東城區(qū)普通校2012-2013學年第一學期聯考試卷
高三 數學（理科）
命題校：125中 2012年12月
本試卷分第Ⅰ卷（）和第Ⅱ卷（非）兩部分，共 150 分，考試用時 120 分鐘。考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。祝各位考生考試順利！
第Ⅰ卷
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．選出符合題目要求的一項填在機讀卡上．
1. 若集合 ，且 ，則集合 可能是（ ）
A． 　 B． 　 C． 　 D．
2. 復數 在復平面上對應的點的坐標是（ ）
A． B． C． D．
3. 已知 是兩條不同直線， 是三個不同平面，下列命題中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
4. 一個棱錐的三視圖如圖（尺寸的長度單位為 ） ，
則該棱錐的體積是（ ）
A． B．
C． D． 正視圖 側視圖

5．設變量 滿足約束條件 ，則目標函數 的最大值為（ ）
A． B． C． D．
6．已知數列 為等比數列， ， ，則 的值為（ ）
A． B． C． D．
7． 已知函數 在 上是增函數， ，若 ，則 的
取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
8．設 、 分別為雙曲線 的左、右焦點.若在雙曲線右支上存
在點 ，滿足 ，且 到直線 的距離等于雙曲線的實軸長，則該雙
曲線的漸近線方程為（ ）
A． B． C． D．

第Ⅱ卷(非選擇題，共110分)
二、題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．
9．已知 ，且 為第二象限角，則 的值為 .
10．已知向量 ．若 為實數， ∥ ，則
的值為 .
11．橢圓 的焦點為 ，點 在橢圓上，若 ，
的小大為 .
12．若曲線 的某一切線與直線 平行，則切點坐標
為 ，切線方 程為 .
13. 若 ，則下列不等式對一切滿足條件的 恒成立的
是 . (寫出所有正確命題的編號)．
① ； ② ； ③ ；
④ ； ⑤
14. 已知函數 在區(qū)間 內任取兩個實數 ，且 ，
不等式 恒成立，則實數 的取值范圍為 .
三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應寫出字說明、證明過程
或演算步驟．
15．（本小題滿分 分）
已知：在 中, 、 、 分別為角 、 、 所對的邊，且角 為銳角，

（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）當 ， 時，求 及 的長．

16．（本小題滿分 分）
已知：函數 的部分圖象如圖所示．
（Ⅰ）求 函 數 的 解 析 式；
（Ⅱ）在△ 中，角 的 對 邊 分 別
是 ，若
的 取 值 范 圍．

17．（本小題滿分 分）
已知：如圖，在四棱錐 中，四邊形 為正方形， ，且 ， 為 中點．
（Ⅰ）證明： // 平面 ；
（Ⅱ）證明：平面 平面 ；
（Ⅲ）求二面角 的正弦值．
18．（本小題滿分13分）
已知：數列 的前 項和為 ，且滿足 ， .
（Ⅰ）求： ， 的值；
（Ⅱ）求：數列 的通項公式；
（Ⅲ）若數列 的前 項和為 ，且滿足 ，求數列 的
前 項和 .
19．（本小題滿分14分）
已知：函數 ，其中 .
（Ⅰ）若 是 的極值點，求 的值；
（Ⅱ）求 的單調區(qū)間；
（Ⅲ）若 在 上的最大值是 ，求 的取值范圍.
20．（本小題滿分 分）
已知橢圓 的離心率為 ，橢圓短軸的一個端點與兩個焦
點構成的三角形的面積為 .
（Ⅰ）求橢圓 的方程；
（Ⅱ）已知動直線 與橢圓 相交于 、 兩點. ①若線段 中點的
橫坐標為 ，求斜率 的值；②若點 ，求證： 為定值.

東城區(qū)普通校2012-2013學年第一學期聯考答案
高三數學（理科）
參考答案
（以下評分標準僅供參考，其它解法自己根據情況相應地給分）
一.選擇題
1. A 2. D 3. B 4. A 5. C 6. D 7. B 8. D
二.題
9． 10． 11．
12．（1，2）， 13．①③⑤ 14．

15．（本小題滿分 分）
解：（Ⅰ）解：因為cos2C=1-2sin2C= ，及
所以sinC= . ………………………… 4分
（Ⅱ）解：當a=2，2sinA=sinC時，由正弦定理 ，得c=4 ………7分
由cos2C=2cos2C-1= ，及 得
cosC= ………………………9分
由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，得
b2－ b-12=0 …………………… 12分
解得 b=2 ……………………13分

16．（本小題滿分 分）
解：（Ⅰ）由圖像知 ， 的最小正周期 ，故 …… 2分
將點 代入 的解析式得 ，又
故 所以 ……………… 5分
（Ⅱ）由 得
所以 ……………………8分
因為 所以 ………………9分
……………………11分
……………………13分

17．（本小題滿分 分）
解： （Ⅰ）

證明：連結BD交AC于點O，連結EO． ……………………1分
O為BD中點，E為PD中點，
∴EO//PB． ………… …………2分
EO 平面AEC，PB 平面AEC， ……………………3分
∴ PB//平面AEC．
（Ⅱ）
證明：
PA⊥平面ABCD．
平面ABCD，
∴ ． ……………………4分
又 在正方形ABCD中 且 ， ……………………5分
∴CD 平面PAD． ……………………6分
又 平面PCD，
∴平面 平面 ． ……………………7分
（Ⅲ）如圖，以A為坐標原點， 所在直線分別為 軸， 軸， 軸建立空
間直角坐標系． ………8分

由PA=AB=2可知A、B、C、D、P、E的坐標分別為
A(0, 0, 0), B(2, 0, 0),C(2, 2, 0),
D( 0, 2, 0), P(0, 0, 2), E(0, 1, 1) ． ……………9分
PA 平面ABCD，∴ 是平面ABCD的法向量， =（0, 0, 2）．
設平面AEC的法向量為 , ,
則 即
∴
∴令 ,則 . ………………11分
∴ , …………………12分
二面角 的正弦值為 …………………13分

18．（本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）
令 ，解得 ；令 ，解得 ……………2分
（Ⅱ）
所以 ，（ ）
兩式相減得 ……………4分
所以 ，（ ） ……………5分
又因為
所以數列 是首項為 ，公比為 的等比數列 ……………6分
所以 ，即通項公式 （ ） ……………7分
（Ⅲ） ，所以
所以
……9分
令 ①
②
①－②得

……………11分
……………12分
所以 ……13分

19．（本小題滿分14分）
（Ⅰ）解： . 依題意，令 ，解得 .
經檢驗， 時，符合題意. ……4分
（Ⅱ）解：① 當 時， .
故 的單調增區(qū)間是 ；單調減區(qū)間是 . …………………5分
② 當 時，令 ，得 ，或 .
當 時， 與 的情況如下：


? ? ?
所以， 的單調增區(qū)間是 ；單調減區(qū)間是 和 .
當 時， 的單調減區(qū)間是 .
當 時， ， 與 的情況如下：


? ? ?
所以， 的單調增區(qū)間是 ；單調減區(qū)間是 和 .
③ 當 時， 的單調增區(qū)間是 ；單調減區(qū)間是 .
綜上，當 時， 的增區(qū)間是 ，減區(qū)間是 ；
當 時， 的增區(qū)間是 ，減區(qū)間是 和 ；
當 時， 的減區(qū)間是 ；
當 時， 的增區(qū)間是 ；減區(qū)間是 和 .
……11分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知 時， 在 上單調遞增，由 ，知不合題意.

當 時， 在 的最大值是 ，
由 ，知不合題意.
當 時， 在 單調遞減，
可得 在 上的最大值是 ，符合題意.
所以， 在 上的最大值是 時， 的取值范圍是 . …………14分

20．（本題滿分 分）
解：（Ⅰ）因為 滿足 ， ，…………2分
。解得 ，則橢圓方程為 ……………4分
（Ⅱ）（1）將 代入 中得
……………………………………………………6分

………………………………………… …………………7分
因為 中點的橫坐標為 ，所以 ，解得 …………9分
（2）由（1）知 ，
所以 ……………11分

………………………………………12分

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