2015年山東高考數(shù)學(xué)試題
一、：本大題共12小題，每小題5分，滿分60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
�。�1）復(fù)數(shù)z滿足(z-3)(2-i)=5(i為虛數(shù)單位)，則z的共軛復(fù)數(shù)為( D )
A. 2+i B.2-i C. 5+i D.5-i 元素的個數(shù)是( C )
A. 1 B. 3 C. 5 D.9
�。�3）已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù),且當(dāng)x>0時, f(x) =x2+ ,則f(-1)= ( A )
�。ˋ）-2 （B）0 （C）1 （D）2
（4）已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直,體積為 ,底面積是邊長為 的正 三角形，若P為底面A1B1C1的中心,則PA與平面ABC所成角的大小為 ( B )
�。ˋ） （B） （C） （D）
（5）將函數(shù)y=sin（2x + ）的圖像沿x軸向左平移 個單位后，得到一個偶函數(shù)的圖像，則 的一個可能取值為 B
�。ˋ） （B） （C）0 （D）
�。�6）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，為不等式組： ，所表示的區(qū)域上一動點，則直線O斜率的最小值為 C
（A）2 （B）1 （C） （D）
�。�7）給定兩個命題p、q，若?p是q的必要而不充分條件，則p是?q的 B
（A）充分而不必條件 （B）必要而不充分條件
�。–）充要條件 （D）既不充分也不必要條件
（8）函數(shù)y=xcosx + sinx 的圖象大致為 D
�。ˋ） （B） (C) (D)
�。�9）過點（3，1）作圓（x-1）2+y2=1的兩條切線，切點分別為A，B，則直線AB的方程為 A
（A）2x+y-3=0 （B）2x-y-3=0 （C）4x-y-3=0 （D）4x+y-3=0
�。�10）用0，1，…，9十個數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為 B
�。ˋ）243 （B）252 （C）261 （D）279
（11）拋物線C1：y= x2(p＞0)的焦點與雙曲線C2： 的右焦點的連線交C1于第一象限的點.若C1在點處的切線平行于C2的一條漸近線，則p= D
（12）設(shè)正實數(shù)x,y,z滿足x2-3xy+4y2-z=0.則當(dāng) 取得最大值時， 的最大值
為 B （A）0 （B）1 （C） （D）3
二、題：本大題共4小題，每小題4分，共16分
�。�13）執(zhí)行右面的程序框圖，若輸入的 的值為0.25，則輸入的n的值為 3
(14)在區(qū)間[-3,3]上隨機取一個數(shù)x，使得 x+1 - x-2 ≥1成立的概率為
（15）已知向量 與 的夾角為 ，且 若
且 ,則實數(shù) 的值為
（16）定義“正對數(shù)”： ，現(xiàn)有四個命題：
①若 ，則
②若 ，則
③若 ，則
④若 ，則
其中的真命題有： ①③④ （寫出所有真命題的編號）
三、解答題：本大題共6小題，共74分.
（17）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a+c=6，b=2，cosB= .
（Ⅰ）求a，c的值；
（Ⅱ）求sin（A-B）的值.
解答：（1）由cosB= 與余弦定理得， ，又a+c=6，解得
（2）又a=3,b=2， 與正弦定理可得， , ，
所以sin（A-B）=sinAcosB-cosAsinB=
（18）（本小題滿分12分）
如圖所示，在三棱錐P-ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F(xiàn)分別是AQ，BQ，AP，BP的中點，AQ=2BD，PD與EQ交于點G，PC與FQ交于點H，連接GH。
（Ⅰ）求證：AB//GH；
（Ⅱ）求二面角D-GH-E的余弦值 .
解答：（1）因為C、D為中點，所以CD//AB
同理：EF//AB，所以EF//CD，EF 平面EFQ，
所以CD//平面EFQ，又CD 平面PCD,所以
CD//GH，又AB//CD，所以AB//GH.
(2)由AQ=2BD，D為AQ的中點可得，△ABQ為直角三角形，以B為坐標(biāo)原點，以BA、BC、BP為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=BP=BQ=2，可得平面GCD的一個法向量為 ，平面EFG的一個法向量為 ，可得 ,所以二面角D-GH-E的余弦值為
（19）本小題滿分12分
甲、乙兩支排球隊進行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束.除第五局甲隊獲勝的概率是 外，其余每局比賽甲隊獲勝的概率是 .假設(shè)每局比賽結(jié)果互相獨立.
（1）分別求甲隊以3：0，3：1，3：2勝利的概率
（2）若比賽結(jié)果為3：0或3：1，則勝利方得3分，對方得0分；若比賽結(jié)果為
3：2，則勝利方得2分、對方得1分，求乙隊得分x的分布列及數(shù)學(xué)期望.
解答：（1） ， ，
（2）由題意可知X的可能取值為：3,2,1,0
相應(yīng)的概率依次為： ，所以EX=
（20）（本小題滿分12分）
設(shè)等差數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1
（1） 求數(shù)列｛an｝的通項公式；
（2） 設(shè)數(shù)列｛bn｝的前n項和Tn，且Tn+ = λ（λ為常數(shù)），令cn=b2n，（n∈N•）.求數(shù)列｛cn｝的前n項和Rn.
解答：（1）由S4=4S2，a2n=2an+1，｛an｝為等差數(shù)列，可得，
所以
（2）由Tn+ = λ可得， ，Tn-1+ = λ兩式相減可得，當(dāng) 時， ，所以當(dāng) 時，cn=b2n= ，錯位相減法可得，Rn=
當(dāng) 時，cn=b2n= ，可得Rn=
�。�21）（本小題滿分13分）
設(shè)函數(shù) 是自然對數(shù)的底數(shù)， .
（1）求 的單調(diào)區(qū)間，最大值；
（2）討論關(guān)于x的方程 根的個數(shù).
解答：（1） ，令 得， ，
當(dāng)
所以當(dāng) 時，函數(shù)取得最的最大值
（2）由（1）知，f(x)先增后減，即從負(fù)無窮增大到 ，然后遞減到c，而函數(shù)lnx是（0,1）時由正無窮遞減到0，然后又逐漸增大。
故令f(1)=0得， ，
所以當(dāng) 時，方程有兩個根；
當(dāng) 時，方程有一兩個根；
當(dāng) 時，方程有無兩個根.
（22）（本小題滿分13分）
橢圓C： （a＞b＞0）的左、右焦點分別是F1、F2,離心率為 ，過F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為l.
�。á瘢┣髾E圓C的方程；
�。á颍cP是橢圓C上除長軸端點外的任一點，連接PF1、PF2,設(shè)∠F1PF2的角平分線
P交C的長軸于點（，0），求的取值范圍；
�。á螅┰冢á颍┑臈l件下，過點p作斜率為k的直線l，使得l與橢圓C有且只有一個公共點， 設(shè)直線PF1,PF2的斜率分別為k1，k2，若k≠0，試證明 為定值，并求出這個定值.
解答：（1）由已知得， ， ，解得
所以橢圓方程為：
（2）由題意可知： = , = ,設(shè) 其中 ，將向量坐標(biāo)代入并化簡得：（ ，因為 ，
所以 ，而 ，所以
（3）由題意可知，l為橢圓的在p點處的切線，由導(dǎo)數(shù)法可求得，切線方程為：
，所以 ，而 ，代入 中得：
為定值.
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