即得 ＝2 ，因此易得P，A，D三點(diǎn)共線且D是PA的中點(diǎn)，所以 ＝1，即選C.
題型二　向量的坐標(biāo)運(yùn)算
【例2】 已知a＝(1，1)，b＝(x，1)，u＝a＋2b，v＝2a－b.
(1)若u＝3v，求x；(2)若u∥v，求x.
【解析】因?yàn)閍＝(1，1)，b＝(x，1)，
所以u(píng)＝(1，1)＋2(x，1)＝(1，1)＋(2x，2)＝(2x＋1，3)，
v＝2(1，1)－(x，1)＝(2－x，1).
(1)u＝3v⇔(2x＋1，3)＝3(2－x，1)
⇔(2x＋1，3)＝(6－3x，3)，
所以2x＋1＝6－3x，解得x＝1.
(2)u∥v ⇔(2x＋1，3)＝λ(2－x，1)
⇔
⇔(2x＋1)－3(2－x)＝0⇔x＝1.
【點(diǎn)撥】對(duì)用坐標(biāo)表示的向量說，向量相等即坐標(biāo)相等，這一點(diǎn)在解題中很重要，應(yīng)引起重視.
【變式訓(xùn)練2】已知向量an＝(cosnπ7，sinnπ7)(n∈N*)，b＝1.則函數(shù)y＝a1＋b2＋a2＋b2＋a3＋b2＋…＋a141＋b2的最大值為　　　.
【解析】設(shè)b＝(cos θ，sin θ)，所以y＝a1＋b2＋a2＋b2＋a3＋b2＋…＋a141＋b2＝(a1)2＋b2＋2(cosπ7，sinπ7)(cos θ，sin θ)＋… ＋(a141)2＋b2＋2(cos141π7，sin141π7)(cos θ，sin θ)＝282＋2cos(π7－θ)，所以y的最大值為284.
題型三　平行(共線)向量的坐標(biāo)運(yùn)算
【例3】已知△ABC的角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，設(shè)向量m＝(a，b)，n＝(sin B，sin A)，p＝(b－2，a－2).
(1)若m∥n，求證：△ABC為等腰三角形；
(2)若m⊥p，邊長(zhǎng)c＝2，角C＝π3，求△ABC的面積.
【解析】(1)證明：因?yàn)閙∥n，所以asin A＝bsin B.
由正弦定理，得a2＝b2，即a＝b.所以△ABC為等腰三角形.
(2)因?yàn)閙⊥p，所以m•p＝0，即
a(b－2)＋b(a－2)＝0，所以a＋b＝ab.
由余弦定理，得4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，
所以(ab)2－3ab－4＝0.
所以ab＝4或ab＝－1(舍去).
所以S△ABC＝12absin C＝12×4×32＝3.
【點(diǎn)撥】設(shè)m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，則
①m∥n⇔x1y2＝x2y1；②m⊥n⇔x1x2＋y1y2＝0.
【變式訓(xùn)練3】已知a，b，c分別為△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，向量m＝(2cosC－1，－2)，n＝(cos C，cos C＋1).若m⊥n，且a＋b＝10，則△ABC周長(zhǎng)的最小值為(　　)
A.10－53B.10＋53
C.10－23D.10＋23
【解析】由m⊥n得2cos2C－3cos C－2＝0，解得cos C＝－12或cos C＝2(舍去)，所以c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab＝100－ab，由10＝a＋b≥2ab⇒ab≤25，所以c2≥75，即c≥53，所以a＋b＋c≥10＋53，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝5時(shí)，等號(hào)成立.故選B.
總結(jié)提高
1.向量的坐標(biāo)表示，實(shí)際是向量的代數(shù)表示，在引入向量的坐標(biāo)表示后，即可使向量運(yùn)算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密地結(jié)合起.向量方法是幾 何方法與代數(shù)方法的結(jié)合體，很多幾何問題可轉(zhuǎn)化為熟知的向量運(yùn)算.
2.向量的運(yùn)算中要特別注意方程思想的運(yùn)用.
3.向量的運(yùn)算分為向量形式與坐標(biāo)形式.向量形式即平行四邊形法則與三角形法則，坐標(biāo)形式即代入向量的直角坐標(biāo).

4.3　平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用

典例精析
題型一　利用平面向量數(shù)量積解決模、夾角問題
【例1】 已知a，b夾角為120°，且a＝4，b＝2，求：
(1)a＋b；
(2)(a＋2b) •(a＋b)；
(3)a與(a＋b)的夾角θ.
【解析】(1)(a＋b)2＝a2＋b2＋2a•b
＝16＋4－2×4×2×12＝12，
所以a＋b＝23.
(2)(a＋2b) •(a＋b)＝a2＋3a•b＋2b2
＝16－3×4×2×12＋2×4＝12.
(3)a•(a＋b)＝a2＋a•b＝16－4×2×12＝12.
所以cos θ＝ ＝124×23＝32，所以θ＝π6.
【點(diǎn)撥】利用向量數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運(yùn)算律可以解決向量的模、夾角等問題.
【變式訓(xùn)練1】已知向量a，b，c滿足：a＝1，b＝2，c＝a＋b，且c⊥a，則a與b的夾角大小是　　　　.
【解析】 由c⊥a⇒c•a＝0⇒a2＋a•b＝0，
所以cos θ＝－12，所以θ＝120°.
題型二　利用數(shù)量積解決垂直與平行的問題
【例2】 在 △ABC中， ＝(2，3)， ＝(1，k)，且△A BC的一個(gè)內(nèi)角為直角，求k的值.
【解析】①當(dāng)∠A＝90°時(shí)，有 • ＝0，
所以2×1＋3•k＝0，所以k＝－23；
②當(dāng)∠B＝90°時(shí)，有 • ＝0，
又 ＝ － ＝(1－2，k－3)＝(－1，k－3)，
所以2×(－1)＋3×(k－3)＝0⇒k＝113；
③當(dāng)∠C＝90°時(shí)，有 • ＝0，
所以－1＋k•(k－3)＝0，
所以k2－3k－1＝0⇒k＝3±132.
所以k的取值為－23，113或3±132.
【點(diǎn)撥】因?yàn)槟膫�(gè)角是直角尚未確定，故必須分類討論.在三角形中計(jì)算兩向量的數(shù)量積，應(yīng)注意方向及兩向量的夾角.
【變式訓(xùn)練2】△ABC中，AB＝4，BC＝5，AC＝6，
求 • ＋ • ＋ • .
【解析】因?yàn)? • ＋2 • ＋2 •
＝( • ＋ • )＋( • ＋ • )＋( • ＋ • )
＝ •( ＋ )＋ •( ＋ )＋ •( ＋ )
＝ • ＋ • ＋ •
＝－42－62－52＝－77.
所以 • ＋ • ＋ • ＝－772.
題型三　平面向量的數(shù)量積的綜合問題
【例3】數(shù)軸Ox，Oy交于點(diǎn)O，且∠xOy＝π3，構(gòu)成一個(gè)平面斜坐標(biāo)系，e1，e2分別是與Ox，Oy同向 的單位向量，設(shè)P為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，且 ＝xe1＋ye2，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，已知Q(－1，2).
(1)求 的值及 與Ox的夾角；
(2)過點(diǎn)Q的直線l⊥OQ，求l的直線方程(在斜坐標(biāo)系中).
【解析】(1)依題意知，e1•e2＝12，
且 ＝－e1＋2e2，
所以 2＝(－e1＋2e2)2＝1＋4－4e1•e2＝3.
所以 ＝3.
又 •e1＝(－e1＋2e2) •e1＝－e21＋2e1 e2＝0.
所以 ⊥e1，即 與Ox成90°角.
(2)設(shè)l上動(dòng)點(diǎn)P(x，y)，即 ＝xe1＋ye2，
又 ⊥l，故 ⊥ ，
即[(x＋1)e1＋(y－2)e2] •(－e1＋2e2)＝0.
所以－(x＋1)＋(x＋1)－(y－2) •12＋2(y－2)＝0，
所以y＝2，即為所求直線l的方程.
【點(diǎn)撥】綜合利用向量線性運(yùn)算與數(shù)量積的運(yùn)算，并且與不等式、函數(shù)、方程、三角函數(shù)、數(shù)列、解析幾何等相交匯 ，體現(xiàn)以能力立意的命題原則是近年高考的命題趨勢(shì).
【變式訓(xùn)練3】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(5，0).對(duì)于某個(gè)正實(shí)數(shù)k，存在函數(shù)f(x)＝ax2(a＞0)，使得 ＝λ ( ＋ )(λ為常數(shù))，其中點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)分別為(1，f(1))，(k，f(k))，則k的取值范圍為(　　)
A.(2，＋∞)B.(3，＋∞)
C.(4，＋∞)D.(8，＋∞)
【解析】如圖所示，設(shè) ＝ ， ＝ ， ＋ ＝ ，則 ＝λ .因?yàn)镻(1，a)，Q(k，ak2)， ＝(1，0)， ＝(kk2＋a2k4，ak2k2＋a2k4)， ＝(kk2＋a2k4＋1，ak2k2＋a2k4)，則直線OG的方程為y＝ak2k＋k2＋a2k4x，又 ＝λ ，所以P(1，a)在直線OG上，所以a＝ak2k＋k2＋a2k4，所以a2＝1－2k.
因?yàn)?＝1＋a2＞1，所以1－2k＞0，所以k＞2. 故選A.
總結(jié)提高
1.本節(jié)是平面向量這一的重要內(nèi)容，要準(zhǔn)確理解兩個(gè)?向量數(shù)量積的定義及幾何意義，熟練掌握向量數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算律；數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即(a•b) •c≠a•(b•c)；數(shù)量積不滿足消去律，即a•b＝a•c推不出b＝c.
2.通過向量的數(shù)量積，可以計(jì)算向量的長(zhǎng)度，平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離，兩個(gè)向量的夾角，判斷兩直線是否垂直.
3.向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算是平面向量的最基本知識(shí)，在解決向量與不等式、函數(shù)、方程、數(shù)列、三角函數(shù)、解析幾何等綜合性問題時(shí)，往往要找到其內(nèi)在的聯(lián)系以獲得正確的解題途徑.

本文來自：逍遙右腦記憶 http://yy-art.cn/gaosan/46377.html

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