2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 11-2 復(fù)數(shù)的概念與運(yùn)算但因?yàn)闇y試 新人教B版
1.(2011•福建理，1)i是虛數(shù)單位，若集合S＝{－1,0,1}，則(　　)
A．i∈S　　　　　　　　　B．i2∈S
C．i3∈S D.2i∈S
[答案]　B
[解析]　i2＝－1∈S，故選B.
2．()(2011•天津，1)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)1－3i1－i＝(　　)
A．2－i B．2＋i
C．－1－2i D．－1＋2i
[答案]　A
[解析]　1－3i1－i＝1－3i1＋i1－i1＋i＝4－2i2＝2－i.
(理)(2011•安徽皖南八校聯(lián)考)復(fù)數(shù)z滿足z＝2－i1－i，則z－等于(　　)
A．1＋3i B．3－i
C.32－12i D.12＋32i
[答案]　C
[解析]　∵z＝2－i1－i＝2－i1＋i2＝3＋i2，
∴z－＝32－12i，故選C.
3．(2011•揭陽一中月考)設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，若復(fù)數(shù)1＋2ia＋bi＝1＋i，則(　　)
A．a(chǎn)＝32，b＝12 B．a(chǎn)＝3，b＝1
C．a(chǎn)＝12，b＝32 D．a(chǎn)＝1，b＝3
[答案]　A
[解 析]　1＋2i＝(a＋bi)(1＋i)＝a－b＋(a＋b)i，
∴a－b＝1a＋b＝2，∴a＝32b＝12，故選A.
4．()(2011•東濟(jì)南一模)設(shè)a是實(shí)數(shù)，且a1＋i＋1－i2是實(shí)數(shù)，則a等于(　　)
A.12　　 　B．－1　　 　
C．1　　　　D．2
[答案]　B
[解析]　∵a1＋i＋1－i2＝a1－i2＋1－i2
＝1＋a2－1＋a2i是實(shí)數(shù)，
又∵a∈R，∴1＋a2＝0，∴a＝－1.
(理)(2011•東濰坊一模)復(fù)數(shù)z＝2＋i1＋i(∈R)是純虛數(shù)，則＝(　　)
A．－2　　 　B．－1　　 　
C．1　　　　D．2
[答案]　A
[解析]　因?yàn)閦＝2＋i1－i2＝2＋2＋－22i是純虛數(shù)，所以2＋＝0，－2≠0.得＝－2.
5．(2010•廣東江門調(diào)研)已知復(fù)數(shù)z＝a＋i(其中a∈R，i為虛數(shù)單位)的模為z＝2，則a等于(　　)
A．1 B．±1
C.3 D．±3
[答案]　D
[解析]　∵z＝2，∴a2＋1＝4，∴a＝±3.
6．()(2011•安徽，1)設(shè)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)1＋ai2－i為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a為(　　)
A．2 B．－2
C．－ 12 D.12
[答案]　A
[解析]　1＋ai2－i＝1＋ai2＋i2－i2＋i＝2－a＋2a＋1i5＝2－a5＋2a＋15i為純虛數(shù)，∴2－a5＝02a＋15≠0，∴a＝2.
(理)(2011•溫州八校期末)若i為虛數(shù)單位，已知a＋bi＝2＋i1－i(a，b∈R)，則點(diǎn)(a，b)與圓x2＋y2＝2的關(guān)系為(　　)
A．在圓外 B．在圓上
C．在圓內(nèi) D．不能確定
[答案]　A
[解析]　∵a＋bi＝2＋i1－i＝2＋i1＋i2
＝12＋32i(a，b∈R)，
∴a＝12b＝32，
∵122＋322＝52>2，
∴點(diǎn)P12，32在圓x2＋y2＝2外，故選A.
7．規(guī)定運(yùn)算a　bc　d＝ad－bc，若　z　i－i　2＝1－2i，設(shè)i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z＝________.
[答案]　1－i
[解析]　由已知可得　z　i－i　2＝2z＋i2＝2z－1＝1－2i，∴z＝1－i.
8．(2011•無為中學(xué) 月考)已知復(fù)數(shù)z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它們所對應(yīng)的點(diǎn)分別為A、B、C.若OC→＝xOA→＋yOB→，則x＋y的值是________．
[答案]　5
[解析]　∵OC→＝xOA→＋yOB→，∴(3－2i)＝x(－1＋2i)＋y(1－i)，
∴－x＋y＝32x－y＝－2，解得x＝1y＝4，故x＋y＝5.
9．(2010•上海大同中學(xué)模考)設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z＝(12＋5i)(cosθ＋isinθ)，若z∈R，則tanθ的值為________．
[答案]　－512
[解析]　z＝(12cosθ－5sinθ)＋(12sinθ＋5cosθ)i∈R，
∴12sinθ＋5cosθ＝0，∴tanθ＝－512.
10．(2010•江蘇通州市調(diào)研)已知復(fù)數(shù)z＝a2－7a＋6a＋1＋(a2－5a－6)i(a∈R)．試求實(shí)數(shù)a分別為什么值時，z分別為：
(1)實(shí)數(shù)；　(2)虛數(shù)；　(3)純虛數(shù)．
[解析]　(1)當(dāng)z為實(shí)數(shù)時，a2－5a－6＝0a＋1≠0，∴a＝6，
∴當(dāng)a＝6時，z為實(shí)數(shù)．
(2)當(dāng)z為虛數(shù)時，a2－5a－6≠0a＋1≠0，
∴a≠－1且a≠6，
故當(dāng)a∈R，a≠－1且a≠6時，z為虛數(shù)．
(3)當(dāng)z為純虛數(shù)時，a2－5a－6≠0a2－7a＋6＝0a＋1≠0
∴a＝1，故a＝1時，z為純虛數(shù).

11.()(2011•東北四市統(tǒng)考)已知復(fù)數(shù)z1＝cos23°＋isin23°和復(fù)數(shù)z2＝cos37°＋is in37°，則z1•z2為 (　　)
A.12＋32i B.32＋12i
C.12－32i D.32－12i
[答案]　A
[解析]　z1•z2＝cos23°cos37°－sin23°sin37°＋(sin37°cos23°＋cos37°sin23°)i＝cos60°＋i•sin60°＝12＋32i，故選A.
(理)若z＝cosθ＋isinθ(i為虛數(shù)單位)，則使z2＝－1的θ值可能是(　　)
A.π6 B.π4
C.π3 D.π2
[答案]　D
[解析]　∵z2＝cos2θ＋isin2θ＝－1，∴cos2θ＝－1sin2θ＝0.
∴2θ＝2kπ＋π　(k∈Z)，
∴θ＝kπ＋π2.令k＝0知，D正確．
12．如果復(fù)數(shù)(2＋i)(1＋i)是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)等于(　　)
A．1 B．－1
C.2 D．－2
[答案]　B
[解析]　∵(2＋i)(1＋i)＝(2－)＋(3＋1)i是實(shí)數(shù)，∈R，
∴由a＋bi(a、b∈R)是實(shí)數(shù)的充要條件是b＝0，
得3＋1＝0，即＝－1.
13．(2011•南通調(diào)研)若復(fù)數(shù)z滿足z＋i＝3＋ii，則z＝________.
[答案]　17
[解析]　∵z＝3＋ii－i＝－3i＋1－i＝1－4i，
∴z＝17.
14．在復(fù)平面內(nèi)，z＝cos10＋isin10的對應(yīng)點(diǎn)在第________象限．
[答案]　三
[解析]　∵3π<10<7π2，∴cos10<0，sin10<0，
∴z的對應(yīng)點(diǎn)在第三象限 ．
15．()設(shè)復(fù)數(shù)z＝lg(2－2－2)＋(2＋3＋2)i，當(dāng)實(shí)數(shù)取何值時．
(1)z是純虛數(shù)．
(2) z是實(shí)數(shù)．
(3)z對應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的第二象限．
[解析]　(1)由題意知lg2－2－2＝0，2＋3＋2≠0.
解得＝3.
所以當(dāng) ＝3時，z是純虛數(shù)．
(2)由2＋3＋2＝0，得＝－1或＝－2，
又＝－1或＝－2時，2－2－2>0，
所以當(dāng)＝－1或＝－2時，z是實(shí)數(shù)．
(3)由lg2－2－2<0，2＋3＋2>0.
解得：－1<<1－3或1＋3<<3.
(理)設(shè)z是虛數(shù)，ω＝z＋1z是實(shí)數(shù)，且－1<ω<2.
(1)求z的實(shí)部的取值 范圍；
(2)設(shè)u＝1－z1＋z，那么u是不是純虛數(shù)？并說明理由．
[解析]　(1)設(shè)z＝a＋bi(a、b∈R，b≠0)，
ω＝a＋bi＋1a＋bi＝a＋aa2＋b2＋b－ba2＋b2i，
∵ω是實(shí)數(shù)，∴b－ba2＋b2＝0.
又b≠0，∴a2＋b2＝1，ω＝2a.
∵－1<ω<2，∴－12<a<1，
即z的實(shí)部的取值范圍是－12，1.
(2)u＝1－z1＋z＝1－a－bi1＋a＋bi＝1－a2－b2－2bi1＋a2＋b2＝－ba＋1i，
∵－12<a<1，b≠0，∴u是純虛數(shù)．
16．將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子(六個面的點(diǎn)數(shù)分 別為1,2,3,4,5,6)先后拋擲兩次，記第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為a，第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為b.
(1)設(shè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(i為虛數(shù)單位)，求事件“z－3i為實(shí)數(shù)”的概率；
(2)求點(diǎn)P(a，b)落在不等式組a－b＋2≥00≤a≤4b≥0表示的平面區(qū)域內(nèi)(含邊界)的概率．
[解析]　(1)z＝a＋bi(i為虛數(shù)單位)，z－3i為實(shí)數(shù)，則a＋bi－3i＝a＋(b－3)i為實(shí)數(shù)，則b＝3.
依題意得b的可能取值為1,2,3,4,5,6，故b＝3的概率為16.
即事件“z－3i為實(shí)數(shù)”的概率為16.
(2)連續(xù)拋擲兩次骰子所得結(jié)果如下表：
123456
1(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)
2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)
3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)
4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)
5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)
6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4) (6,5)(6,6)
由上表知，連續(xù)拋擲兩次骰子共有36種不同的結(jié)果．
不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示(含邊界)．

由圖知，點(diǎn)P(a，b)落在四邊形ABCD內(nèi)的結(jié)果 有：(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(3,5)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)、(4,5)、(4,6)，共18種．
所以點(diǎn)P(a，b)落在四邊形ABCD內(nèi)(含邊界)的概率為P＝1836＝12.

1．(2011•羅一中月考)已知復(fù)數(shù)z1＝cosα＋is inα，z2＝sinβ＋icosβ，(α，β∈R)，復(fù)數(shù)z＝z1•z－2的對應(yīng)點(diǎn)在第二象限，則角α＋β所在象限為(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案]　C
[解析]　∵z＝(cosα＋isinα)•(sinβ－icosβ)＝sin(α＋β)－icos(α＋β)的對應(yīng)點(diǎn)在第二象限，
∴sinα＋β<0－cosα＋β>0，∴角α＋β的終邊在第三象限．
2．(2010•安徽合肥市質(zhì)檢)已知復(fù)數(shù)a＝3＋2i，b＝4＋xi(其中i為虛數(shù)單位，x∈R)，若復(fù)數(shù)ab∈R，則實(shí)數(shù)x的值為(　　)
A．－6 B．6
C.83 D．－83
[答案]　C
[解析]　ab＝3＋2i4＋xi＝3＋2i4－xi16＋x2＝12＋2x16＋x2＋8－3x16＋x2•i∈R，∴8－3x16＋x2＝0，∴x＝83.
3．(2010•泰安市質(zhì)檢)若 復(fù)數(shù)2＋ai1－i(a∈R)是純虛數(shù)(i是虛數(shù)單位)，則a的值為(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
[答案]　D
[解析]　2＋ai1－i＝2＋ai1＋i1－i1＋i＝a＋2i＋2－a2為純虛數(shù)，∴2－a＝0a＋2≠0，∴a＝2.
4．若i是虛數(shù)單位，則滿足(p＋qi)2＝q＋pi的實(shí)數(shù)p、q一共有(　　)
A．1對 B．2對
C．3對 D．4對
[答案]　D
[解析]　由(p＋qi)2＝q＋pi得(p2－q2)＋2pqi＝q＋pi，所以p2－q2＝q，2pq＝p.解得p＝0q＝0，或p＝0q＝－1，
或p＝32q＝12，或p＝－32q＝12，因此滿足條件的實(shí)數(shù)p、q一共有4對．
5．設(shè)A、B為銳角三角形的兩個內(nèi)角，則復(fù)數(shù)z＝(cotB－tanA)＋i(tanB－cotA)對應(yīng)點(diǎn)位于復(fù)平面的第________象限.
[答案]　二
[解析]　由于0<A<π2，0<B<π2且A＋B>π2
∴π2>A>π2－B>0
∴tanA>cotB，cotA<tanB
故復(fù)數(shù)z對應(yīng)點(diǎn)在第二象限．
6．關(guān)于x的不等式x2－nx＋p>0(，n，p∈R)的解集為區(qū)間(－53，2)，則復(fù)數(shù)＋ni所對應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面內(nèi)的第________象限．
[答案]　三
[解析]　∵x2－nx＋p>0(、n、p∈R)的解集為(－53，2)，
∴<0－53＋2＝n>0－53×2＝p<0，∵<0，∴p>0，n<0.
故復(fù)數(shù)＋ni所對應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面內(nèi)的第三象限．
7．(2011•上海，19)已知復(fù)數(shù)z1滿足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i為虛數(shù)單位)，復(fù)數(shù)z2的虛部為2，且z1•z2是實(shí)數(shù)，求z2.
[解析]　設(shè)z1＝(a＋2)＋bi，a，b∈R，
∵(z1－2)(1＋i )＝1－i，∴a－b＋(b＋a)i＝1－i.
∴a－b＝1a＋b＝－1∴a＝0b＝－1，∴z1＝2－i.
又設(shè)z2＝c＋2i，c∈R，則z1z2＝(2－i)(c＋2i)＝(2c＋2)＋(4－c)i
∵z1z2∈R，∴4－c＝0，c＝4，∴z2＝4＋2i.

本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/gaosan/49309.html

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