教案30 導(dǎo)數(shù)的概念、性質(zhì)與運(yùn)算（1）
一、前檢測(cè)
1.函數(shù)y＝ax2＋1的圖象與直線y＝x相切，則a＝( B )
A． B． C． D．1

2.若 ，則 答案：

3．在曲線y=x2+1的圖象上取一點(diǎn)(1,2)及鄰近一點(diǎn)(1+△x,2+△y)，則 為（ C ）
A.△x+ +2 B.△x－ －2 C.△x+2 D.2+△x－

4．已知兩曲線 和 都經(jīng)過點(diǎn)P（1,2），且在點(diǎn)P處有公切線，試求a,b,c值。
答案：

二、知識(shí)梳理
1.平均變化率：函數(shù) 在 上的平均變化率為 ，若 ，
,則平均變化率可表示為 .
解讀：

2.導(dǎo)數(shù)的概念：設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 上有定義， 當(dāng) 無限接近于0時(shí)，比值
無限趨近于一個(gè)常數(shù) ，則稱 在點(diǎn) 處可導(dǎo)，并稱常數(shù) 為函數(shù) 在 處的 ，記作 .
解讀：

3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù) 在點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù) 的幾何意義就是曲線 在點(diǎn) 處的 .

4.常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：
基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式
原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)

=

解讀：

5.導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則
（1） = ；（2） = ；
（3） =
解讀：

6.簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：
若 ，則 ，即 .
解讀：

三、典型例題分析
例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：
(1)y=(2x2-1)(3x+1) 答案：

(2) 答案：

(3) 答案：

(4) 答案：

（5）y= 答案：
變式訓(xùn)練：設(shè) 求 . 答案：

小結(jié)與拓展：一定要熟記導(dǎo)數(shù)公式及求導(dǎo)法則，它是導(dǎo)數(shù)問題的基礎(chǔ)。

導(dǎo)數(shù)的幾何意義：
例2 已知曲線 。
（1）求曲線在點(diǎn)P（2，4）處的切線方程；（2）求曲線過點(diǎn)P（2，4）的切線方程；
（3）求曲線斜率為4的切線方程。
簡(jiǎn)答：在點(diǎn)P（2，4）處的切線與過點(diǎn)P（2，4）的切線的意義是不同的，（1）點(diǎn)P（2，4）是切點(diǎn)，在點(diǎn)P（2，4）處的切線斜率就是函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，由點(diǎn)斜式可得切線方程4x-y-4=0。（2）點(diǎn)P（2，4）可以不是切點(diǎn)，因P（2，4）在曲線上，當(dāng)然也可以是切點(diǎn)，所以（2）的答案應(yīng)包含4x-y-4=0，另外過點(diǎn)P（2，4），可能存在的切線可有如下求法：設(shè)切點(diǎn)Q ，則切線PQ的斜率 ，所以，由斜率公式得
，整理得 ，為因式分解添加項(xiàng)得 ，即 ，解得除 之外的解 ，于是，k= ，得x-y+2=0.
（3）已知切線斜率為4，即 =4，所以， 或-2，得切點(diǎn)（2，4）和（-2， ），
于是，斜率為4的切線方程為4x-y-4=0和12x-3y+20=0.

變式訓(xùn)練：曲線 的切線中，求斜率最小的切線方程. 答案：

小結(jié)與拓展：本題的各小題都是考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的，導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在該點(diǎn)處的切線的斜率.注意“在”與“過”的區(qū)別。

例3 曲線 上有兩點(diǎn)A（4，0）、B（2，4）.求：
（1）割線AB的斜率kAB及AB所在直線的方程；
（2）在曲線AB上是否存在點(diǎn)C，使過C點(diǎn)的切線與AB所在直線平行?若存在，求出C點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.
解：（1）kAB= =－2，
∴y=－2（x－4）.
∴所求割線AB所在直線方程為2x+y－8=0.
（2） =－2x+4，－2x+4=－2，得x=3，y=－32+3×4=3.
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（3，3），所求切線方程為2x+y－9=0.

變式訓(xùn)練：已知曲線y=x2－1與y=3－x3在x=x0處的切線互相垂直，求x0. 答案：
解：在x=x0處曲線y=x2－1的切線斜率為2x0，曲線y=3－x3的切線斜率為－3x02.
∵2x0•（－3x02）=－1，∴x0= .

四、歸納與總結(jié)（以學(xué)生為主，師生共同完成）
1.知識(shí)：
2.思想與方法：
3.易錯(cuò)點(diǎn)：
4.反思（不足并查漏）：

本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/gaosan/52411.html

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