1．定義: 設(shè)y=f(x)，定義域?yàn)锳，如果對(duì)于任意 ∈A，都有 ，稱y=f(x)為偶函數(shù)。
設(shè)y=f(x) ，定義域?yàn)锳，如果對(duì)于任意 ∈A，都有 ，稱y=f(x)為奇函數(shù)。
如果函數(shù) 是奇函數(shù)或偶函數(shù)，則稱函數(shù)y= 具有奇偶性。
2.性質(zhì)：
①函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
②y=f(x)是偶函數(shù) y=f(x)的圖象關(guān)于 軸對(duì)稱,
y=f(x)是奇函數(shù) y=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,
③偶函數(shù)在定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相反，
奇函數(shù)在定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相同，
④若函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則它可表示為一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)之和
⑤奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇
[兩函數(shù)的定義域D1 ，D2，D1∩D2要關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱]
⑥對(duì)于F(x)=f[g(x)]:若g(x)是偶函數(shù)，則F(x)是偶函數(shù)
若g(x)是奇函數(shù)且f(x)是奇函數(shù)，則F(x)是奇函數(shù)
若g(x)是奇函數(shù)且f(x)是偶函數(shù)，則F(x)是偶函數(shù)
3．函數(shù)奇偶性的判斷
①看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱��；②看f(x)與f(-x)的關(guān)系；
二．例題選講
例1．判斷下列函數(shù)的奇偶性
(1) ； (2) ;
(3) ; (4)
解：（1）定義域?yàn)?，對(duì)稱于原點(diǎn)，又
， 為奇函數(shù)
（2）由 得定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，所以 沒有奇、偶性。
（3）由 且 得定義域?yàn)?，對(duì)稱于原點(diǎn)
，得 ，知 是奇函數(shù)
（4）定義域?yàn)?，對(duì)稱于原點(diǎn)，
當(dāng) 時(shí)， ，所以
當(dāng) 時(shí)， ，所以 ，故 是奇函數(shù)
例2．已知g(x)為奇函數(shù)， ，且f(-3)= ，求f(3)；
解： ，
，將兩式相加，結(jié)合g(x)為奇函數(shù)，可得：
；
變式：已知函數(shù)f(x)，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=x2+2x-1
① 若f(x)為R上的奇函數(shù)，能否確定其解析式？請(qǐng)說明理由。
② 若f(x)為R上的偶函數(shù)，能否確定其解析式？請(qǐng)說明理由。
解：① 可確定: ②不可確定: 處沒有定義；
例3．函數(shù) 的定義域?yàn)镈= ，且對(duì)于任意的 ，都有
；（1）求 的值； （2）判斷 的奇偶性并證明；
（3）如果 ， ，且 在 上是增函數(shù)，求 的取值范圍。
解：（1）令 可得：
（2）令 可得： ；再令 可得： ；
所以： 為偶函數(shù)
（3） ，
原不等式可化為：
又 在 上是增函數(shù)
解得： 或 或
變式一：定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f(x)，對(duì)任意x，y∈R，有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)?f(y)且
f(0)≠0 ；①求證：f(0)=1�。虎谇笞C：y=f(x)是偶函數(shù)；
證：①令x=y=0，則f(0)+f(0)=2f2(0) ∵f(0)≠0 ∴f(0)=1；
②令x=0，則f(y)+f(-y)=2f(0)?f(y)；∴f(-y)=f(y) ； ∴y=f(x)是偶函數(shù)；
變式二：設(shè)函數(shù) 是奇函數(shù)，且當(dāng) 時(shí)是增函數(shù)，若f(1)=0，求不等式 的解集；
解：由 可得： ，
由前一不等式可解得； ；
由后一不等式可解得： ，
故原不等式的解集為：
例4．已知函數(shù) 是奇函數(shù)，（1）求m的值；（2）當(dāng) 時(shí)，求 的最大值與最小值。
解：（1）因?yàn)?是奇函數(shù)，所以 ，即 ，得m=0
(2) 因?yàn)?， ①當(dāng)p<0時(shí)， ，所以 在 上是增函數(shù)，
②當(dāng)p>0時(shí)，知 在 上是減函數(shù)，在 上是增函數(shù)；
（A）當(dāng) 時(shí)， 在 上是增函數(shù)，
（B）當(dāng) 時(shí)， 是 在 上的一個(gè)極小值點(diǎn)，且
；
（C）當(dāng) 時(shí)， 是 在 上的一個(gè)極小值點(diǎn)，且f(1)
（D）當(dāng) 時(shí)， 在 上是減函數(shù)，
；
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