7.2 兩條直線的位置關(guān)系
鞏固•夯實基礎(chǔ)
一、自主梳理
1.點和直線的位置關(guān)系
設(shè)P(x0,y0),l:Ax+By+C=0,則
(1)點P在直線l上 Ax0+By0+C=0;
(2)點P不在直線l上 Ax0+By0+C≠0，這時P到直線l的距離d= .
2.直線與直線的位置關(guān)系
(1)有斜率的兩直線l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,則l1∥l2 k1=k2;l1⊥l2 k1•k2=-1;l1與l2相交 k1≠k2.
(2)若兩直線為l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,則l1∥l2 A1B2-A2B1=0;l1⊥l2 A1A2+B1B2=0.
3.到角與夾角
(1)l1到l2的角:l1繞交點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到l2所成的角.且tanθ= (k1k2≠-1).
(2)l1與l2的夾角為θ，則θ∈［0, ］,且tanθ= (k1k2≠-1).
二、點擊雙基
1.三直線ax+2y+8=0,4x+3y=10,2x-y=10相交于一點,則a的值是（ ）
A.-2 B.-1 C.0 D.1
解析：解方程組
得交點坐標為(4,-2),
代入ax+2y+8=0,得a=-1.
答案：B
2.直線x+y-1=0到直線xsinα+ycosα-1=0( ＜α＜ ＝的角是（ ）
A.α- B. -α C.α- D. -α
解析：由tanθ=
= =tan( -α)=tan( -α),
∵ ＜α＜ ,- ＜ -α＜0,
＜ -α＜π,
∴θ= -α.
答案：D
3.若直線l:x+ay+2=0平行于直線2x-y+3=0，則直線l在兩坐標軸上截距之和是( )
A.6 B.2 C.-1 D.-2
解析：由l與2x-y+3=0平行得 =
∴a=- ，即l:x- y+2=0.
令x=0,得y=4.令y=0,得x=-2.
x+y=-2+4=2.
答案：B
4.若直線l1:ax+2y+6=0與直線l2:x+(a-1)y+(a2-1)=0平行且不重合，則a的值是___________.
解析：利用兩直線平行的條.
答案：-1
5.在過點(2,1)的所有直線中，距原點最遠的直線方程是________________________________.
解析：距原點距離最遠則原點在直線上的射影為(2,1)，∴k=- =-2.
∴y-1=-2(x-2),即2x+y-5=0.
答案：2x+y-5=0
誘思•實例點撥
【例1】 等腰三角形一腰所在直線l1的方程是x-2y-2=0，底邊所在直線l2的方程是x+y-1=0，點(-2,0)在另一腰上，求該腰所在直線l3的方程.
剖析：用到角公式求出l3的斜率，再用點斜式可求l3的方程.
解：設(shè)l1、l2、l3的斜率分別為k1、k2、k3，l1到l2的角是θ1，l2到l3的角是θ2，則k1= ,k2=-1，tanθ1= = =-3.
∵l1、l2、l3所圍成的三角形是等腰三角形，
∴θ1=θ2，tanθ1=tanθ2=-3，
即 =-3, =-3,解得k3=2.
又∵直線l3經(jīng)過點(-2,0),
∴直線l3的方程為y=2(x+2)，
即2x-y+4=0.
講評：本題根據(jù)條作出合理的假設(shè)θ1=θ2，而后利用直線到直線所成角的公式，最后利用點斜式，求出l3的方程.
鏈接•提示
用夾角公式會產(chǎn)生什么問題，怎樣去掉增解呢？
【例2】 已知兩直線l1：x+ｍ2y+6=0，l2：（ｍ-2）x+3ｍy+2ｍ=0，當ｍ為何值時，l1與l2
(1)相交；(2)平行；(3)重合?
剖析：依據(jù)兩直線位置關(guān)系判斷方法便可解決.
解：當m=0時，l1：x+6=0，l2：x=0，
∴l(xiāng)1∥l2.
當m=2時，l1：x+4y+6=0，l2：3y+2=0，
∴l(xiāng)1與l2相交.
當ｍ≠0且ｍ≠2時，由 = 得m=-1或m=3，由 = 得ｍ=3.
故(1)當ｍ≠-1，ｍ≠3且ｍ≠0時，l1與l2相交；
(2)當ｍ=-1或ｍ=0時，l1∥l2；
（3）當ｍ=3時，l1與l2重合.
講評：對這類問題，要從直線有斜率、沒有斜率兩個方面進行分類討論.
【例3】 當m為何值時，三條直線l1:4x+y=4,l2:mx+y=0,l3:2x-3my=4不能構(gòu)成三角形？
剖析：三條直線不能構(gòu)成三角形的情況：①有兩條直線平行；②三條直線相交于一點.
解：當l1∥l2時，m=4.
當l1∥l3時， = ,即m=- .
當l2∥l3時， = ,無解.
當l1,l2,l3相交于一點時，
由 得交點A( , ).
∴A點在l3上，即 -3m• =4.
解得m= 或m=-1.
綜上，當m=-1,- , ,4時三條直線不能構(gòu)成三角形.
鏈接•拓展
當m為何值時，三條直線l1:4x+y=4,l2:mx+y=0,l3:2x-3my=4構(gòu)成直角三角形？
提示：當兩條直線垂直且第三條直線與另兩條直線不平行，不共點即可.
答案：- 或0或
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