專題五 平面向量
【重點(diǎn)知識(shí)回顧】
向量是既有大小又有方向的量，從其定義可以看出向量既具有代數(shù)特征，又具有幾何特征，因此我們要借助于向量可以將某些代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題，又可將某些幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，在復(fù)習(xí)中要體會(huì)向量的數(shù)形結(jié)合橋梁作用。能否理解和掌握平面向量的有關(guān)概念，如：共線向量、相等向量等，它關(guān)系到我們今后在解決一些相關(guān)問(wèn)題時(shí)能否靈活應(yīng)用的問(wèn)題。這就要求我們?cè)趶?fù)習(xí)中應(yīng)首先立足課本，打好基礎(chǔ)，形成清晰地知識(shí)結(jié)構(gòu)，重點(diǎn)掌握相關(guān)概念、性質(zhì)、運(yùn)算公式 法則等，正確掌握這些是學(xué)好本專題的關(guān)鍵
在解決關(guān)于向量問(wèn)題時(shí)，一是要善于運(yùn)用向量的平移、伸縮、合成、分解等變換，正確地進(jìn)行向量的各種運(yùn)算，進(jìn)一步加深對(duì)“向量”這一二維性的量的本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，并體會(huì)用向量處理問(wèn)題的優(yōu)越性。二是向量的坐標(biāo)運(yùn)算體現(xiàn)了數(shù)與形互相轉(zhuǎn)化和密切結(jié)合的思想，所以要通過(guò)向量法和坐標(biāo)法的運(yùn)用，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題上的作用。
在解決解斜三角形問(wèn)題時(shí)，一方面要體會(huì)向量方法在解三角形方面的應(yīng)用，另一方面要體會(huì)解斜三角形是重要的測(cè)量手段，通過(guò)學(xué)習(xí)提高解決實(shí)際問(wèn)題的能力
因此，在復(fù)習(xí)中，要注意分層復(fù)習(xí)，既要復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)，又要把向量知識(shí)與其它知識(shí)，如：曲線，數(shù)列，函數(shù)，三角等進(jìn)行橫向聯(lián)系，以體現(xiàn)向量的工具性
平面向量基本定理（向量的分解定理）
的一組基底。
向量的坐標(biāo)表示
. 平面向量的數(shù)量積
數(shù)量積的幾何意義：
（2）數(shù)量積的運(yùn)算法則
【典型例題】
1.向量的概念、向量的運(yùn)算、向量的基本定理
例1. (2008湖北文、理)設(shè)a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),則(a+2b)?c=（ ）
A.(－15,12) B.0 C.－3 D.－11
解：(a+2b) ，(a+2b)?c ，選C
點(diǎn)評(píng)：本題考查向量與實(shí)數(shù)的積，注意積的結(jié)果還是一個(gè)向量，向量的加法運(yùn)算，結(jié)果也是一個(gè)向量，還考查了向量的數(shù)量積，結(jié)果是一個(gè)數(shù)字
例2、(2008廣東文)已知平面向量 ，且 ∥ ，則 =（�。�
A．（-2，-4） B. （-3，-6） C. （-4，-8） D. （-5，-10）
解：由 ∥ ，得m＝－4，所以，
＝（2，4）＋（－6，－12）＝（－4，－8），故選（C）。
點(diǎn)評(píng)：兩個(gè)向量平行，其實(shí)是一個(gè)向量是另一個(gè)向量的 倍，也是共線向量，注意運(yùn)算的公式，容易與向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算混淆
例3．（1）如圖所示，已知正六邊形ABCDEF，O是它的中心，若 = ， = ，試用 ， 將向量 ， ， ， 表示出來(lái)。
（1）解析：根據(jù)向量加法的平行四邊形法則和減法的三角形法則，用向量 ， 來(lái)表示其他向量，只要考慮它們是哪些平行四邊形或三角形的邊即可
因?yàn)榱呅蜛BCDEF是正六邊形，所以它的中心O及頂點(diǎn)A，B，C四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形ABCO，
所以 ， = ＋ ， = = + ，
由于A，B，O，F(xiàn)四點(diǎn)也構(gòu)成平行四邊形ABOF，所以 = ＋ = + = + + =2 + ，
同樣在平行四邊形 BCDO中， ＝ ＝ ＝ ＋( ＋ )＝ ＋2 ， ＝ ＝ －
點(diǎn)評(píng)：其實(shí)在以A，B，C，D，E，F(xiàn)及O七點(diǎn)中，任兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)，均可用 ， 表示，且可用規(guī)定其中任兩個(gè)向量為 ， ，另外任取兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)，也可用 ， 表示。
例4．已知 中，A(2,－1)，B(3,2)，C(－3,1),BC邊上的高為AD，求 。
解析：設(shè)D(x,y)，則
∵
得
所以 。
2. 向量與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題
例5、（2008深圳福田等）已知向量 ,函數(shù)
(1)求 的最小正周期; (2)當(dāng) 時(shí), 若 求 的值．
解：(1) .
所以，T＝ .
(2) 由 得 ，
∵ ，∴ ∴ ∴
點(diǎn)評(píng)：向量與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題是當(dāng)前的一個(gè)熱點(diǎn)，但通常難度不大，一般就是以向量的坐標(biāo)形式給出與三角函數(shù)有關(guān)的條件，并結(jié)合簡(jiǎn)單的向量運(yùn)算，而考查的主體部分則是三角函數(shù)的恒等變換，以及解三角形等知識(shí)點(diǎn).
例6、（2007山東文）在 中，角 的對(duì)邊分別為 ．
（1）求 ；
（2）若 ，且 ，求 ．
解：（1）
又 解得 ．
， 是銳角． ．
（2）由 ， ， ．
又 ． ．
． ．
點(diǎn)評(píng)：本題向量與解三角形的內(nèi)容相結(jié)合，考查向量的數(shù)量積，余弦定理等內(nèi)容。
3. 平面向量與函數(shù)問(wèn)題的交匯
例7．已知平面向量a＝( ，－1)，b＝( , ).
(1) 若存在實(shí)數(shù)k和t，便得x＝a＋(t2－3)b, y＝－ka＋tb，且x⊥y，試求函數(shù)的關(guān)系式k＝f(t)；
(2) 根據(jù)(1)的結(jié)論，確定k＝f(t)的單調(diào)區(qū)間
解：（1）法一：由題意知x＝( , ),
y＝( t－ k， t＋k)，又x⊥y
故x ? y＝ ×（ t－ k）＋ ×( t＋k)＝0
整理得：t3－3t－4k＝0，即k＝ t3－ t.
法二：∵a＝( ，－1)，b＝( , ), ∴. ＝2， ＝1且a⊥b
∵x⊥y，∴x ? y＝0，即－k 2＋t(t2－3) 2＝0，∴t3－3t－4k＝0,即k＝ t3－ t
(2) 由(1)知：k＝f(t) ＝ t3－ t ∴k?＝f?(t) ＝ t3－ ,
令k?＜0得－1＜t＜1；令k?＞0得t＜－1或t＞1.
故k＝f(t)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－1, 1 )，單調(diào)遞增區(qū)間是（－∞，－1）和（1，＋∞）.
[歸納] 第1問(wèn)中兩種解法是解決向量垂直的兩種常見(jiàn)的方法：一是先利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算分別求得兩個(gè)向量的坐標(biāo)，再利用向量垂直的充要條件；二是直接利用向量的垂直的充要條件，其過(guò)程要用到向量的數(shù)量積公式及求模公式，達(dá)到同樣的求解目的（但運(yùn)算過(guò)程大大簡(jiǎn)化，值得注意）。第2問(wèn)中求函數(shù)的極值運(yùn)用的是求導(dǎo)的方法，這是新舊知識(shí)交匯點(diǎn)處的綜合運(yùn)用
[變式] 已知平面向量 ＝( ，－1)， ＝( ， )，若存在不為零的實(shí)數(shù)k和角α，使向量 ＝ ＋(sinα－3) , ＝－k ＋(sinα) ,且 ⊥ ，試求實(shí)數(shù)k 的取值范圍。
[點(diǎn)撥] 將例題中的t略加改動(dòng)，舊題新掘，出現(xiàn)了意想不到的效果，很好地考查了向量與三角函數(shù)綜合運(yùn)用能力。
解：仿例3（1）解法（二）可得
k＝ ( sinα－ )2－ ,而－1≤sinα≤1,
∴當(dāng)sinα＝－1時(shí)，k取最大值1； sinα＝1時(shí)，k取最小值－ .
又∵k≠0 ∴k的取值范圍為 .
4. 平面向量在平面幾何中的應(yīng)用
例8、如圖在Rt ABC中，已知BC=a，若長(zhǎng)為2a的線段PQ以A為中點(diǎn)，問(wèn) 與 的夾角 取何值時(shí)， 的值最大？并求出這個(gè)最大值
解：以直角頂點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，兩直角邊所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系。設(shè)AB=c，AC=b，則A（0，0），B（c，0），C（0，b）.且PQ=2a，BC=a.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則Q（-x，-y），
∴cx-by=a2cos .∴ =- a2+ a2cos .故當(dāng)cos =1，即 =0（ 方向相同）時(shí)， 的值最大，其最大值為0.
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查向量的概念，運(yùn)算法則及函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，平面向量與幾何問(wèn)題的融合。考查學(xué)生運(yùn)用向量知識(shí)解決綜合問(wèn)題的能力。
例9、已知A、B為拋物線 (p>0)上兩點(diǎn)，直線AB過(guò)焦點(diǎn)F，A、B在準(zhǔn)線上的射影分別為C、D，
（1）若 ，求拋物線的方程。
（2）CD是否恒存在一點(diǎn)K，使得
D K C
解：（1）提示：記A（ ）、B （ ）設(shè)直線AB方程為 代入拋物線方程得
（2）設(shè)線段AB中點(diǎn)P在在準(zhǔn)線上的射影為T，
則
＝ － ＝ － ＝0
故存在點(diǎn)K即點(diǎn)T，使得
[實(shí)質(zhì)：以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切]
[變式]（2004全國(guó)湖南文21）如圖，過(guò)拋物線x2=4y的對(duì)稱軸上任一點(diǎn)P（0,m）(m>0)作直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn).設(shè)點(diǎn)P分有向線段 所成的比為 ，證明: ；
解：依題意，可設(shè)直線AB的方程為 代入拋物線方程 得
①
設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是 、 、x2是方程①的兩根.
所以
由點(diǎn)P（0，m）分有向線段 所成的比為 ，
得
又點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，
故點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（0，－m），從而 .
所以
【模擬演練】
一、選擇題
1．已知點(diǎn)M1（6，2）和M2（1，7），直線y=mx－7與線段M1M2的交點(diǎn)分有向線段M1M2的比為3：2，則的值為 （ ）
A． B． C． D．4
2．已知a,b是非零向量且滿足（a－2b）⊥a，（b－2a）⊥b，則a與b的夾角是 （ ）
A． B． C． D．
3．已知向量 =(2，0),向量 =（2，2），向量 =（ ），則向量 與向量 的夾角的范圍為 （ ）
A．［0， ］ B．［ ， ］ C．［ ， ］ D．［ ， ］
4．設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O，拋物線y2=2x與過(guò)焦點(diǎn)的直線交于A，B兩點(diǎn)，則 ? = （ ）
A． B． C．3 D．－3
5． O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足 = +λ( )， ，則點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△ABC的（ ）
A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心
6．已知平面上直線l的方向向量e=（ , ），點(diǎn)O（0，0）和A(1, －2)在上的射影分別是O/和A/，則 ，其中λ=（ ）
A． B． C．2 D．－2
7、 （ ）
A． B. C. D. 1
8、已知 ， ，則向量 與 （ ）
A.互相平行 B. 夾角為 C.夾角為 D.互相垂直
9、已知向量 的夾角是（ ）
A． B． C． D．
10、若向量 ， ，則 等于（ ）
A. B. C. D.
11、已知非零向量 若 且 又知 則實(shí)數(shù) 的值為 （ ）
A. B. C. 3 D. 6
12. 把函數(shù)y＝ 的圖象按a＝（－1，2）平移到F′，則F′的函數(shù)解析式為
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝
二、填空題
13．已知向量a、b的夾角為 ，a＝2，b＝1，則a＋ba－b的值是 .
14.已知M、N是△ABC的邊BC、CA上的點(diǎn)，且 ＝ , ＝ ,設(shè) ＝ ， ＝ ，則 ＝ .
15. △ABC中， ,其中A、B、C是△ABC的三內(nèi)角，則△ABC是 三角形。
16. 已知 為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) 滿足 ，其中 且 ，則 的軌跡方程為 .
三、解答題
17. 已知向量 ， .（1）若 ，試判斷 與 能否平行
（2）若 ，求函數(shù) 的最小值.
18. 設(shè)函數(shù) ，其中向量 ， .
（1）求函數(shù) 的最大值和最小正周期；
（2）將函數(shù) 的圖像按向量 平移，使平移后得到的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱，求長(zhǎng)度最小的 .
19. 如圖，△ABC的頂點(diǎn)A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，A為圓心，直徑PQ＝2ｒ，問(wèn)：當(dāng)P、Q取什么位置時(shí)， ? 有最大值?
20. 已知定點(diǎn)F（1，0），動(dòng)點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PM交x軸于點(diǎn)M，并延長(zhǎng)MP至點(diǎn)N，且
（1）求動(dòng)點(diǎn)N的軌跡方程；
（2）直線l與動(dòng)點(diǎn)N的軌跡交于A、B兩點(diǎn)，若 且4 ≤ ≤ ，求直線l的斜率的取值范圍
21. 已知點(diǎn) 是圓 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) 作 軸于點(diǎn) ，設(shè) .
（1）求點(diǎn) 的軌跡方程；
（2）求向量 和 夾角的最大值，并求此時(shí) 點(diǎn)的坐標(biāo)
22. 在一個(gè)特定時(shí)段內(nèi)，以點(diǎn)E為中心的7海里以內(nèi)海域被設(shè)為警戒水域.點(diǎn)E正北55海里處有一個(gè)雷達(dá)觀測(cè)站A.某時(shí)刻測(cè)得一艘勻速直線行駛的船只位于點(diǎn)A北偏東 且與點(diǎn)A相距40 海里的位置B，經(jīng)過(guò)40分鐘又測(cè)得該船已行駛到點(diǎn)A北偏東 + (其中sin = ， )且與點(diǎn)A相距10 海里的位置C.
（1）求該船的行駛速度（單位：海里/小時(shí)）;
（2）若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛.判斷
它是否會(huì)進(jìn)入警戒水域，并說(shuō)明理由.
專題訓(xùn)練答案
一、選擇題
1. D 2. B 3. D 4. B 5. B 6. D 7．A 8．A 9．D 10．B
11．D 12． A
二、填空題
13． 14. ；15.直角16.
三、解答題
17. 解：（1）若 與 平行，則有 ，因?yàn)?， ，所以得 ，這與 相矛盾，故 與 不能平行.
（2）由于 ，又因?yàn)?，所以 ， 于是 ，當(dāng) ，即 時(shí)取等號(hào).故函數(shù) 的最小值等于 .
18．解：（1）由題意得，f(x)＝a?(b+c)=(sinx,－cosx)?(sinx－cosx,sinx－3cosx)
＝sin2x－2sinxcosx+3cos2x＝2+cos2x－sin2x＝2+ sin(2x+ ).
所以，f(x)的最大值為2+ ，最小正周期是 ＝ .
（2）由sin(2x+ )＝0得2x+ ＝k. ，即x＝ ,k∈Z，
于是d＝（ ，－2）， k∈Z.
因?yàn)閗為整數(shù)，要使 最小，則只有k＝1，此時(shí)d＝（? ，?2）即為所求.
19. 解： ? ＝（ ）?（ ）
＝（ ）?（－ ）
＝－r2＋ ? ?
設(shè)∠BAC＝α，PA的延長(zhǎng)線與BC的延長(zhǎng)線相交于D，∠PDB＝θ，則
? ＝－r2＋cbcosθ＋racosθ
∵a、b、c、α、r均為定值，
∴當(dāng)cosθ＝1，即AP∥BC時(shí)， ? 有最大值.
20. 略解 （1）y2＝4x (x＞0)
（2）先證明l與x軸不垂直，再設(shè)l的方程為
y＝kx＋b(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2).聯(lián)立直線與拋物線方程，得
ky2－ 4y＋4b＝0,由 ，得 .
又 故 而
解得直線l的斜率的取值范圍是
21. 解析：（1）設(shè) ， ，則 ， ，
.
（2）設(shè)向量 與 的夾角為 ，則 ，
令 ，則 ，
當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，即 點(diǎn)坐標(biāo)為 時(shí)，等號(hào)成立.
22. 解: （I）如圖，AB=40 ，AC=10 ，
由于 ,所以cos =
由余弦定理得BC=
所以船的行駛速度為 （海里/小時(shí)）.
（2）解法一 如圖所示，以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別是B（x1，y2）, C（x1，y2）,
BC與x軸的交點(diǎn)為D.
由題設(shè)有，x1=y1= AB=40,
x2=ACcos ,
y2=ACsin
所以過(guò)點(diǎn)B、C的直線l的斜率k= ,直線l的方程為y=2x-40.
又點(diǎn)E（0，-55）到直線l的距離d=
所以船會(huì)進(jìn)入警戒水域.
本文來(lái)自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/gaosan/57899.html
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