2013年普通高考數(shù)學科一輪復習精品學案
第36講 空間向量及其應用
一．標要求：
（1）空間向量及其運算
① 經(jīng)歷向量及其運算由平面向空間推廣的過程；
② 了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標表示；
③ 掌握空間向量的線性運算及其坐標表示；
④ 掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標表示，能運用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直。
（2）空間向量的應用
① 理解直線的方向向量與平面的法向量；
② 能用向量語言表述線線、線面、面面的垂直、平行關系；
③ 能用向量方法證明有關線、面位置關系的一些定理（包括三垂線定理）；
④ 能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計算問題，向量方法在研究幾何問題中的作用。
二．命題走向
本講內容主要涉及空間向量的坐標及運算、空間向量的應用。本講是立體幾何的核心內容，高考對本講的考察形式為：以客觀題形式考察空間向量的概念和運算，結合主觀題借助空間向量求夾角和距離。
預測2013年高考對本講內容的考查將側重于向量的應用，尤其是求夾角、求距離，教材上淡化了利用空間關系找角、找距離這方面的講解，加大了向量的應用，因此作為立體幾何解答題，用向量法處理角和距離將是主要方法，在復習時應加大這方面的訓練力度。
三．要點精講
1．空間向量的概念
向量：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。
相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
表示方法：用有向線段表示，并且同向且等長的有向線段表示同一向量或相等的向量。
說明：①由相等向量的概念可知，一個向量在空間平移到任何位置，仍與原的向量相等，用同向且等長的有向線段表示；②平面向量僅限于研究同一平面內的平移，而空間向量研究的是空間的平移。
2．向量運算和運算率
加法交換率：
加法結合率：
數(shù)乘分配率：
說明：①引導學生利用右圖驗證加法交換率，然后推廣到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四邊形法則在空間仍成立。
3．平行向量(共線向量)：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量。 平行于 記作 ∥ 。
注意：當我們說 、 共線時，對應的有向線段所在直線可能是同一直線，也可能是平行直線；當我們說 、 平行時，也具有同樣的意義。
共線向量定理：對空間任意兩個向量 （ ≠ ）、 ， ∥ 的充要條是存在實數(shù) 使 ＝
注：⑴上述定理包含兩個方面：①性質定理：若 ∥ （ ≠0），則有 ＝ ，其中 是唯一確定的實數(shù)。②判斷定理：若存在唯一實數(shù) ，使 ＝ （ ≠0），則有 ∥ （若用此結論判斷 、 所在直線平行，還需 （或 ）上有一點不在 （或 ）上）。
⑵對于確定的 和 ， ＝ 表示空間與 平行或共線，長度為 ，當 >0時與 同向，當 <0時與 反向的所有向量。
⑶若直線l∥ ， ，P為l上任一點，O為空間任一點，下面根據(jù)上述定理推導 的表達式。
推論：如果 l為經(jīng)過已知點A且平行于已知非零向量 的直線，那么對任一點O，點P在直線l上的充要條是存在實數(shù)t，滿足等式
①
其中向量 叫做直線l的方向向量。
在l上取 ，則①式可化為 ②
當 時，點P是線段AB的中點，則 ③
①或②叫做空間直線的向量參數(shù)表示式，③是線段AB的中點公式。
注意：⑴表示式(?)、(??)既是表示式①,②的基礎，也是常用的直線參數(shù)方程的表示形式；⑵推論的用途：解決三點共線問題。⑶結合三角形法則記憶方程。
4．向量與平面平行：如果表示向量 的有向線段所在直線與平面 平行或 在 平面內，我們就說向量 平行于平面 ，記作 ∥ 。注意：向量 ∥ 與直線a∥ 的聯(lián)系與區(qū)別。
共面向量：我們把平行于同一平面的向量叫做共面向量。
共面向量定理 如果兩個向量 、 不共線，則向量 與向量 、 共面的充要條是存在實數(shù)對x、y，使 ①
注：與共線向量定理一樣，此定理包含性質和判定兩個方面。
推論：空間一點P位于平面AB內的充要條是存在有序實數(shù)對x、y，使
④
或對空間任一定點O，有 ⑤
在平面AB內，點P對應的實數(shù)對（x, y）是唯一的。①式叫做平面AB的向量表示式。
又∵ 代入⑤，整理得
⑥
由于對于空間任意一點P，只要滿足等式④、⑤、⑥之一（它們只是形式不同的同一等式），點P就在平面AB內；對于平面AB內的任意一點P，都滿足等式④、⑤、⑥，所以等式④、⑤、⑥都是由不共線的兩個向量 、 （或不共線三點、A、B）確定的空間平面的向量參數(shù)方程，也是、A、B、P四點共面的充要條。
5．空間向量基本定理：如果三個向量 、 、 不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序實數(shù)組x, y, z, 使
說明：⑴由上述定理知，如果三個向量 、 、 不共面，那么所有空間向量所組成的集合就是 ，這個集合可看作由向量 、 、 生成的，所以我們把{ ， ， }叫做空間的一個基底， ， ， 都叫做基向量；⑵空間任意三個不共面向量都可以作為空間向量的一個基底；⑶一個基底是指一個向量組，一個基向量是指基底中的某一個向量，二者是相關聯(lián)的不同的概念；⑷由于 可視為與任意非零向量共線。與任意兩個非零向量共面，所以，三個向量不共面就隱含著它們都不是 。
推論：設O、A、B、C是不共面的四點，則對空間任一點P，都存在唯一的有序實數(shù)組 ，使
6．數(shù)量積
（1）夾角：已知兩個非零向量 、 ，在空間任取一點O，作 ， ，則角∠AOB叫做向量 與 的夾角，記作
說明：⑴規(guī)定0≤ ≤ ,因而 = ；
⑵如果 = ，則稱 與 互相垂直，記作 ⊥ ；
⑶在表示兩個向量的夾角時，要使有向線段的起點重合，注意圖（3）、（4）中的兩個向量的夾角不同，
圖（3）中∠AOB= ，
圖（4）中∠AOB= ,
從而有 = = .
（2）向量的模：表示向量的有向線段的長度叫做向量的長度或模。
（3）向量的數(shù)量積： 叫做向量 、 的數(shù)量積，記作 。
即 = ，
向量 :
（4）性質與運算率
⑴ 。 ⑴
⑵ ⊥ =0 ⑵ =
⑶ ⑶
四．典例解析
題型1：空間向量的概念及性質
例1．有以下命題：①如果向量 與任何向量不能構成空間向量的一組基底，那么 的關系是不共線；② 為空間四點，且向量 不構成空間的一個基底，那么點 一定共面；③已知向量 是空間的一個基底，則向量 ，也是空間的一個基底。其中正確的命題是（ ）
①② ①③ ②③ ①②③
解析：對于①“如果向量 與任何向量不能構成空間向量的一組基底，那么 的關系一定共線”；所以①錯誤。②③正確。
點評：該題通過給出命題的形式考察了空間向量能成為一組基的條，為此我們要掌握好空間不共面與不共線的區(qū)別與聯(lián)系。
例2．下列命題正確的是（ ）
若 與 共線， 與 共線，則 與 共線；
向量 共面就是它們所在的直線共面；
零向量沒有確定的方向；
若 ，則存在唯一的實數(shù) 使得 ；
解析：A中向量 為零向量時要注意，B中向量的共線、共面與直線的共線、共面不一樣，D中需保證 不為零向量。
答案C。
點評：零向量是一個特殊的向量，時刻想著零向量這一特殊情況對解決問題有很大用處。像零向量與任何向量共線等性質，要兼顧。
題型2：空間向量的基本運算
例3．如圖：在平行六面體 中， 為 與 的交點。若 ， ， ，則下列向量中與 相等的向量是（ ）
解析：顯然 ；
答案為A。
點評：類比平面向量表達平面位置關系過程，掌握好空間向量的用途。用向量的方法處理立體幾何問題，使復雜的線面空間關系代數(shù)化，本題考查的是基本的向量相等，與向量的加法.考查學生的空間想象能力。
例4．已知： 且 不共面.若 ∥ ,求 的值.
解： ∥ ,,且 即
又 不共面,
點評：空間向量在運算時，注意到如何實施空間向量共線定理。
題型3：空間向量的坐標
例5．（1）已知兩個非零向量 =（a1，a2，a3）， =（b1，b2，b3），它們平行的充要條是（ �。�
A. ： = ： B.a1•b1=a2•b2=a3•b3
C.a1b1+a2b2+a3b3=0 D.存在非零實數(shù)k，使 =k
（2）已知向量 =（2，4，x）， =（2，y，2），若 =6， ⊥ ，則x+y的值是（ �。�
A. －3或1 B.3或－1 C. －3 D.1
（3）下列各組向量共面的是（ �。�
A. =(1，2，3)， =(3，0，2)， =(4，2，5)
B. =(1，0，0)， =(0，1，0)， =(0，0，1)
C. =(1，1，0)， =(1，0，1)， =(0，1，1)
D. =(1，1，1)， =(1，1，0)， =(1，0，1)
解析：（1）D；點撥：由共線向量定線易知；
（2）A 點撥：由題知 或 ；
（3）A 點撥：由共面向量基本定理可得。
點評：空間向量的坐標運算除了數(shù)量積外就是考察共線、垂直時參數(shù)的取值情況。
例6．已知空間三點A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，0，4）。設 = ， = ，（1）求 和 的夾角 ；（2）若向量k + 與k －2 互相垂直，求k的值.
思維入門指導：本題考查向量夾角公式以及垂直條的應用，套用公式即可得到所要求的結果.
解：∵A(－2，0，2)，B（－1，1，2），C(－3，0，4)， = ， = ，
∴ =(1，1，0)， =（－1，0，2）.
(1)cos = = － ，
∴ 和 的夾角為－ 。
(2)∵k + =k（1，1，0）+（－1，0，2）＝（k－1，k，2），
k －2 =（k+2，k，－4），且(k + )⊥（k －2 ），
∴（k－1，k，2）•（k+2，k，－4）=(k－1)(k+2)+k2－8=2k2+k－10=0。
則k=－ 或k=2。
點撥：第（2）問在解答時也可以按運算律做。（ + ）(k －2 )=k2 2－k • －2 2=2k2+k－10=0，解得k=－ ，或k=2。
題型4：數(shù)量積
例7．設 、 、c是任意的非零平面向量,且相互不共線,則
①（ • ） －（ • ） = ② － < － ③（ • ） －（ • ） 不與 垂直
④（3 +2 ）（3 －2 ）=9 2－4 2中，是真命題的有（ ）
A.①② B.②③ C.③④ D.②④
答案：D
解析：①平面向量的數(shù)量積不滿足結合律.故①假；
②由向量的減法運算可知 、 、 － 恰為一個三角形的三條邊長，由“兩邊之差小于第三邊”，故②真；
③因為［（ • ） －（ • ） ］• =（ • ） • －（ • ） • =0，所以垂直.故③假；
④（3 +2 ）（3 －2 ）=9• • －4 • =9 2－4 2成立.故④真.
點評：本題考查平面向量的數(shù)量積及運算律。
例8．（1）已知向量 和 的夾角為120°，且 =2， =5，則（2 － ）• =_____.
（2）設空間兩個不同的單位向量 =(x1，y1，0)， =(x2，y2，0)與向量 =(1，1，1)的夾角都等于 。(1)求x1+y1和x1y1的值；(2)求< ， >的大小(其中0＜< ， >＜π 。
解析：（1）答案：13；解析：∵（2 － ）• =2 2－ • =2 2－ • •cos120°=2•4－2•5（－ ）=13。
（2）解：(1)∵ = =1，∴x +y =1，∴x =y =1.
又∵ 與 的夾角為 ，∴ • = cos = = .
又∵ • =x1+y1，∴x1+y1= 。
另外x +y =(x1+y1)2-2x1y1=1，∴2x1y1=( )2－1= .∴x1y1= 。
(2)cos< ， >= =x1x2+y1y2，由(1)知，x1+y1= ，x1y1= .∴x1，y1是方程x2－ x+ =0的解.
∴ 或 同理可得 或
∵ ≠ ，∴ 或
∴cos< ， >= • + • = + = .
∵0≤< ， >≤π，∴< ， >= 。
評述：本題考查向量數(shù)量積的運算法則。
題型5：空間向量的應用
例9．（1）已知a、b、c為正數(shù)，且a+b+c=1，求證： + + ≤4 。
（2）已知F1=i+2j+3k，F(xiàn)2=-2i+3j-k，F(xiàn)3=3i-4j+5k，若F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3共同作用于同一物體上，使物體從點1（1，-2，1）移到點2(3，1，2)，求物體合力做的功。
解析：（1）設 =( ， ， )， =(1，1，1)，
則 =4， = .
∵ • ≤ • ，
∴ • = + + ≤ • =4 .
當 = = 時，即a=b=c= 時，取“=”號。
（2）解：W=F•s=(F1+F2+F3)• =14。
點評：若 =(x，y，z)， =(a，b，c)，則由 • ≤ • ，得(ax+by+cz)2≤(a2+b2+c2)(x2+y2+z2).此式又稱為柯西不等式(n=3)。本題考查 • ≥ • 的應用，解題時要先根據(jù)題設條構造向量 ， ，然后結合數(shù)量積性質進行運算�？臻g向量的數(shù)量積對應做功問題。
例10．如圖,直三棱柱 中, 求證:
證明：
同理
又
設 為 中點,則
又
點評：從上述例子可以看出,利用空間向量解決位置關系問題，要用到空間多邊形法則，向量的運算，數(shù)量積以及平行,相等和垂直的條。
五．思維
本講內容主要有空間直角坐標系，空間向量的坐標表示，空間向量的坐標運算，平行向量，垂直向量坐標之間的關系以及中點公式.空間直角坐標系是選取空間任意一點O和一個單位正交基底｛i，j，k｝建立坐標系，對于O點的選取要既有作圖的直觀性，而且使各點的坐標，直線的坐標表示簡化，要充分利用空間圖形中已有的直線的關系和性質；空間向量的坐標運算同平面向量類似，具有類似的運算法則.一個向量在不同空間的表達方式不一樣，實質沒有改變.因而運算的方法和運算規(guī)律結論沒變。如向量的數(shù)量積a•b=a•bcos<a，b>在二維、三維都是這樣定義的，不同點僅是向量在不同空間具有不同表達形式.空間兩向量平行時同平面兩向量平行時表達式不一樣，但實質是一致的，即對應坐標成比例，且比值為 ，對于中點公式要熟記。
對本講內容的考查主要分以下三類：
1．以選擇、填空題型考查本的基本概念和性質
此類題一般難度不大，用以解決有關長度、夾角、垂直、判斷多邊形形狀等問題。
2．向量在空間中的應用
在空間坐標系下，通過向量的坐標的表示，運用計算的方法研究三維空間幾何圖形的性質。
在復習過程中，抓住于本，高于本的指導方針。本講考題大多數(shù)是本的變式題，即于本。因此，掌握雙基、精通本是本關鍵。
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