第十 直線與圓的方程

一、基礎(chǔ)知識(shí)
1．解析幾何的研究對(duì)象是曲線與方程。解析法的實(shí)質(zhì)是用代數(shù)的方法研究幾何.首先是通過映射建立曲線與方程的關(guān)系，即如果一條曲線上的點(diǎn)構(gòu)成的集合與一個(gè)方程的解集之間存在一一映射，則方程叫做這條曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線。如x2+y2=1是以原點(diǎn)為圓心的單位圓的方程。
2．求曲線方程的一般步驟：(1)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系；(2)寫出滿足條的點(diǎn)的集合；(3)用坐標(biāo)表示條，列出方程；(4)化簡方程并確定未知數(shù)的取值范圍；（5）證明適合方程的解的對(duì)應(yīng)點(diǎn)都在曲線上，且曲線上對(duì)應(yīng)點(diǎn)都滿足方程（實(shí)際應(yīng)用常省略這一步）。
3．直線的傾斜角和斜率：直線向上的方向與x軸正方向所成的小于1800的正角，叫做它的傾斜角。規(guī)定平行于x軸的直線的傾斜角為00，傾斜角的正切值（如果存在的話）叫做該直線的斜率。根據(jù)直線上一點(diǎn)及斜率可求直線方程。
4．直線方程的幾種形式：（1）一般式：Ax+By+C=0；（2）點(diǎn)斜式：y-y0=k(x-x0)；（3）斜截式：y=kx+b；（4）截距式： ；（5）兩點(diǎn)式： ；（6）法線式方程：xcosθ+ysinθ=p（其中θ為法線傾斜角，p為原點(diǎn)到直線的距離）；（7）參數(shù)式： （其中θ為該直線傾斜角），t的幾何意義是定點(diǎn)P0（x0, y0）到動(dòng)點(diǎn)P（x, y）的有向線段的數(shù)量（線段的長度前添加正負(fù)號(hào)，若P0P方向向上則取正，否則取負(fù)）。
5．到角與夾角：若直線l1, l2的斜率分別為k1, k2，將l1繞它們的交點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到與l2重合所轉(zhuǎn)過的最小正角叫l(wèi)1到l2的角；l1與l2所成的角中不超過900的正角叫兩者的夾角。若記到角為θ，夾角為α，則tanθ= ,tanα= .
6．平行與垂直：若直線l1與l2的斜率分別為k1, k2。且兩者不重合，則l1//l2的充要條是k1=k2；l1 l2的充要條是k1k2=-1。
7．兩點(diǎn)P1(x1, y1)與P2(x2, y2)間的距離公式：P1P2= 。
8．點(diǎn)P(x0, y0)到直線l: Ax+By+C=0的距離公式： 。
9．直線系的方程：若已知兩直線的方程是l1：A1x+B1y+C1=0與l2：A2x+B2y+C2=0，則過l1, l2交點(diǎn)的直線方程為A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2=0；由l1與l2組成的二次曲線方程為（A1x+B1y+C1）（A2x+B2y+C2）=0；與l2平行的直線方程為A1x+B1y+C=0( ).
10．二元一次不等式表示的平面區(qū)域，若直線l方程為Ax+By+C=0. 若B>0，則Ax+By+C>0表示的區(qū)域?yàn)閘上方的部分，Ax+By+C<0表示的區(qū)域?yàn)閘下方的部分。
11．解決簡單的線性規(guī)劃問題的一般步驟：（1）確定各變量，并以x和y表示；（2）寫出線性約束條和線性目標(biāo)函數(shù)；（3）畫出滿足約束條的可行域；（4）求出最優(yōu)解。
12．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：圓心是點(diǎn)(a, b)，半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2，其參數(shù)方程為 （θ為參數(shù)）。
13．圓的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)。其圓心為 ，半徑為 。若點(diǎn)P(x0, y0)為圓上一點(diǎn)，則過點(diǎn)P的切線方程為
①
14．根軸：到兩圓的切線長相等的點(diǎn)的軌跡為一條直線（或它的一部分），這條直線叫兩圓的根軸。給定如下三個(gè)不同的圓：x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0, i=1, 2, 3. 則它們兩兩的根軸方程分別為(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0; (D2-D3)x+(E2-E3)y+(F2-F3)=0; (D3-D1)x+(E3-E1)y+(F3-F1)=0。不難證明這三條直線交于一點(diǎn)或者互相平行，這就是著名的蒙日定理。
二、方法與例題
1．坐標(biāo)系的選�。航�立坐標(biāo)系應(yīng)講究簡單、對(duì)稱，以便使方程容易化簡。
例1 在ΔABC中，AB=AC，∠A=900，過A引中線BD的垂線與BC交于點(diǎn)E，求證：∠ADB=∠CDE。
[證明] 見圖10-1，以A為原點(diǎn)，AC所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系。設(shè)點(diǎn)B，C坐標(biāo)分別為（0,2a）,(2a,0)，則點(diǎn)D坐標(biāo)為（a, 0）。直線BD方程為 ， ①直線BC方程為x+y=2a， ②設(shè)直線BD和AE的斜率分別為k1, k2，則k1=-2。因?yàn)锽D AE，所以k1k2=-1.所以 ，所以直線AE方程為 ，由 解得點(diǎn)E坐標(biāo)為 。
所以直線DE斜率為 因?yàn)閗1+k3=0.
所以∠BDC+∠EDC=1800，即∠BDA=∠EDC。
例2 半徑等于某個(gè)正三角形高的圓在這個(gè)三角形的一條邊上滾動(dòng)。證明：三角形另兩條邊截圓所得的弧所對(duì)的圓心角為600。
[證明] 以A為原點(diǎn)，平行于正三角形ABC的邊BC的直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系見圖10-2，設(shè)⊙D的半徑等于BC邊上的高，并且在B能上能下滾動(dòng)到某位置時(shí)與AB，AC的交點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，設(shè)半徑為r，則直線AB，AC的方程分別為 , .設(shè)⊙D的方程為(x-m)2+y2=r2.①設(shè)點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2)，則 ，分別代入①并消去y得

所以x1, x2是方程4x2-2mx+m2-r2=0的兩根。
由韋達(dá)定理 ，所以
EF2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(x1-x2)2+3(x1-x2)2
=4(x1+x2)2-4x1x2=m2-(m2-r2)=r2.
所以EF=r。所以∠EDF=600。
2．到角公式的使用。
例3 設(shè)雙曲線xy=1的兩支為C1，C2，正ΔPQR三頂點(diǎn)在此雙曲線上，求證：P，Q，R不可能在雙曲線的同一支上。
[證明] 假設(shè)P，Q，R在同一支上，不妨設(shè)在右側(cè)一支C1上，并設(shè)P，Q，R三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 且0<x1<x2<x3. 記∠RQP=θ，它是直線QR到PQ的角，由假設(shè)知直線QR，PQ的斜率分別為 ，
由到角公式
所以θ為鈍角，與ΔPQR為等邊三角形矛盾。所以命題成立。
3．代數(shù)形式的幾何意義。
例4 求函數(shù) 的最大值。
[解] 因?yàn)?表示動(dòng)點(diǎn)P(x, x2)到兩定點(diǎn)A(3, 2), B(0, 1)的距離之差，見圖10-3，當(dāng)AB延長線與拋物線y=x2的交點(diǎn)C與點(diǎn)P重合時(shí)，f(x)取最大值A(chǔ)B=
4．最值問題。
例5 已知三條直線l1: mx-y+m=0, l2: x+my-m(m+1)=0, l3: (m+1)x-y+m+1=0圍成ΔABC，求m為何值時(shí)，ΔABC的面積有最大值、最小值。
[解]記l1, l2, l3的方程分別為①，②，③。在①，③中取x=-1, y=0，知等式成立，所以A(-1, 0)為l1與l3的交點(diǎn)；在②，③中取x=0, y=m+1，等式也成立，所以B(0, m+1)為l2與l3的交點(diǎn)。設(shè)l1, l2斜率分別為k1, k2, 若m 0，則k1•k2= , SΔABC= ，由點(diǎn)到直線距離公式AC= ，BC= 。
所以SΔABC= 。因?yàn)?m≤m2+1，所以SΔABC≤ 。又因?yàn)?m2-1≤2m，所以 ，所以SΔABC≥
當(dāng)m=1時(shí)，（SΔABC）max= ；當(dāng)m=-1時(shí)，（SΔABC）min= .
5．線性規(guī)劃。
例6 設(shè)x, y滿足不等式組
（1）求點(diǎn)(x, y)所在的平面區(qū)域；
（2）設(shè)a>-1，在（1）區(qū)域里，求函數(shù)f(x,y)=y-ax的最大值、最小值。
[解] （1）由已知得 或
解得點(diǎn)(x, y)所在的平面區(qū)域如圖10-4所示，其中各直線方程如圖所示。AB：y=2x-5；CD：y=-2x+1；AD：x+y=1；BC：x+y=4.
(2) f(x, y)是直線l: y-ax=k在y軸上的截距，直線l與陰影相交，因?yàn)閍>-1，所以它過頂點(diǎn)C時(shí)，f(x, y)最大，C點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，7），于是f(x, y)的最大值為3a+7. 如果-1<a≤2，則l通過點(diǎn)A（2，-1）時(shí)，f(x, y)最小，此時(shí)值為-2a-1；如果a>2，則l通過B（3，1）時(shí)，f(x, y)取最小值為-3a+1.
6．參數(shù)方程的應(yīng)用。
例7 如圖10-5所示，過原點(diǎn)引直線交圓x2+(y-1)2=1于Q點(diǎn)，在該直線上取P點(diǎn)，使P到直線y=2的距離等于PQ，求P點(diǎn)的軌跡方程。
[解] 設(shè)直線OP的參數(shù)方程為 （t參數(shù)）。
代入已知圓的方程得t2-t•2sinα=0.
所以t=0或t=2sinα。所以O(shè)Q=2sinα，而OP=t.
所以PQ=t-2sinα，而P=2-tsinα.
所以t-2sinα=2-tsinα. 化簡得t=2或t=-2或sinα=-1.
當(dāng)t=±2時(shí)，軌跡方程為x2+y2=4；當(dāng)sinα=1時(shí)，軌跡方程為x=0.
7．與圓有關(guān)的問題。
例8 點(diǎn)A，B，C依次在直線l上，且AB=ABC，過C作l的垂線，是這條垂線上的動(dòng)點(diǎn)，以A為圓心，AB為半徑作圓，T1與T2是這個(gè)圓的切線，確定ΔAT1T2垂心 的軌跡。
[解] 見圖10-6，以A為原點(diǎn)，直線AB為x軸建立坐標(biāo)系，H為O與圓的交點(diǎn)，N為T1T2與O的交點(diǎn)，記BC=1。
以A為圓心的圓方程為x2+y2=16，連結(jié)OT1，OT2。因?yàn)镺T2 T2，T1H T2，所以O(shè)T2//HT1，同理OT1//HT2，又OT1=OT2，所以O(shè)T1HT2是菱形。所以2ON=OH。
又因?yàn)镺 T1T2，OT1 T1，所以 ON•O。設(shè)點(diǎn)H坐標(biāo)為（x,y）。
點(diǎn)坐標(biāo)為(5, b)，則點(diǎn)N坐標(biāo)為 ，將坐標(biāo)代入 =ON•O，再由 得

在AB上取點(diǎn)，使A= AB，所求軌跡是以為圓心，A為半徑的圓。
例9 已知圓x2+y2=1和直線y=2x+m相交于A，B，且OA，OB與x軸正方向所成的角是α和β，見圖10-7，求證：sin(α+β)是定值。
[證明] 過D作OD AB于D。則直線OD的傾斜角為 ，因?yàn)镺D AB，所以2• ,
所以 。所以
例10 已知⊙O是單位圓，正方形ABCD的一邊AB是⊙O的弦，試確定OD的最大值、最小值。
[解] 以單位圓的圓心為原點(diǎn)，AB的中垂線為x軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A(cosα,sinα),B(cosα,-sinα)，由題設(shè)AD=AB=2sinα，這里不妨設(shè)A在x軸上方，則α∈(0,π).由對(duì)稱性可設(shè)點(diǎn)D在點(diǎn)A的右側(cè)（否則將整個(gè)圖形關(guān)于y軸作對(duì)稱即可），從而點(diǎn)D坐標(biāo)為(cosα+2sinα,sinα)，
所以O(shè)D=
=
因?yàn)?，所以
當(dāng) 時(shí)，ODmax= +1；當(dāng) 時(shí)，ODmin=
例11 當(dāng)m變化且m≠0時(shí)，求證：圓(x-2m-1)2+(y-m-1)2=4m2的圓心在一條定直線上，并求這一系列圓的公切線的方程。
[證明] 由 消去m得a-2b+1=0.故這些圓的圓心在直線x-2y+1=0上。設(shè)公切線方程為y=kx+b，則由相切有2m= ，對(duì)一切m≠0成立。即(-4k-3)m2+2(2k-1)(k+b-1)m+(k+b-1)2=0對(duì)一切m≠0成立
所以 即 當(dāng)k不存在時(shí)直線為x=1。所以公切線方程y= 和x=1.
三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題
1．已知兩點(diǎn)A(-3,4)和B(3,2)，過點(diǎn)P(2,-1)的直線與線段AB有公共點(diǎn)，則該直線的傾斜角的取值范圍是__________.
2．已知θ∈[0,π]，則 的取值范圍是__________.
3．三條直線2x+3y-6=0, x-y=2, 3x+y+2=0圍成一個(gè)三角形，當(dāng)點(diǎn)P(x, y)在此三角形邊上或內(nèi)部運(yùn)動(dòng)時(shí)，2x+y的取值范圍是__________.
4．若三條直線4x+y=4, mx+y=0, 2x-3my=4能圍成三角形，則m的范圍是__________.
5．若λ∈R。直線(2+λ)x-(1+λ)y-2(3+2λ)=0與點(diǎn)P(-2,2)的距離為d，比較大小：d__________ .
6．一圓經(jīng)過A(4,2), B(-1,3)兩點(diǎn)，且在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的 四個(gè)截距的和為14，則此圓的方程為__________.
7．自點(diǎn)A(-3,3)發(fā)出的光線l射到x軸上被x軸反射，其反射光線所在的直線與圓C：x2+y2-4x-4y+7=0相切，則光線l所在的方程為__________.
8．D2=4F且E≠0是圓x2+y2+Dx+Ey+F=0與x軸相切的__________條.
9．方程x-1= 表示的曲線是__________.
10．已知點(diǎn)到點(diǎn)A（1，0），B（a,2）及到y(tǒng)軸的距離都相等，若這樣的點(diǎn)恰好有一個(gè)，則a可能值的個(gè)數(shù)為__________.
11．已知函數(shù)S=x+y，變量x, y滿足條y2-2x≤0和2x+y≤2，試求S的最大值和最小值。
12．A，B是x軸正半軸上兩點(diǎn)，OA=a，OB=b(a<b)，是y軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)。
（1）求∠AB的最大值；
（2）當(dāng)∠AB取最大值時(shí)，求O長；
（3）當(dāng)∠AB取最大值時(shí)，求過A，B，三點(diǎn)的圓的半徑。
四、高考水平訓(xùn)練題
1．已知ΔABC的頂點(diǎn)A(3,4)，重心G(1,1)，頂點(diǎn)B在第二象限，垂心在原點(diǎn)O，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為__________.
2．把直線 繞點(diǎn)（-1，2）旋轉(zhuǎn)300得到的直線方程為__________.
3．是直線l: 上一動(dòng)點(diǎn)，過作x軸、y軸的垂線，垂足分別為A，B，則在線段AB上滿足 的點(diǎn)P的軌跡方程為__________.
4．以相交兩圓C1：x2+y2+4x+y+1=0及C2：x2+y2+2x+2y+1=0的公共弦為直徑的圓的方程為__________.
5．已知={(x,y)y= ,a>0},N={(x,y)(x-1)2+(y- )2=a2,a>0}. N ，a的最大值與最小值的和是__________.
6．圓x2+y2+x-6y+m=0與直線x+2y-3=0交于P，Q兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，OP OQ，則m=__________.
7．已知對(duì)于圓x2+(y-1)2=1上任意一點(diǎn)P(x,y)，使x+y+m≥0恒成立，m范圍是__________.
8．當(dāng)a為不等于1的任何實(shí)數(shù)時(shí)，圓x2-2ax+y2+2(a-2)y+2=0均與直線l相切，則直線l的方程為__________.
9．在ΔABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c，若lgsinA,lgsinB, lgsinC成等差數(shù)列，那么直線xsin2A+ysinA=a與直線xsin2B+ysinC=c的位置關(guān)系是__________.
10．設(shè)A={(x,y)0≤x≤2,0≤y≤2},B={(x,y)x≤10,y≥2,y≤x-4}是坐標(biāo)平面xOy上的點(diǎn)集，C= 所圍成圖形的面積是__________.
11．求圓C1：x2+y2+2x+6y+9=0與圓C2：x2+y2-6x+2y+1=0的公切線方程。
12．設(shè)集合L={直線l與直線y=2x相交，且以交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為斜率}。
（1）點(diǎn)(-2,2)到L中的哪條直線的距離最��？
（2）設(shè)a∈R+，點(diǎn)P(-2, a)到L中的直線的距離的最小值設(shè)為dmin，求dmin的表達(dá)式。
13．已知圓C：x2+y2-6x-8y=0和x軸交于原點(diǎn)O和定點(diǎn)A，點(diǎn)B是動(dòng)點(diǎn)，且∠OBA=900，OB交⊙C于，AB交⊙C于N。求N的中點(diǎn)P的軌跡。
五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題
1．在直角坐標(biāo)系中縱橫坐標(biāo)都是有理數(shù)的點(diǎn)稱為有理點(diǎn)。若a為無理數(shù)，過點(diǎn)(a,0)的所有直線中，每條直線上至少存在兩個(gè)有理點(diǎn)的直線有_______條。
2．等腰ΔABC的底邊BC在直線x+y=0上，頂點(diǎn)A(2,3)，如果它的一腰平行于直線x-4y+2=0，則另一腰AC所在的直線方程為__________.
3．若方程2mx2+(8+m2)xy+4my2+(6-m)x+(3m-4)y-3=0表示表示條互相垂直的直線，則m=__________.
4．直線x+7y-5=0分圓x2+y2=1所成的兩部分弧長之差的絕對(duì)值是__________.
5．直線y=kx-1與曲線y= 有交點(diǎn)，則k的取值范圍是__________.
6．經(jīng)過點(diǎn)A(0,5)且與直線x-2y=0, 2x+y=0都相切的圓方程為__________.
7．在直角坐標(biāo)平面上，同時(shí)滿足條：y≤3x, y≥ x, x+y≤100的整點(diǎn)個(gè)數(shù)是__________.
8．平面上的整點(diǎn)到直線 的距離中的最小值是__________.
9．y=lg(10-mx2)的定義域?yàn)镽，直線y=xsin(arctanm)+10的傾斜角為__________.
10．已知f(x)=x2-6x+5，滿足 的點(diǎn)(x,y)構(gòu)成圖形的面積為__________.
11．已知在ΔABC邊上作勻速運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)D，E，F(xiàn)，在t=0時(shí)分別從A，B，C出發(fā)，各以一定速度向B，C，A前進(jìn)，當(dāng)時(shí)刻t=1時(shí)，分別到達(dá)B，C，A。
（1）證明：運(yùn)動(dòng)過程中ΔDEF的重心不變；
（2）當(dāng)ΔDEF面積取得最小值時(shí)，其值是ΔABC面積的多少倍？
12．已知矩形ABCD，點(diǎn)C(4,4)，點(diǎn)A在圓O：x2+y2=9(x>0,y>0)上移動(dòng)，且AB，AD兩邊始終分別平行于x軸、y軸。求矩形ABCD面積的最小值，以及取得最小值時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)。
13．已知直線l: y=x+b和圓C：x2+y2+2y=0相交于不同兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)P在直線l上，且滿足PA•PB=2,當(dāng)b變化時(shí)，求點(diǎn)P的軌跡方程。
六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題
1．設(shè)點(diǎn)P(x,y)為曲線5x+y+5x-y=20上任意一點(diǎn)，求x2-xy+y2的最大值、最小值。
2．給定矩形Ⅰ（長為b，寬為a），矩形Ⅱ（長為c、寬為d），其中a<d<c<b，求證：矩形Ⅰ能夠放入矩形Ⅱ的充要條是：(ac-bd)2+(ad-bc)2≥(a2-b2)2.
3．在直角坐標(biāo)平面內(nèi)給定凸五邊形ABCDE，它的頂點(diǎn)都是整點(diǎn)，求證：見圖10-8，A1，B1，C1，D1，E1構(gòu)成的凸五邊形內(nèi)部或邊界上至少有一個(gè)整點(diǎn)。
4．在坐標(biāo)平面上，縱橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)，試證：存在一個(gè)同心圓的集合，使得：（1）每個(gè)整點(diǎn)都在此集合的某一圓周上；（2）此集合的每個(gè)圓周上，有且只有一個(gè)整點(diǎn)。
5．在坐標(biāo)平面上，是否存在一個(gè)含有無窮多條直線l1,l2,…，ln，…的直線族，它滿足條：（1）點(diǎn)（1,1）∈ln,n=1,2,3,…；（2）kn+1≥an-bn，其中kn+1是ln+1的斜率，an和bn分別是ln在x軸和y軸上的截距，n=1,2,3,…；（3）knkn+1≥0, n=1,2,3,….并證明你的結(jié)論。
6．在坐標(biāo)平面內(nèi)，一圓交x軸正半徑于R，S，過原點(diǎn)的直線l1,l2都與此圓相交，l1交圓于A，B，l2交圓于D，C，直線AC，BD分別交x軸正半軸于P，Q，求證：

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