1．1．2 圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球
【課時(shí)目標(biāo)】 認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu)．
1．一般地，由一個(gè)________________沿某一方向平移形成的空間幾何體叫做棱柱．
平移起止位置的兩個(gè)面叫做棱柱的________，多邊形的邊平移所形成的面叫做棱柱的________，兩側(cè)面的公共邊叫________．
2．當(dāng)棱柱的一個(gè)底面__________________時(shí)，得到的幾何體叫做棱錐(如圖所示)．
3．棱臺(tái)是棱錐被平行于底面的一個(gè)平面所截后，______和________之間的部分．
4．將________、________________、______________分別繞著它的________、______________、____________________所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體分別叫做圓柱、圓錐、圓臺(tái)，這條直線叫做______，垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做________，不垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做________，無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，這條邊都叫做________．
5．________繞著它的______所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做球面，球面圍成的幾何體叫做______，簡(jiǎn)稱______．
一、填空題
1．將梯形沿某一方向平移形成的幾何體是________．
2．有下列命題：①棱柱的底面一定是多邊形；②棱臺(tái)的底面一定是梯形；③棱柱被平面截成的兩部分可以都是棱柱；④棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐．
其中正確命題的序號(hào)是________．
3．棱臺(tái)具備的性質(zhì)是________(填序號(hào))．
①兩底面相似；
②側(cè)面都是梯形；
③側(cè)棱都相等；
④側(cè)棱延長(zhǎng)后都交于一點(diǎn)．
4．下列命題中正確的是________(填序號(hào))．
①有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱；
②有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱；
③有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行的幾何體叫棱柱；
④用一個(gè)平面去截棱錐，底面和截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺(tái)．
5．以任意方式截一個(gè)幾何體，各個(gè)截面都是圓，則這個(gè)幾何體一定是________．
6．右圖所示的幾何體是由下列哪個(gè)平面圖形通過旋轉(zhuǎn)得到的________(填序號(hào))．
7．下列敘述中錯(cuò)誤的是________．(填序號(hào))
①以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；
②以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)；
③圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓；
④用一個(gè)平面去截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)．
8．如圖所示的幾何體是由一個(gè)圓柱挖去一個(gè)以圓柱上底面為底面，下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐而得到的組合體，現(xiàn)用一個(gè)豎直的平面去截這個(gè)組合體，則截面圖形可能是______(填序號(hào))．
9．在下面的四個(gè)平面圖形中，哪幾個(gè)是側(cè)棱都相等的四面體的展開圖？其序號(hào)是______．
二、解答題
10．如圖所示為長(zhǎng)方體ABCD?A′B′C′D′，當(dāng)用平面BCFE把這個(gè)長(zhǎng)方體分成兩部分后，各部分形成的多面體還是棱柱嗎？如果不是，請(qǐng)說明理由；如果是，指出底面及側(cè)棱．
11．如圖所示，已知△ABC，以AB為軸，將△ABC旋轉(zhuǎn)360°．試指出這個(gè)旋轉(zhuǎn)體是由怎樣的簡(jiǎn)單幾何體構(gòu)成的？畫出這個(gè)旋轉(zhuǎn)體的直觀圖．
能力提升
12．一個(gè)三棱錐的各棱長(zhǎng)均相等，其內(nèi)部有一個(gè)內(nèi)切球，即球與三棱錐的各面均相切(球在三棱錐的內(nèi)部，且球與三棱錐的各面只有一個(gè)交點(diǎn))，過一條側(cè)棱和對(duì)邊的中點(diǎn)作三棱錐的截面，所得截面是下列______圖形．(填序號(hào))
13．如圖，在底面半徑為1，高為2的圓柱上A點(diǎn)處有一只螞蟻，它要圍繞圓柱由A點(diǎn)爬到B點(diǎn)，問螞蟻爬行的最短距離是多少？
1．學(xué)習(xí)本節(jié)知識(shí)，要注意結(jié)合集合的觀點(diǎn)來認(rèn)識(shí)各種幾何體的性質(zhì)，還要注意結(jié)合動(dòng)態(tài)直觀圖從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)棱柱、棱錐和棱臺(tái)的關(guān)系．
2．在討論旋轉(zhuǎn)體的性質(zhì)時(shí)軸截面具有極其重要的作用，它決定著旋轉(zhuǎn)體的大小、形狀，旋轉(zhuǎn)體的有關(guān)元素之間的關(guān)系可以在軸截面上體現(xiàn)出來．軸截面是將旋轉(zhuǎn)體問題轉(zhuǎn)化為平面問題的關(guān)鍵．
3．幾何體表面距離最短問題需要把表面展開在同一平面上，然后利用兩點(diǎn)間距離的最小值是連結(jié)兩點(diǎn)的線段長(zhǎng)求解．
第1章 立體幾何初步
§1.1 空間幾何體
1．1.1 棱柱、棱錐和棱臺(tái)
1．1.2 圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球
答案
知識(shí)梳理
1．平面多邊形 底面 側(cè)面 側(cè)棱
2．收縮為一個(gè)點(diǎn)
3．截面 底面
4．矩形 直角三角形 直角梯形 一邊 一直角邊 垂直于底邊的腰 軸 底面 側(cè)面 母線
5．半圓 直徑 球體 球
作業(yè)設(shè)計(jì)
1．四棱柱 2.①③
3．①②④
解析 用棱臺(tái)的定義去判斷．
4．③
解析�、佟ⅱ诘姆蠢龍D形如圖所示，④顯然不正確．
5．球體 6.① 7.①②③④
8．(1)(5)
解析 一個(gè)圓柱挖去一個(gè)圓錐后，剩下的幾何體被一個(gè)豎直的平面所截后，圓柱的輪廓是矩形除去一條邊，圓錐的輪廓是三角形除去一條邊或拋物線的一部分．
9．①②
10．解 截面BCFE右側(cè)部分是棱柱，因?yàn)樗鼭M足棱柱的定義．
它是三棱柱BEB′?CFC′，其中△BEB′和△CFC′是底面．
EF，B′C′，BC是側(cè)棱，
截面BCFE左側(cè)部分也是棱柱．
它是四棱柱ABEA′?DCFD′.
其中四邊形ABEA′和四邊形DCFD′是底面．
A′D′，EF，BC，AD為側(cè)棱．
11．解 這個(gè)旋轉(zhuǎn)體可由一個(gè)大圓錐挖去一個(gè)同底面的小圓錐而得到，直觀圖如圖所示．
12．②
13．解 把圓柱的側(cè)面沿AB剪開，然后展開成為平面圖形??矩形，如圖所示，連結(jié)AB′，則AB′即為螞蟻爬行的最短距離．
∵AB＝A′B′＝2，AA′為底面圓的周長(zhǎng)，且AA′＝2π×1＝2π，
∴AB′＝A′B′2＋AA′2
＝4＋?2π?2＝21＋π2，
即螞蟻爬行的最短距離為21＋π2.
1．1．3 中心投影和平行投影
【課時(shí)目標(biāo)】 1．了解中心投影和平行投影．2．能畫出簡(jiǎn)單空間圖形(柱、錐、臺(tái)、球及其組合體)的三視圖．3．能識(shí)別三視圖所表示的立體模型．
1．平行投影與中心投影的不同之處在于：平行投影的投影線是________，而中心投影的投影線________．
2．三視圖包括__________、__________和__________，其中幾何體的____________和__________高度一樣，__________與____________長(zhǎng)度一樣，__________與__________寬度一樣．
一、選擇題
1．人在燈光下走動(dòng)，當(dāng)人逐漸遠(yuǎn)離燈光時(shí)，其影子的長(zhǎng)度將________．
2．兩條相交直線的平行投影是________．
3．如圖所示，下列幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個(gè)視圖相同的是(填序號(hào))________．
4．一個(gè)長(zhǎng)方體去掉一角的直觀圖如圖所示，關(guān)于它的三視圖，下列畫法正確的是________(填序號(hào))．
5．某幾何體的三視圖如圖所示，那么這個(gè)幾何體是________________________________．
6．若一個(gè)三棱柱的三視圖如圖所示，則這個(gè)三棱柱的高(兩底面之間的距離)和底面邊長(zhǎng)分別是________和________．
7．用小正方體搭成一個(gè)幾何體，如圖是它的主視圖和左視圖，搭成這個(gè)幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)最多為________個(gè)．
8．根據(jù)如圖所示俯視圖，找出對(duì)應(yīng)的物體．
(1)對(duì)應(yīng)________；(2)對(duì)應(yīng)________；
(3)對(duì)應(yīng)________；(4)對(duì)應(yīng)________；
(5)對(duì)應(yīng)________．
9．如圖1所示，E，F(xiàn)分別為正方體的面AD1，BC1的中心，則四邊形BFD1E在該正方體的面上的正投影可能是圖2中的________．(填上可能的序號(hào))
二、解答題
10．在下面圖形中，圖(b)是圖(a)中實(shí)物畫出的主視圖和俯視圖，你認(rèn)為正確嗎？如果不正確，請(qǐng)找出錯(cuò)誤并改正，然后畫出左視圖(尺寸不作嚴(yán)格要求)．
11．如圖是截去一角的長(zhǎng)方體，畫出它的三視圖．
能力提升
12．如圖，螺栓是棱柱和圓柱的組合體，畫出它的三視圖．
13．用小立方體搭成一個(gè)幾何體，使它的主視圖和俯視圖如圖所示，搭建這樣的幾何體，最多要幾個(gè)小立方體？最少要幾個(gè)小立方體？
在繪制三視圖時(shí)，要注意以下三點(diǎn)：
1．若兩相鄰物體的表面相交，表面的交線是它們的原分界線，在三視圖中，分界線和可見輪廓都用實(shí)線畫出，不可見輪廓用虛線畫出．
2．一個(gè)物體的三視圖的排列規(guī)則是：俯視圖放在主視圖的下面，長(zhǎng)度和主視圖一樣．左視圖放在主視圖的右面，高度和主視圖一樣，寬度和俯視圖一樣，簡(jiǎn)記為“長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等”．
3．在畫物體的三視圖時(shí)應(yīng)注意觀察角度，角度不同，往往畫出的三視圖不同．
1．1.3 中心投影和平行投影
答案
知識(shí)梳理
1．平行的 交于一點(diǎn)
2．主視圖 左視圖 俯視圖 左視圖 主視圖 俯視圖 主視圖 左視圖 俯視圖
作業(yè)設(shè)計(jì)
1．變長(zhǎng)
解析 中心投影的性質(zhì)．
2．兩條相交直線或一條直線
3．②④
解析 在各自的三視圖中①正方體的三個(gè)視圖都相同；②圓錐有兩個(gè)視圖相同；③三棱臺(tái)的三個(gè)視圖都不同；④正四棱錐有兩個(gè)視圖相同．
4．① 5.四棱錐
6．2 4
解析 三棱柱的高同左視圖的高，左視圖的寬度恰為底面正三角形的高，故底邊長(zhǎng)為4.
7．7
8．(1)D (2)A (3)E (4)C (5)B
9．②③
解析 圖②為四邊形BFD1E在正方體前后及上下面上的正投影，
③為其在左右側(cè)面上的正投影．
10．解 圖(a)是由兩個(gè)長(zhǎng)方體組合而成的，主視圖正確，俯視圖錯(cuò)誤，俯視圖應(yīng)該畫出不可見輪廓線(用虛線表示)，左視圖輪廓是一個(gè)矩形，有一條可視的交線(用實(shí)線表示)，正確畫法如圖所示．
11．解 該圖形的三視圖如圖所示．
12．解 該物體是由一個(gè)正六棱柱和一個(gè)圓柱組合而成的，主視圖反映正六棱柱的三個(gè)側(cè)面和圓柱側(cè)面，左視圖反映正六棱柱的兩個(gè)側(cè)面和圓柱側(cè)面，俯視圖反映該物體投影后是一個(gè)正六邊形和一個(gè)圓(中心重合)．它的三視圖如圖所示．
13．解 由于主視圖中每列的層數(shù)即是俯視圖中該列的最大數(shù)字，因此，用的立方塊數(shù)最多的情況是每個(gè)方框都用該列的最大數(shù)字，即如圖①所示，此種情況共用小立方塊17塊．
而搭建這樣的幾何體用方塊數(shù)最少的情況是每列只要有一個(gè)最大的數(shù)字，其他方框內(nèi)的數(shù)字可減少到最少的1，即如圖②所示，這樣的擺法只需小立方塊11塊．
1．1．4 直觀圖畫法
【課時(shí)目標(biāo)】 1．了解斜二測(cè)畫法的概念．2．會(huì)用斜二測(cè)畫法畫出一些簡(jiǎn)單的平面圖形和立體圖形的直觀圖．
用斜二測(cè)畫法畫水平放置的平面圖形直觀圖的步驟：
(1)在空間圖形中取互相________的x軸和y軸，兩軸交于O點(diǎn)，再取z軸，使∠xOz＝________，且∠yOz＝________．
(2)畫直觀圖時(shí)把它們畫成對(duì)應(yīng)的x′軸、y′軸和z′軸，它們相交于O′，并使∠x′O′y′＝______(或______)，∠x′O′z′＝________，x′軸和y′軸所確定的平面表示水平面．
(3)已知圖形中平行于x軸、y軸或z軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x′軸、y′軸或z′軸的線段．
(4)已知圖形中平行于x軸或z軸的線段，在直觀圖中保持原長(zhǎng)度________；平行于y軸的線段，長(zhǎng)度為原來的________．
一、填空題
1．下列結(jié)論：
①角的水平放置的直觀圖一定是角；
②相等的角在直觀圖中仍然相等；
③相等的線段在直觀圖中仍然相等；
④兩條平行線段在直觀圖中對(duì)應(yīng)的兩條線段仍然平行．
其中正確的有__________(填序號(hào))．
2．具有如圖所示直觀圖的平面圖形ABCD的形狀是____________．
3．如圖，正方形O′A′B′C′的邊長(zhǎng)為1 cm，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，則原圖的周長(zhǎng)是________ cm．
4．下面每個(gè)選項(xiàng)的2個(gè)邊長(zhǎng)為1的正△ABC的直觀圖不是全等三角形的一組是______(填序號(hào))．
5．△ABC面積為10，以它的一邊為x軸畫出直觀圖，其直觀圖的面積為________．
6．一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖是一個(gè)底角為45°，腰和上底長(zhǎng)均為1的等腰梯形，則該平面圖形的面積等于__________．
7．利用斜二測(cè)畫法得到：
①三角形的直觀圖是三角形；
②平行四邊形的直觀圖是平行四邊形；
③正方形的直觀圖是正方形；
④菱形的直觀圖是菱形．
以上結(jié)論，正確的是______________．
8．水平放置的△ABC的斜二測(cè)直觀圖如圖所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，則AB邊上的中線的實(shí)際長(zhǎng)度為____________．
9．如圖所示，為一個(gè)水平放置的正方形ABCO，它在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,2)，則在用斜二測(cè)畫法畫出的正方形的直觀圖中，頂點(diǎn)B′到x′軸的距離為______．
二、解答題
10．如圖所示，已知幾何體的三視圖，用斜二測(cè)畫法畫出它的直觀圖．
11．如圖所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4 cm，CD＝2 cm，∠DAB＝30°，AD＝3 cm，試畫出它的直觀圖．
能力提升
12．已知△ABC的平面直觀圖△A′B′C′是邊長(zhǎng)為a的正三角形，那么原△ABC的面積為________．
13．在水平放置的平面α內(nèi)有一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形A′B′C′D′，如圖，其中的對(duì)角線A′C′在水平位置，已知該正方形是某個(gè)四邊形用斜二測(cè)畫法畫出的直觀圖，試畫出該四邊形的真實(shí)圖形并求出其面積．
直觀圖與原圖形的關(guān)系
1．斜二測(cè)畫法是聯(lián)系直觀圖和原圖形的橋梁，可根據(jù)它們之間的可逆關(guān)系尋找它們的聯(lián)系；在求直觀圖的面積時(shí)，可根據(jù)斜二測(cè)畫法，畫出直觀圖，從而確定其高和底邊等；而求原圖形的面積可把直觀圖還原為原圖形；此類題易混淆原圖形與直觀圖中的垂直關(guān)系而出錯(cuò)，在原圖形中互相垂直的直線在直觀圖中不一定垂直，反之也是．所以在求面積時(shí)應(yīng)按照斜二測(cè)畫法的規(guī)則把原圖形與直觀圖都畫出來，找出改變量與不變量．用斜二測(cè)畫法畫出的水平放置的平面圖形的直觀圖的面積是原圖形面積的24倍．
2．在用斜二測(cè)畫法畫直觀圖時(shí)，平行線段仍然平行，所畫平行線段之比仍然等于它的真實(shí)長(zhǎng)度之比，但所畫夾角大小不一定是其真實(shí)夾角大�。�
1．1．4 直觀圖畫法 答案
知識(shí)梳理
(1)垂直 90° 90° (2)45° 135° 90°
(4)不變 一半
作業(yè)設(shè)計(jì)
1．①②⑤
解析 由斜二測(cè)畫法的規(guī)則判斷．
2．直角梯形
3．8
解析
根據(jù)直觀圖的畫法，原幾何圖形如圖所示，四邊形OABC為平行四邊形，OB＝22，OA＝1，AB＝3，從而原圖周長(zhǎng)為8 cm．
4．③
5．522
解析 設(shè)△ABC面積為S，
則直觀圖面積S′＝24S＝522．
6．2＋2
解析 如圖1所示，等腰梯形A′B′C′D′為水平放置的原平面圖形的直觀圖，作D′E′∥A′B′交B′C′于E′，由斜二測(cè)直觀圖畫法規(guī)則，直觀圖是等腰梯形A′B′C′D′的原平面圖形為如圖2所示的直角梯形ABCD，且AB＝2，BC＝1＋2，AD＝1，所以SABCD＝2＋2．
圖1 圖2
7．①②
解析 斜二測(cè)畫法得到的圖形與原圖形中的線線相交、相對(duì)線線平行關(guān)系不會(huì)改變，因此三角形的直觀圖是三角形，平行四邊形的直觀圖是平行四邊形．
8．2．5
解析 由直觀圖知，原平面圖形為直角三角形，且AC＝A′C′＝3，BC＝2B′C′＝4，計(jì)算得AB＝5，所求中線長(zhǎng)為2．5．
9．22
解析
畫出直觀圖，則B′到x′軸的距離為22?12OA＝24OA＝22．
10．解 (1)作出長(zhǎng)方體的直觀圖ABCD－A1B1C1D1，如圖a所示；
(2)再以上底面A1B1C1D1的對(duì)角線交點(diǎn)為原點(diǎn)建立x′，y′，z′軸，如圖b所示，在z′上取點(diǎn)V′，使得V′O′的長(zhǎng)度為棱錐的高，連結(jié)V′A1，V′B1，V′C1，V′D1，得到四棱錐的直觀圖，如圖b；
(3)擦去輔助線和坐標(biāo)軸，遮住部分用虛線表示，得到幾何體的直觀圖，如圖c．
11．解 (1)如圖a所示，在梯形ABCD中，以邊AB所在的直線為x軸，點(diǎn)A為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系xOy．如圖b所示，畫出對(duì)應(yīng)的x′軸，y′軸，使∠x′O′y′＝45°．
(2)在圖a中，過D點(diǎn)作DE⊥x軸，垂足為E．在x′軸上取A′B′＝AB＝4 cm，A′E′＝AE＝323≈2．598 cm；過點(diǎn)E′作E′D′∥y′軸，使E′D′＝12ED，再過點(diǎn)D′作D′C′∥x′軸，且使D′C′＝DC＝2 cm．
(3)連結(jié)A′D′、B′C′，并擦去x′軸與y′軸及其他一些輔助線，如圖c所示，則四邊形A′B′C′D′就是所求作的直觀圖．
12．62a2
解析 畫△ABC直觀圖如圖(1)所示：
則A′D′＝32a，又∠x′O′y′＝45°，∴A′O′＝62a．
畫△ABC的實(shí)際圖形，
如圖(2)所示，AO＝2A′O′＝6a，BC＝B′C′＝a，
∴S△ABC＝12BC?AO＝62a2．
13．
解 四邊形ABCD的真實(shí)圖形如圖所示，
∵A′C′在水平位置，A′B′C′D′為正方形，
∴∠D′A′C′＝∠A′C′B′＝45°，
∴在原四邊形ABCD中，
DA⊥AC，AC⊥BC，∵DA＝2D′A′＝2，
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