第十四 極限與導(dǎo)數(shù)

一、基礎(chǔ)知識
1．極限定義：（1）若數(shù)列{un}滿足，對任意給定的正數(shù)ε，總存在正數(shù)m，當(dāng)n>m且n∈N時，恒有un-A<ε成立（A為常數(shù)），則稱A為數(shù)列un當(dāng)n趨向于無窮大時的極限，記為 ，另外 =A表示x大于x0且趨向于x0時f(x)極限為A，稱右極限。類似地 表示x小于x0且趨向于x0時f(x)的左極限。
2．極限的四則運算：如果 f(x)=a, g(x)=b，那么 [f(x)±g(x)]=a±b, [f(x)•g(x)]=ab,
3.連續(xù)：如果函數(shù)f(x)在x=x0處有定義，且 f(x)存在，并且 f(x)=f(x0)，則稱f(x)在x=x0處連續(xù)。
4．最大值最小值定理：如果f(x)是閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，那么f(x)在[a,b]上有最大值和最小值。
5．導(dǎo)數(shù)：若函數(shù)f(x)在x0附近有定義，當(dāng)自變量x在x0處取得一個增量Δx時（Δx充分小），因變量y也隨之取得增量Δy(Δy=f(x0+Δx)-f(x0)).若 存在，則稱f(x)在x0處可導(dǎo)，此極限值稱為f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)（或變化率），記作 (x0)或 或 ，即 。由定義知f(x)在點x0連續(xù)是f(x)在x0可導(dǎo)的必要條。若f(x)在區(qū)間I上有定義，且在每一點可導(dǎo)，則稱它在此敬意上可導(dǎo)。導(dǎo)數(shù)的幾何意義是：f(x)在點x0處導(dǎo)數(shù) (x0)等于曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0))處切線的斜率。
6．幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1） =0（c為常數(shù)）；（2） （a為任意常數(shù)）；（3） (4) ;(5) ;(6) ;（7） ；（8）
7．導(dǎo)數(shù)的運算法則：若u(x),v(x)在x處可導(dǎo)，且u(x)≠0,則
（1） ；（2） ；（3） （c為常數(shù)）；（4） ；（5） 。
8．復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法：設(shè)函數(shù)y=f(u),u= (x)，已知 (x)在x處可導(dǎo)，f(u)在對應(yīng)的點u(u= (x))處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=f[ (x)]在點x處可導(dǎo)，且（f[ (x)] = .
9.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的性質(zhì)：（1）若f(x)在區(qū)間I上可導(dǎo)，則f(x)在I上連續(xù)；（2）若對一切x∈(a,b)有 ，則f(x)在(a,b)單調(diào)遞增；（3）若對一切x∈(a,b)有 ，則f(x)在(a,b)單調(diào)遞減。
10．極值的必要條：若函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo)，且在x0處取得極值，則
11.極值的第一充分條：設(shè)f(x)在x0處連續(xù)，在x0鄰域(x0-δ,x0+δ)內(nèi)可導(dǎo)，（1）若當(dāng)x∈(x-δ,x0)時 ，當(dāng)x∈(x0,x0+δ)時 ，則f(x)在x0處取得極小值；（2）若當(dāng)x∈(x0-δ，x0)時 ，當(dāng)x∈(x0,x0+δ)時 ，則f(x)在x0處取得極大值。
12．極值的第二充分條：設(shè)f(x)在x0的某領(lǐng)域(x0-δ,x0+δ)內(nèi)一階可導(dǎo)，在x=x0處二階可導(dǎo)，且 。（1）若 ，則f(x)在x0處取得極小值；（2）若 ，則f(x)在x0處取得極大值。
13．羅爾中值定理：若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)上可導(dǎo)，且f(a)=f(b)，則存在ξ∈(a,b)，使
[證明] 若當(dāng)x∈(a,b)，f(x)≡f(a)，則對任意x∈(a,b)， .若當(dāng)x∈(a,b)時，f(x)≠f(a)，因為f(x)在[a,b]上連續(xù)，所以f(x)在[a,b]上有最大值和最小值，必有一個不等于f(a)，不妨設(shè)最大值m>f(a)且f(c)=m，則c∈(a,b)，且f(c)為最大值，故 ，綜上得證。
14．Lagrange中值定理：若f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)上可導(dǎo)，則存在ξ∈(a,b)，使
[證明] 令F(x)=f(x)- ,則F(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)上可導(dǎo)，且F(a)=F(b)，所以由13知存在ξ∈(a,b)使 =0，即
15．曲線凸性的充分條：設(shè)函數(shù)f(x)在開區(qū)間I內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，（1）如果對任意x∈I, ,則曲線y=f(x)在I內(nèi)是下凸的；（2）如果對任意x∈I, ,則y=f(x)在I內(nèi)是上凸的。通常稱上凸函數(shù)為凸函數(shù)，下凸函數(shù)為凹函數(shù)。
16．琴生不等式：設(shè)α1,α2,…,αn∈R+，α1+α2+…+αn=1。（1）若f(x)是[a,b]上的凸函數(shù)，則x1,x2,…,xn∈[a,b]有f(a1x1+a2x2+…+anxn)≤a1f(x1)+a2f(x2)+…+anf(xn).
二、方法與例題
1．極限的求法。
例1 求下列極限：（1） ；（2） ；（3） ；（4）
[解]（1） = ；
（2）當(dāng)a>1時，
當(dāng)0<a<1時，
當(dāng)a=1時，
（3）因為
而
所以
（4）
例2 求下列極限：（1） (1+x)(1+x2)(1+ )…(1+ )(x<1)；
（2） ；（3） 。
[解] （1） (1+x)(1+x2)(1+ )…(1+ )
=
（2）
=
（3）
=

2．連續(xù)性的討論。
例3 設(shè)f(x)在(-∞,+∞)內(nèi)有定義，且恒滿足f(x+1)=2f(x)，又當(dāng)x∈[0,1)時，f(x)=x(1-x)2，試討論f(x)在x=2處的連續(xù)性。
[解] 當(dāng)x∈[0,1)時，有f(x)=x(1-x)2，在f(x+1)=2f(x)中令x+1=t，則x=t-1，當(dāng)x∈[1,2)時，利用f(x+1)=2f(x)有f(t)=2f(t-1)，因為t-1∈[0,1),再由f(x)=x(1-x)2得f(t-1)=(t-1)(2-t)2,從而t∈[1,2)時,有f(t)=2(t-1)•(2-t)2；同理，當(dāng)x∈[1,2)時，令x+1=t，則當(dāng)t∈[2,3)時，有f(t)=2f(t-1)=4(t-2)(3-t)2.從而f(x)= 所以
，所以 f(x)= f(x)=f(2)=0，所以f(x)在x=2處連續(xù)。
3．利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程。
[解] 因為點(2,0)不在曲線上，設(shè)切點坐標(biāo)為(x0,y0)，則 ，切線的斜率為 ，所以切線方程為y-y0= ，即 。又因為此切線過點（2,0），所以 ，所以x0=1，所以所求的切線方程為y=-(x-2)，即x+y-2=0.
4．導(dǎo)數(shù)的計算。
例5 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）y=sin(3x+1)；（2） ；（3）y=ecos2x；（4） ；（5）y=(1-2x)x(x>0且 )。
[解] （1） 3cos(3x+1).
(2)

（3）
（4）

（5）

5．用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性。
例6 設(shè)a>0，求函數(shù)f(x)= -ln(x+a)(x∈(0,+∞))的單調(diào)區(qū)間。
[解] ，因為x>0,a>0，所以 x2+(2a-4)x+a2>0； x2+(2a-4)x+a+<0.
（1）當(dāng)a>1時，對所有x>0，有x2+(2a-4)x+a2>0，即 (x)>0,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；（2）當(dāng)a=1時，對x≠1,有x2+(2a-4)x+a2>0，即 ，所以f(x)在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增，在（1，+∞）內(nèi)遞增，又f(x)在x=1處連續(xù)，因此f(x)在(0,+∞)內(nèi)遞增；（3）當(dāng)0<a<1時，令 ，即x2+(2a-4)x+a2>0，解得x<2-a- 或x>2-a+ ，因此，f(x)在(0,2-a- )內(nèi)單調(diào)遞增，在(2-a+ ,+∞)內(nèi)也單調(diào)遞增，而當(dāng)2-a- <x<2-a+ 時，x2+(2a-4)x+a2<0，即 ，所以f(x)在(2-a- ,2-a+ )內(nèi)單調(diào)遞減。
6．利用導(dǎo)數(shù)證明不等式。
例7 設(shè) ，求證：sinx+tanx>2x.
[證明] 設(shè)f(x)=sinx+tanx-2x，則 =cosx+sec2x-2，當(dāng) 時， （因為0<cosx<1），所以 =cosx+sec2x-2=cosx+ .又f(x)在 上連續(xù)，所以f(x)在 上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x∈ 時，f(x)>f(0)=0，即sinx+tanx>2x.
7.利用導(dǎo)數(shù)討論極值。
例8 設(shè)f(x)=alnx+bx2+x在x1=1和x2=2處都取得極值，試求a與b的值，并指出這時f(x)在x1與x2處是取得極大值還是極小值。
[解] 因為f(x)在(0,+∞)上連續(xù)，可導(dǎo)，又f(x)在x1=1，x2=2處取得極值，所以 ，又 +2bx+1，所以 解得
所以 .
所以當(dāng)x∈(0,1)時， ，所以f(x)在(0,1]上遞減；
當(dāng)x∈(1,2)時， ，所以f(x)在[1，2]上遞增；
當(dāng)x∈(2,+∞)時， ，所以f(x)在[2，+∞）上遞減。
綜上可知f(x)在x1=1處取得極小值，在x2=2處取得極大值。
例9 設(shè)x∈[0,π],y∈[0,1]，試求函數(shù)f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x的最小值。
[解] 首先，當(dāng)x∈[0,π],y∈[0,1]時，
f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x=(1-y)2x =(1-y)2x ，令g(x)= ,

當(dāng) 時，因為cosx>0,tanx>x，所以 ；
當(dāng) 時，因為cosx<0,tanx<0,x-tanx>0，所以 ；
又因為g(x)在(0,π)上連續(xù)，所以g(x)在(0,π)上單調(diào)遞減。
又因為0<(1-y)x<x<π，所以g[(1-y)x]>g(x)，即 ，
又因為 ，所以當(dāng)x∈(0,π),y∈(0,1)時，f(x,y)>0.
其次，當(dāng)x=0時，f(x,y)=0；當(dāng)x=π時，f(x,y)=(1-y)sin(1-y)π≥0.
當(dāng)y=1時，f(x,y)=-sinx+sinx=0；當(dāng)y=1時，f(x,y)=sinx≥0.
綜上，當(dāng)且僅當(dāng)x=0或y=0或x=π且y=1時，f(x,y)取最小值0。
三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題
1． =_________.
2．已知 ，則a-b=_________.
3． _________.
4． _________.
5．計算 _________.
6．若f(x)是定義在(-∞,+∞)上的偶函數(shù)，且 存在，則 _________.
7．函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上可導(dǎo)，且 ，則 _________.
8．若曲線f(x)=x4-x在點P處的切線平行于直線3x-y=0，則點P坐標(biāo)為_________.
9．函數(shù)f(x)=x-2sinx的單調(diào)遞增區(qū)間是_________.
10．函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)為_________.
11．若曲線 在點 處的切線的斜率為 ，求實數(shù)a.
12.求sin290的近似值。
13．設(shè)0<b<a< ,求證：
四、高考水平練習(xí)題
1．計算 =_________.
2．計算 _________.
3．函數(shù)f(x)=2x3-6x2+7的單調(diào)遞增區(qū)間是_________.。
4．函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)是_________.
5．函數(shù)f(x)在x0鄰域內(nèi)可導(dǎo)，a,b為實常數(shù)，若 ，則 _________.
6．函數(shù)f(x)= ex(sinx+cosx),x 的值域為_________.
7．過拋物線x2=2py上一點(x0,y0)的切線方程為_________.
8．當(dāng)x>0時，比較大�。簂n(x+1) _________x.
9.函數(shù)f(x)=x5-5x4+5x3+1,x∈[-1,2]的最大值為_________，最小值為_________.
10．曲線y=e-x(x≥0)在點(t,e-t)處的切線l與x軸、y軸所圍成的三角形面積為S(t)，則S(t)的最大值為_________.
11．若x>0，求證：(x2-1)lnx≥(x-1)2.
12．函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)可導(dǎo)。導(dǎo)函數(shù) 是減函數(shù)，且 >0，x0∈(0,+∞).y=kx+m是曲線y=f(x)在點(x0,f(x0))處的切線方程，另設(shè)g(x)=kx+m，（1）用x0,f(x0), 表示m；（2）證明：當(dāng)x∈(0,+∞)時，g(x)≥f(x)；（3）若關(guān)于x的不等式x2+1≥ax+b≥ 在(0,+∞)上恒成立，其中a,b為實數(shù)，求b的取值范圍及a,b所滿足的關(guān)系。
13.設(shè)各項為正的無窮數(shù)列{xn}滿足lnxn+ ,證明：xn≤1(n∈N+).
五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題
1．設(shè)n={（十進制）n位純小數(shù)0• 只取0或1（i=1,2,…,n-1），an=1}，Tn是n中元素的個數(shù)，Sn是n中所有元素的和，則 _________.
2．若(1-2x)9展開式的第3項為288，則 _________.
3．設(shè)f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x<0時，
，且g(-3)=0，則不等式f(x)g(x)<0的解集為_________.
4．曲線 與 的交點處的切線夾角是_________.
5．已知a∈R+，函數(shù)f(x)=x2eax的單調(diào)遞增區(qū)間為_________.
6．已知 在(a,3-a2)上有最大值，則a的取值范圍是_________.
7．當(dāng)x∈(1,2]時，f(x)= 恒成立，則y=lg(a2-a+3)的最小值為_________.
8．已知f(x)=ln(ex+a)(a>0)，若對任意x∈[ln(3a),ln(4a)]，不等式m-f-1(x)+ln[ ]<0恒成立，則實數(shù)m取值范圍是_________.
9.已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,（1）求函數(shù)f(x)的最大值；（2）設(shè)0<a<b，證明：0<g(a)+g(b)- <(b-a)ln2.
10.(1)設(shè)函數(shù)f(x)=xlog2x+(1-x)log2(1-x) (0<x<1)，求f(x)的最小值；（2）設(shè)正數(shù)p1,p2,…, 滿足p1+p2+p3+…+ =1，求證：p1log2p1+p2 log2p2+…+ log2 ≥-n.
11.若函數(shù)gA(x)的定義域A=[a,b)，且gA(x)= ,其中a,b為任意的正實數(shù)，且a<b，（1）求gA(x)的最小值；
（2）討論gA(x)的單調(diào)性；
（3）若x1∈Ik=[k2,(k+1)2],x2∈Ik+1=[(k+1)2,(k+2)2]，證明：
六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題
1．證明下列不等式：（1） ；
（2） 。
2．當(dāng)0<a≤b≤c≤d時，求f(a,b,c,d)= 的最小值。
3．已知x,y∈(0,1)求證：xy+yx>1.

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