4.6 三角函數(shù)的圖象與性質（二）
●知識梳理
1.三角函數(shù)的圖象和性質
函 數(shù)
性 質y=sinxy=cosxy=tanx
定義域
值域
圖象
奇偶性
周期性
單調(diào)性
對稱性
注：讀者自己填寫.
2.圖象與性質是一個密不可分的整體，研究性質要注意聯(lián)想圖象.
●點擊雙基
1.函數(shù)y=sin（ －2x）+sin2x的最小正周期是
A.2πB.πC. D.4π
解析：y= cos2x－ sin2x+sin2x= cos2x+ sin2x=sin（ +2x），T=π.
答案：B
2.若f（x）sinx是周期為π的奇函數(shù)，則f（x）可以是
A.sinxB.cosxC.sin2xD.cos2x
解析：檢驗.
答案：B
3.函數(shù)y=2sin（ －2x）（x∈［0，π］）為增函數(shù)的區(qū)間是
A.［0， ］B.［ ， ］
C.［ ， ］D.［ ，π］
解析：由y=2sin（ －2x）=－2sin（2x－ ）其增區(qū)間可由y=2sin（2x－ ）的減區(qū)間得到，即2kπ+ ≤2x－ ≤2kπ+ ，k∈Z.
∴kπ+ ≤x≤kπ+ ，k∈Z.
令k=0，故選C.
答案：C
4.把y=sinx的圖象向左平移 個單位，得到函數(shù)____________的圖象；再把所得圖象上的所有點的橫坐標伸長到原的2倍，而縱坐標保持不變，得到函數(shù)____________的圖象.
解析：向左平移 個單位，即以x+ 代x，得到函數(shù)y=sin（x+ ），再把所得圖象上所有點的橫坐標伸長到原的2倍，即以 x代x，得到函數(shù)：y=sin（ x+ ）.
答案：y=sin（x+ ） y=sin（ x+ ）
5.函數(shù)y=lg（cosx－sinx）的定義域是_______.
解析：由cosx－sinx＞0 cosx＞sinx.由圖象觀察，知2kπ－ ＜x＜2kπ+ （k∈Z）.
答案：2kπ－ ＜x＜2kπ+ （k∈Z）
●典例剖析
【例1】 （1）y=cosx+cos（x+ ）的最大值是_______；
（2）y=2sin（3x－ ）的圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離是_______.
剖析：（1）y=cosx+ cosx－ sinx
= cosx－ sinx= （ cosx－ sinx）
= sin（ －x）.
所以ymax= .
（2）T= ，相鄰對稱軸間的距離為 .
答案：
【例2】 （1）已知f（x）的定義域為［0，1），求f（cosx）的定義域；
（2）求函數(shù)y=lgsin（cosx）的定義域.
剖析：求函數(shù)的定義域：（1）要使0≤cosx≤1，（2）要使sin（cosx）＞0，這里的cosx以它的值充當角.
解：（1）0≤cosx＜1 2kπ－ ≤x≤2kπ+ ，且x≠2kπ（k∈Z）.
∴所求函數(shù)的定義域為{x｜x∈［2kπ－ ，2kπ+ ］且x≠2kπ，k∈Z｝.
（2）由sin（cosx）＞0 2kπ＜cosx＜2kπ+π（k∈Z）.又∵－1≤cosx≤1，∴0＜cosx≤1.故所求定義域為{x｜x∈（2kπ－ ，2kπ+ ），k∈Z｝.
評述：求三角函數(shù)的定義域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是圖象，二是三角函數(shù)線.
【例3】 求函數(shù)y=sin6x+cos6x的最小正周期，并求x為何值時，y有最大值.
剖析：將原函數(shù)化成y=Asin（ωx+ ）+B的形式，即可求解.
解：y=sin6x+cos6x=（sin2x+cos2x）（sin4x－sin2xcos2x+cos4x）=1－3sin2xcos2x=1－ sin22x= cos4x+ .
∴T= .
當cos4x=1，即x= （k∈Z）時，ymax=1.
深化拓展
函數(shù)y=tan（ax+θ）（a＞0）當x從n變化為n+1（n∈Z）時，y的值恰好由－∞變?yōu)?∞，則a=_______.
分析：你知道函數(shù)的周期T嗎?
答案：π
●闖關訓練
夯實基礎
1.若函數(shù)f（x）=sin（ωx+ ）的圖象（部分）如下圖所示，則ω和 的取值是
A.ω=1， = B.ω=1， =－
C.ω= ， = D.ω= ， =－
解析：由圖象知，T=4（ + ）=4π= ，∴ω= .
又當x= 時，y=1，∴sin（ × + ）=1，
+ =2kπ+ ，k∈Z，當k=0時， = .
答案：C
2. f（x）=2cos2x+ sin2x+a（a為實常數(shù)）在區(qū)間［0， ］上的最小值為－4，那么a的值等于
A.4B.－6C.－4D.－3
解析：f（x）=1+cos2x+ sin2x+a
=2sin（2x+ ）+a+1.
∵x∈［0， ］，∴2x+ ∈［ ， ］.
∴f（x）的最小值為2×（－ ）+a+1=－4.
∴a=－4.
答案：C
3.函數(shù)y= 的定義域是_________.
解析：－sin ≥0 sin ≤0 2kπ－π≤ ≤2kπ 6kπ－3π≤x≤6kπ（k∈Z）.
答案：6kπ－3π≤x≤6kπ（k∈Z）
4.函數(shù)y=tanx－cotx的最小正周期為____________.
解析：y= － =－2cot2x，T= .
答案：
5.求函數(shù)f（x）= 的最小正周期、最大值和最小值.
解：f（x）=
= = （1+sinxcosx）
= sin2x+ ，
所以函數(shù)f（x）的最小正周期是π，最大值是 ，最小值是 .
6.已知x∈［ ， ］，函數(shù)y=cos2x－sinx+b+1的最大值為 ，試求其最小值.
解：∵y=－2（sinx+ ）2+ +b，
又－1≤sinx≤ ，∴當sinx=－ 時，
ymax= +b= b=－1；
當sinx= 時，ymin=－ .
培養(yǎng)能力
7.求使 = sin（ － ）成立的θ的區(qū)間.
解： = sin（ － ）
= （ sin － cos ） ｜sin －cos ｜=sin －cos
sin ≥cos 2kπ+ ≤ ≤2kπ+ （k∈Z）.
因此θ∈［4kπ+ ，4kπ+ ］（k∈Z）.
8.已知方程sinx+cosx=k在0≤x≤π上有兩解，求k的取值范圍.
解：原方程sinx+cosx=k sin（x+ ）=k，在同一坐標系內(nèi)作函數(shù)y1= sin（x+ ）與y2=k的圖象.對于y= sin（x+ ），令x=0，得y=1.
∴當k∈［1， ）時，觀察知兩曲線在［0，π］上有兩交點，方程有兩解.
評述：本題是通過函數(shù)圖象交點個數(shù)判斷方程實數(shù)解的個數(shù)，應重視這種方法.
探究創(chuàng)新
9.已知函數(shù)f（x）=
（1）畫出f（x）的圖象，并寫出其單調(diào)區(qū)間、最大值、最小值；
（2）判斷f（x）是否為周期函數(shù).如果是，求出最小正周期.
解：（1）實線即為f（x）的圖象.
單調(diào)增區(qū)間為［2kπ+ ，2kπ+ ］，［2kπ+ ，2kπ+2π］（k∈Z），
單調(diào)減區(qū)間為［2kπ，2kπ+ ］，［2kπ+ ，2kπ+ ］（k∈Z），
f（x）max=1，f（x）min=－ .
（2）f（x）為周期函數(shù)，T=2π.
●思悟小結
1.三角函數(shù)是函數(shù)的一個分支，它除了符合函數(shù)的所有關系和共性外，還有它自身的屬性.
2.求三角函數(shù)式的最小正周期時，要盡可能地化為只含一個三角函數(shù)，且三角函數(shù)的次數(shù)為1的形式，否則很容易出現(xiàn)錯誤.
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點睛
1.知識精講由學生填寫，起到回顧作用.
2.例2、例4作為重點講解，例1、例3誘導即可.
拓展題例
【例1】 已知sinα＞sinβ，那么下列命題成立的是
A.若α、β是第一象限角，則cosα＞cosβ
B.若α、β是第二象限角，則tanα＞tanβ
C.若α、β是第三象限角，則cosα＞cosβ
D.若α、β是第四象限角，則tanα＞tanβ
解析：借助三角函數(shù)線易得結論.
答案：Ｄ
【例2】 函數(shù)f（x）=－sin2x+sinx+a，若1≤f（x）≤ 對一切x∈R恒成立，求a的取值范圍.
解：f（x）=－sin2x+sinx+a
=－（sinx－ ）2+a+ .
由1≤f（x）≤
1≤－（sinx－ ）2+a+ ≤
a－4≤（sinx－ ）2≤a－ .①
由－1≤sinx≤1 － ≤sinx－ ≤
（sinx－ ） = ，（sinx－ ） =0.
∴要使①式恒成立，
只需 3≤a≤4.
本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/gaosan/52186.html
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