汕頭市金中學(xué)2012-2013學(xué)年度第一學(xué)期期中考試
高三理科數(shù)學(xué) 試題卷
本試題分第Ⅰ卷（）和第Ⅱ卷（非）兩部分，滿分150分，時間120分鐘.
第Ⅰ卷 （選擇題 共40分）
一、選擇題：(本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.)
1． 等于（ ）
A． B． C． D．
2．設(shè) , 那么“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
3．已知單位向量 滿足 ，則 夾角為（ ）
A． B． C． D．
4．已知函數(shù) ，且此函數(shù)的圖象如圖所示，則點 的坐標(biāo)是（ ）
A． B．
C． D．
5．函數(shù) 的圖象大致是（ ）

6．已知 滿足線性約束條件 ，若 ， ，則 的最大值是（ ）
A. B. C. D.
7．若函數(shù) 的零點與函數(shù) 的零點之差的絕對值不超過 ，則 可以是（ ）
A. B. C. D.
8．對于下列命題：①在△ABC中，若 ，則△ABC為等腰三角形；②已知a，b，c是△ABC的三邊長，若 ， ， ，則△ABC有兩組解；③設(shè) ， ， ,則 ；④將函數(shù) 圖象向左平移 個單位，得到函數(shù) 圖象。其中正確命題的個數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷 （非選擇題 共110分）
二、題：(本大題共6小題，每小題5分，共30分.) ks5u
9．已知向量 ， ， ．若 為實數(shù)， ，則 。
10．設(shè) 的最大值為16，則 。
11．已知 ， ，則 。
12．在△ 中，內(nèi)角 、 、 的對邊分別為 、 、 ，已知 ， ， ，則 。
13．若關(guān)于 的不等式 存在實數(shù)解，則實數(shù) 的取值范圍是 。
14．函數(shù) .給出函數(shù) 下列性質(zhì)：①函數(shù)的定義域和值域均為 ；②函數(shù)的圖像關(guān)于原點成中心對稱；③函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增；④ （其中 為函數(shù)的定義域）；⑤ 、 為函數(shù) 圖象上任意不同兩點，則 。請寫出所有關(guān)于函數(shù) 性質(zhì)正確描述的序號 。
三、解答題：（本大題共6小題，共80分，解答應(yīng)寫出字說明，證明過程或演算步驟.）
15．（本小題滿分12分）已知集合 ， .
（Ⅰ）求集合 和集合 ；（Ⅱ）若 ，求 的取值范圍。
16．（本小題滿分12分）在直角坐標(biāo)系中，已知 ， ， 為坐標(biāo)原點， ， ．（Ⅰ）求 的對稱中心的坐標(biāo)及其在區(qū)間 上的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）若 ， ，求 的值。
17．（本小題滿分14分）已知函數(shù) ，
（Ⅰ）求函數(shù) 的最大值和最小正周期；
（Ⅱ）設(shè) 的內(nèi)角 的對邊分別 且 , ，若 ,求 的值．

18．（本小題滿分14分）已知函數(shù) ，
（Ⅰ）若 ，求 的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，對 ，都有 ，求實數(shù) 的取值范圍；
（Ⅲ）若 在 ， 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減，求實數(shù) 的取值范圍。
19．（本小題滿分14分）
如圖：某污水處理廠要在一個矩形污水處理池 的池底水平鋪設(shè)污水凈化管道 ， 是直角頂點）處理污水，管道越短，鋪設(shè)管道的成本越低.設(shè)計要求管道的接口 是 的中點， 分別落在線段 上。已知 米， 米，記 。
（Ⅰ）試將污水凈化管道的長度 表示為 的函數(shù)，并寫出定義域；
（Ⅱ）若 ，求此時管道的長度 ；
（Ⅲ）問：當(dāng) 取何值時，鋪設(shè)管道的成本最低？并求出此時管道的長度。
20．（本小題滿分14分）
已知函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間為 ，
（Ⅰ）求證： ；
（Ⅱ）當(dāng) 取最小值時，點 是函數(shù) 圖象上的兩點，若存在 使得 ，求證：

汕頭市金中學(xué)2012-2013學(xué)年度第一學(xué)期期中考試
高三理科數(shù)學(xué) 參考答案
一、選擇題（40分）
題號12345678
答案DACADBCC
二、題（30分）
9． 10． 11． 12． 13． 14．②④
三、解答題（80分）
15．解：（Ⅰ）由 ，得 ，即 …………………3分
由 或 ，
即 ………………………………………………………………………6分
（Ⅱ） ，
的取值范圍是 …………………………………………………………………12分
16．解： ， ，
則 …………………………………2分

……………………………………………………4分
（Ⅰ）由 ，即 對稱中心是
當(dāng) 時 單調(diào)遞減，即
的單調(diào)遞減是 ………………………………………6分
在區(qū)間 上的單調(diào)遞減區(qū)間為 .………………………………………8分
(Ⅱ)
……………………………………10分
。…………………………………………………12分
17．解：（Ⅰ） …………………………2分
則 的最大值為0，最小正周期是 ……………………………………………4分
（Ⅱ） 則

……………………………………………………………………………6分
由正弦定理得 ①……………………………9分
由余弦定理得
即 ②……………………………………………………………………………12分
由①②解得 ， …………………………………………………………………14分
18．解：（Ⅰ） 定義域為
當(dāng) 時， ， ，令 得 或 （舍）
（0，2）2
-0+
??
∴ 的遞減區(qū)間為（0，2），遞增區(qū)間為 …………………………………………4分
（Ⅱ）∵ 都有 成立
∴ ………………………………………………………………………………5分
由（Ⅰ）知
， ……………………………………………7分
∴ ，∴ ……………………………………………………………………8分
（Ⅲ） …………………………………9分
由條件知 恰為 的兩個不相等正根，
即 恰有兩個不相等正根，……………………………………………10分
對于方程 顯然 是方程的一個解，……………………………11分
當(dāng) 時， ( 且 )
當(dāng) 時，
當(dāng) 時， …………………………………………………………………13分
∴ 且 ……………………………………………………………14分
19．解：（Ⅰ） ， ，
由于 ， ， ， �！�…3分
所以 ， ………………………………………………5分
（Ⅱ） 時， ， ；…………………………10分
（Ⅲ） = ，設(shè) ,
則 ，由于 ，
所以 ， 在 內(nèi)單調(diào)遞減，
于是當(dāng) 時 . 的最小值 米……………………………………………13分
答：當(dāng) 時，所鋪設(shè)管道的成本最低，此時管道的長度為 米………………14分
20．解：（Ⅰ） ……………………………………………………………2分
依題意 是方程 的兩根有： ………………………………4分
……………6分
（Ⅱ）
取最小值時， ，……………………………………………………7分
在 上是增函數(shù)， ，
，從而 ………………………………………………8分

即

…………………………10分
考慮函數(shù) ，因 ，故當(dāng) 時，有 ，
所以 是 上是減函數(shù).
由 ，得 …………………………………12分
由 及 得
故 ,即 .
…………………………………………………………………………14分

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