山西大學(xué)附中
2014-2013學(xué)年高三(4月)月考數(shù)學(xué)（文科）試卷
(考試時(shí)間：120分鐘)
一、：（每小題5分，共60分）
1．集合A= ，集合B= ，則 ( )
A. B. C. D.
2．設(shè) 則 的大小關(guān)系是 ( )
A. B. C. D.
3.已知
A. B. C. D.
4．已知以下三視圖中有三個(gè)同時(shí)表示某一個(gè)三棱錐，則不是該三棱錐的三視圖是
A. B． C． D．
5. 如下程序框圖的功能是：給出以下十個(gè)數(shù)：5，9，80，43，95，73，28，17，60，36，把大于60的數(shù)找出來，則框圖中的①②應(yīng)分別填入的是（ ）
A. B.
C. D.
6．已知復(fù)數(shù) 在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)為 ，則 關(guān)于直線 的對(duì)稱點(diǎn)的復(fù)數(shù)表示是（ ）．
A. B. 　 C. D.
7.拋物線 上的點(diǎn)到直線 距離的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函數(shù) 是定義在 上的單調(diào)增函數(shù)且為奇函數(shù)，數(shù)列 是等差數(shù)列， ，則 的值（ ）．
A.恒為正數(shù) B.恒為負(fù)數(shù) C.恒為0 D.可正可負(fù)
9.在平面直角坐標(biāo)系中，不等式 （ 為常數(shù)）表示的平面區(qū)域的面積為8，則 的最小值為（ ）A． B． C． D．
10.若三棱錐 的底面是以 為斜邊的等腰直角三角形， ， ，則該三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A. B. C. D.
11．如圖， ， 是雙曲線 ： (a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)，過 的直線 與 的左、右兩支分別交于 ， 兩點(diǎn)．若 : : ＝3:4 : 5，則雙曲線的離心率為（ ）A． B． C．2 D．
12．已知以 為周期的函數(shù) ，其中 。若方程 恰有5個(gè)實(shí)數(shù)解，則 的取值范圍為（ ）
A． B． C． D.
二、題：（每小題5分，共20分）
13.公比為4的等比數(shù)列 中,若 是數(shù)列 的前 項(xiàng)積,則有 , , 也成等比數(shù)列,且公比為 ；類比上述結(jié)論，相應(yīng)的在公差為3的等差數(shù)列 中，若 是 的前 項(xiàng)和，則有一相應(yīng)的等差數(shù)列，該等差數(shù)列的公差為____________.
14.已知函數(shù) ，其導(dǎo)函數(shù)記為 ，則 .
15．設(shè)二次函數(shù) 的值域?yàn)?，則 的最小值為
16．給出下列四個(gè)命題：
①
② ，使得 成立；
③ 為長(zhǎng)方形， ， ， 為 的中點(diǎn)，在長(zhǎng)方形 內(nèi)隨機(jī)取一 點(diǎn)，取得的點(diǎn)到 距離大小1的概率為 ；
④在 中，若 ，則 是銳角三角形，
其中正確命題的序號(hào)是
三、解答題：
17．（本題滿分12分）在 中 分別為 , , 所對(duì)的邊， 且 （1）判斷 的形狀；
（2）若 ，求 的取值范圍
18. (本小題滿分12分)
某工廠甲、乙兩個(gè)車間包裝同一種產(chǎn)品，在自動(dòng)包裝傳送帶上每隔一小時(shí)抽一包產(chǎn)品 ，稱其重量（單位：克）是否合格，分別記錄抽查數(shù)據(jù)，獲得重量數(shù)據(jù)莖葉圖（如右）. （1）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算甲、乙兩個(gè)車間產(chǎn)品重量的均值與方差， 并說明哪個(gè)車間的產(chǎn)品的重量相對(duì)穩(wěn)定；（2）若從乙車間6件樣品中隨機(jī)抽取兩件，求所抽取兩件樣品重量之差不超過2克的概率．
19．（本小題滿分12分）如圖，已知矩形 的邊 , ,點(diǎn) 、 分別是邊 、 的中點(diǎn)，沿 、 分別把三角形 和三角形 折起，使得點(diǎn) 和點(diǎn) 重合，記重合后的位置為點(diǎn) 。（1）求證：平面 平面 ；（2）設(shè) 、 分別為棱 、 的中點(diǎn)，求直線 與平面 所成角的正弦；
20．（本小題滿分12分）
已知點(diǎn) 是橢圓E： （ ）上一點(diǎn)， 、 分別是橢圓 的左、右焦點(diǎn)， 是坐標(biāo)原點(diǎn)， 軸．
（1）求橢圓 的方程；（2）設(shè) 、 是橢圓 上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)， ．求證：直線 的斜率為定值；
21．（本小題滿分12分）
已知函數(shù) , ,設(shè) ．
（1）求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間；（2）若以函數(shù) 圖像上任意一點(diǎn) 為切點(diǎn)的切線的斜率 恒成立，求實(shí)數(shù) 的最小值；（3）是否存在實(shí)數(shù) ,使得函數(shù) 的圖像與函數(shù) 的圖像恰有四個(gè)不同的交點(diǎn)？若存在，求出實(shí)數(shù) 的取值范圍；若不存在，說明理由。
請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。若多做，則按所做的第一題計(jì)分。
22．（本小題滿分10分）
已知點(diǎn) ，參數(shù) ，點(diǎn) 在曲線C： 上.
（1）求在直角坐標(biāo)系中點(diǎn) 的軌跡方程和曲線 的方程;（2）求 的最小值.
23．（本小題滿分10分）已知函數(shù)
（1）若 .求證： ；
（2）若滿足 試求實(shí)數(shù) 的取值范圍
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2014-2013學(xué)年高三(4月)月考數(shù)學(xué)（文科）答案
1~6DADDCD 7~12AACABB
13. 300 14. 2 15. 16.①②④.
17.試題分析：解：（1）由題意
由正弦定理知， 在 中，
或
當(dāng) 時(shí)， 則 舍
當(dāng) 時(shí)， 即 為等腰三角形。
（2）在等腰三角形 ，
取AC中點(diǎn)D，由 ，得
又由，
所以，
18. 18.（1）甲相對(duì)穩(wěn)定。
，
（2）從乙車間6件樣品中隨機(jī)抽取兩件，共有15種不同的取法：（108，109），
（108，110），（108，112），（108，115），（108，124），（109，110），
（109，112），（109，115），（109，124），（110，112），（110，115），
（110，124），（112，115），（112，124），（115，124）．
設(shè)A表示隨機(jī)事件“所抽取的兩件樣品的重量之差不超過2克”，
則A的基本事件有4種：（108，109），（108，110），（109，110），（110，112）．
故所求概率為P(A)= ．
19. (1)證明:
(2)如圖,建立坐標(biāo)系,則
,
易知 是平面PAE的法向量, 設(shè)MN與平面PAE 所成的角為
20.解：（Ⅰ）∵PF1⊥x軸，
∴F1（-1，0），c=1，F(xiàn)2（1，0），
PF2= ，2a=PF1+PF2=4，a=2，b2=3，
橢圓E的方程為： ；
（Ⅱ）設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2），由 得
（x1+1，y1- ）+（x2+1，y2- ）= （1,- ），
所以x1+x2= -2 ，y1+y2= （2- ） ………①
又 ， ，
兩式相減得3（x1+x2）（x1-x2）+ 4（y1+y2）（y1-y2）=0………．．②
以①式代入可得AB的斜率k= 為定值；
試題分析：解：（I） ，
∵ ，由 ，∴ 在 上單調(diào)遞增。
由 ，∴ 在 上單調(diào)遞減。
∴ 的單調(diào)遞減區(qū)間為 ，單調(diào)遞增區(qū)間為 。
（II） ，
恒成立
當(dāng) 時(shí)， 取得最大值 �！� ，∴
（III）若 的圖象與 的圖象恰有四個(gè)不同得交點(diǎn)，即 有四個(gè)不同的根，亦即 有四個(gè)不同的根。
令 ，
則
當(dāng)x變化時(shí)， 、 的變化情況如下表：
x
的符號(hào)
＋－＋－
的單調(diào)性
由表格知： ，
畫出草圖和驗(yàn)證 可知，當(dāng) 時(shí)， 與 恰有四個(gè)不同的交點(diǎn)。
∴當(dāng) 時(shí)， 的圖象與 的圖象恰有四個(gè)不同的交點(diǎn)。
22.【解析】
試題分析：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則有 消去參數(shù)α，可得 由于α∈[0，π]，∴y≥0，故點(diǎn)P的軌跡是上半圓 ∵曲線C： ，即 ，即 ρsinθ-ρcosθ=10，故曲線C的直角坐標(biāo)方程：x-y+10=0．（2）如圖所示：由題意可得點(diǎn)Q在直線x-y+10=0 上，點(diǎn)P在半圓上，半圓的圓心C（1，0）到直線x-y+10=0的距離等于 ．即PQ的最小值為 -1．
23.解：（Ⅰ）
..2分
...5分
(Ⅱ)由（Ⅰ）可知， 在 為單調(diào)增函數(shù).
且 ..7分
當(dāng) 時(shí)， ；
當(dāng) 時(shí)， ；
當(dāng) 時(shí)， 綜上所述： ...10分


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