(考試時間：120分鐘)
一、選擇題：（每小題5分，共60分）
1．集合A= ，集合B= ，則 ( )
A. B. C. D.
2．設 則 的大小關系是 ( )
A. B. C. D．
3．設函數 ，其中 ， ，則 的展開式中 的系數為( )
A．-360 B.360 C.-60 D.60
4．已知復數 在復平面上對應點為 ，則 關于直線 的對稱點的復數表示是（ ）．
A. B. C. D.
5.在實數集 上隨機取一個數 ，事件 =“ , ”，事件 =“ ”，則 （ ? ）=（ ）
A． B． C． D．
6．已知以下三視圖中有三個同時表示某一個三棱錐，則不是該三棱錐的三視圖是
A． B． C． D．
7. 如下程序框圖的功能是：給出以下十個數：5，9，80，43，95，73，28，17，60，36，把大于60的數找出來，則框圖中的①②應分別填入的是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
8．已知函數 是定義在 上的單調增函數且為奇函數，數列 是等差數列， ，則 的值（ ）．
A.恒為正數B.恒為負數 C.恒為0 D.可正可負
9．如圖所示是某個區(qū)域的街道示意圖（每個小矩形的邊表示街道），那么從 到 的最短線路有（ ）條
A．100 B．400 C．200 D．250
10．如圖， ， 是雙曲線 ： (a＞0，b＞0)的左、右焦點，過 的直線 與 的左、右兩支分別交于 ， 兩點．若 : : ＝3:4 : 5，則雙曲線的離心率為（ ）A． B． C．2 D．
11．已知向量 滿足 ，其夾角為 ，若對任意向量 ，總有 ，則 的最大值與最小值之差為（ ）A．1 B、 C、 D、
12．已知以 為周期的函數 ，其中 。若方程 恰有5個實數解，則 的取值范圍為（ ）
A． B． C． D.
二、填空題：（每小題5分，共20分）
13.在平面直角坐標系中，不等式 為常數 表示的平面區(qū)域的面積為8，則 的最小值為_________
14.已知函數 ，其導函數記為 ，則 .
15．設二次函數 的值域為 ，則 的最小值為
16．給出下列四個命題：
①
② ，使得 成立；
③ 為長方形， ， ， 為 的中點，在長方形 內隨機取一 點，取得的點到 距離大小1的概率為 ；
④在 中，若 ，則 是銳角三角形，
其中正確命題的序號是
三、解答題：
17．（本題滿分12分）在 中 分別為A,B,C所對的邊， 且 （1）判斷 的形狀；
（2）若 ，求 的取值范圍
18．（本小題滿分12分）“蛟龍?zhí)枴睆暮５字袔Щ氐哪撤N生物，甲乙兩個生物小組分別獨立開展對該生物離開恒溫箱的成活情況進行研究，每次試驗一個生物，甲組能使生物成活的概率為 ，乙組能使生物成活的概率為 ，假定試驗后生物成活，則稱該試驗成功，如果生物不成活，則稱該次試驗是失敗的.
（1）甲小組做了三次試驗，求至少兩次試驗成功的概率.
（2）如果乙小組成功了4次才停止試驗，求乙小組第四次成功前共有三次失敗，且恰有兩次連續(xù)失敗的概率.
（3）若甲乙兩小組各進行2次試驗，設試驗成功的總次數為 ，求 的期望.
19．（本小題滿分12分如圖，已知矩形 的邊 , ,點 、 分別是邊 、 的中點，沿 、 分別把三角形 和三角形 折起，使得點 和點 重合，記重合后的位置為點 。（1）求證：平面 平面 ； (2)求二面角 的大小。
20．（本小題滿分12分）已知點 是橢圓E： （ ）上一點， 、 分別是橢圓 的左、右焦點， 是坐標原點， 軸．
（1）求橢圓 的方程；（2）設 、 是橢圓 上兩個動點， ．求證：直線 的斜率為定值；
21．(本小題滿分12分）已知函數 ．
（1）函數 在區(qū)間 上是增函數還是減函數？證明你的結論；
（2）當 時， 恒成立，求整數 的最大值；
（3）試證明： （ ）。
請考生在第22、23題中任選一題作答。若多做，則按所做的第一題計分。
22．（本小題滿分10分）
已知點 ，參數 ，點Q在曲線C： 上.
(1)求在直角坐標系中點 的軌跡方程和曲線C的方程;(2)求｜PQ｜的最小值.
23．（本小題滿分10分）已知函數
（1）若 .求證： ；
（2）若滿足 試求實數 的取值范圍
山西大學附中
2014-2013學年高三(4月)月考數學（理科）答案
1~6DADDCD 7~12AACABB
13. 14. 2 15. 16.①②④.
17.試題分析：解：（1）由題意
由正弦定理知， 在 中，
或
當 時， 則 舍
當 時， 即 為等腰三角形。
（2）在等腰三角形 ，
取AC中點D，由 ，得
又由，
所以，
18. （1） . （2） = .
（3）由題意 的取值為0,1,2,3,4
故 的分布列為
01234
P
19. (1)證明:
(4分)
(2)如圖,建立坐標系,則
,
易知 是平面PAE的法向量, 設MN與平面PAE 所成的角為
(3) 易知 是平面PAE的法向量,設平面PEC的法向量 則 所以 所以二面角A-PE-C的大小為
20.解：（Ⅰ）∵PF1⊥x軸，∴F1（-1，0），c=1，F(xiàn)2（1，0），
PF2= ，2a=PF1+PF2=4，a=2，b2=3，
橢圓E的方程為： ；
（Ⅱ）設A（x1，y1）、B（x2，y2），由 得
（x1+1，y1- ）+（x2+1，y2- ）= （1,- ），
所以x1+x2= -2 ，y1+y2= （2- ） ………①
又 ， ，
兩式相減得3（x1+x2）（x1-x2）+ 4（y1+y2）（y1-y2）=0………．．②
以①式代入可得AB的斜率k= 為定值；
21.解：（Ⅰ）由題
故 在區(qū)間 上是減函數;
（Ⅱ）當 時， 恒成立，即 在 上恒成立，取 ，則 ，
再取 則
故 在 上單調遞增，
而 ，
故 在 上存在唯一實數根 ，
故 時， 時，
故 故
以①式代入可得AB的斜率k= 為定值；
（3）由（2）知：
令 ，
又
即：
22.試題分析：設點P的坐標為（x，y），則有 消去參數α，可得 由于α∈[0，π]，∴y≥0，故點P的軌跡是上半圓 ∵曲線C： ，即 ，即 ρsinθ-ρcosθ=10，故曲線C的直角坐標方程：x-y+10=0．（2）如圖所示：由題意可得點Q在直線x-y+10=0 上，點P在半圓上，半圓的圓心C（1，0）到直線x-y+10=0的距離等于 ．即PQ的最小值為 -1．
23.解：（Ⅰ）
...2分
.5分
(Ⅱ)由（Ⅰ）可知， 在 為單調增函數.
且 ..7分
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