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2015屆高三年級第五次月考
數(shù) 學(xué) 試 卷(文)
第Ⅰ卷
一、:本大題共12小題,每小題5分,滿分60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1. 設(shè)集合A={0,1},B={-1,0,a+3},且A B,則a=( )
A.1 B.0 C.-2 D.-3
2. 設(shè)復(fù)數(shù)Z滿足( ,則Z=( )
A. B. C.1 D.2
3.設(shè) 為兩個不同平面,m、 n為兩條不同的直線,且 有兩個命題:
P:若m∥n,則 ∥β;q:若m⊥β, 則α⊥β. 那么( )
A.“p或q”是假命題 B.“p且q”是真命題
C.“非p或q”是假命題 D.“非p且q”是真命題
4. 在平面直角坐標(biāo)系中,已知向量 若 ,則x=( )
A.-2 B.-4 C.-3 D.-1
5.在等差數(shù)列{an}中,a9= a12+6,則數(shù)列{an}的前11項和S11=( )
A.24 B.48 C.66 D.132
6.在?ABC中,三邊a,b,c所對的角分別為A,B,C,若a2+b2= ab+c2,則角C為( )
A.30°B.45° C.150° D.135°
7.若將函數(shù)y=tanωx+π4(ω>0)的圖象向右平移π6個單位長度后,與函數(shù)y=tanωx+π6的圖象重合,則ω的最小值為( )
A.16 B.14 C.13 D.12
8.設(shè)偶函數(shù)f(x)滿足f(x)=2x-4(x>0),則不等式f(x-2)>0的解集為( )
A.{xx<-2或x>4} B.{xx<0或x>4} C.{xx<0或x>6} D.{xx<-2或x>2}
9.如圖是一個幾何體的三視圖,正視圖和側(cè)視圖
均為矩形,俯視圖中曲線部分為半圓,尺寸如
圖,則該幾何體的全面積為( )
A.2+3 B.2+2
C.8+5 D.6+3
10. 若關(guān)于直線m,n與平面α,β,有下列四個命題:
①若m∥α,n∥β,且α∥β,則m∥n;
②若m⊥α,n⊥β,且α⊥β,則m⊥n;
③若m⊥α,n∥β,且α∥β,則m⊥n;
④若m∥α,n⊥β,且α⊥β,則m∥n;
其中真命題的序號( )
A.①② B.③④ C.②③D.①④
11.三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,AC⊥BC,AC=BC=1,PA= ,則該三棱錐外接球的表面積為( )
A.5 B. C.20 D.4
12.設(shè)方程lnx=-x與方程ex=-x(其中e是自然對數(shù)的底數(shù))的所有根之和為m,則( )
A.m<0 B. m=0 C.0<m<1 D.m>1
第Ⅱ卷
本卷包括必考題和選考題兩部分.第13題~第21題為必考題,每個試題考生都必須做答.第22題~第24題為選考題,考生根據(jù)要求做答.
二、題:本大題共4小題,每小題5分.
13.與直線x+ y-1=0垂直的直線的傾斜角為________
14.已知關(guān)于x, y的二元一次不等式組 ,則3x-y的最大值為__________
15.如圖,在三角形ABC中,AD⊥AB,
________.
16.?dāng)?shù)列{an}的通項為an=(-1)n 前n項和為Sn, 則S100=_________.
三、解答題:本大題共5小題,共計70分。解答應(yīng)寫出文字說明.證明過程或演算步驟
17.(本小題滿分12分)
等比數(shù)列 的各項均為正數(shù),且
(1)求數(shù)列 的通項公式;
(2)設(shè) 求數(shù)列 的前n項和.
18.(本小題滿分12分)
已知函數(shù)f(x)=cos(2x+π3)+sin2x
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間及最小正周期;
(2)設(shè)銳角△ABC的三內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若c=6,cosB=13,
f(C2)=-14,求b.
19.(本小題滿分12分)
已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC,點D是AB的中點
(1)求證:BC1∥平面CA1D
(2)求證:平面CA1D⊥平面AA1B1B
(3)若底面ABC為邊長為2的正三角形,BB1=
求三棱錐B1-A1DC的體積
20. (本小題12分)
“地溝油”嚴(yán)重危害了人民群眾的身體健康,某企業(yè)在政府部門的支持下,進(jìn)行技術(shù)攻關(guān),新上了一種從“食品殘渣”中提煉出生物柴油的項目,經(jīng)測算,該項目月處理成本y(元)與月處理量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可以近似的表示為:
且每處理一噸“食品殘渣”,可得到能利用的生物柴油價值為200元,若該項目不獲利,政府將補貼.
(1)當(dāng)x∈[200,300]時,判斷該項目能否獲利?如果獲利,求出最大利潤;如果不獲利,則政府每月至少需要補貼多少元才能使該項目不虧損.
(2)該項目每月處理量為多少噸時,才能使每噸的平均處理成本最低?
21.(本小題滿分12分)
已知函數(shù) , ( ).
(1)求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間;
(2)求證:當(dāng) 時,對于任意 ,總有 成立
請考生在第22、23、24三題中任選一題做答,如果多做,則按所做的第一題記分.答時用2B鉛筆在答題卡上把所選題目的題號涂黑.
22.(本小題滿分10分)選修4—1:幾何證明選講
如圖,直線 經(jīng)過⊙ 上的點 ,并且 ⊙ 交直線 于 , ,連接 .
(1)求證:直線 是⊙ 的切線;
(2)若 ⊙ 的半徑為3,求 的長.
23.(本小題滿分10分)選修4-4:極坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知直線 的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),曲線C的參數(shù)方程為
( 為參數(shù))。
(1)已知在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位,且以原點O為極點,以x軸正半軸為極軸)中,點P的極坐標(biāo)為 ,判斷點P與直線 的位置關(guān)系;
(2)設(shè)點Q是曲線C上的一個動點,求點Q到直線 的距離的最小值與最大值。
24.(本小題滿分10分)選修4-5:不等式選講
(1)解關(guān)于 的不等式 ;
(2)若關(guān)于 的不等式 有解,求實數(shù) 的取值范圍.
2015屆高三第四次月考數(shù)學(xué)(文)參考答案
1—5.CCDDD, 6—10.BDBAC 11.A 12.B
13. , 14. 5 15. , 16. 150
17.解:(Ⅰ)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,由 得 所以 。
由條件可知a>0,故 。
由 得 ,所以 。
故數(shù)列{an}的通項式為an= 。
(Ⅱ )
故
所以數(shù)列 的前n項和為
18【解析】(1)∵f(x)=cos(2x+π3)+sin2x=cos2xcosπ3-sin2xsinπ3+1-cos2x2=12cos2x-32sin2x+12-12cos2x=-32sin2x+12,∴最小正周期T=2π2=π,令2kπ-π2≤2x≤2kπ+π2(k∈Z),
得kπ-π4≤x≤kπ+π4,k∈Z,∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是[kπ-π4,kπ+π4](k∈Z).
(2)由(1)f(x)=-32sin2x+12得:f(C2)=-32sinC+12=-14,∴sinC=32,又cosB=13,∴sinB=1-(13)2=223,∴bsinB=csinC,即b=c•sinBsinC=6×22332=
19.證明(1)連接AC1交A1C于點E,連接DE
因為四邊形AA1C1C是矩形,則E為AC1的中點
又D是AB的中點,DE∥BC1,
又DE 面CA1D,BC1 面CA1D,BC1∥面CA1
證明(2)AC=BC,D是AB的中點,AB⊥CD,
又AA1⊥面ABC,CD 面ABC,AA1⊥CD,
AA1∩AB=A, CD⊥面AA1B1B, CD 面CA1D,
平面CA1D⊥平面AA1B1B
解: ,則(2)知CD⊥面ABB1B, 所以高就是CD= ,BD=1,BB1= ,所以A1D=B1D=A1B1=2, ,
20.(1)當(dāng)x∈[200,300]時,設(shè)該項目獲利為S,則
S=200x-(12x2-200x+80 000)=-12x2+400x-80 000=-12(x-400)2,
所以當(dāng)x∈[200,300]時,S<0.因此,該項目不會獲利.當(dāng)x=300時,S取得最大值-5 000,
所以政府每月至少需要補貼5 000元才能使該項目不虧損.
(2)由題意可知,食品殘渣的每噸平均處理成本為:
①當(dāng)x∈[120,144)時,yx=13x2-80x+5 040=13(x-120)2+240,∴當(dāng)x=120時,
yx取得最小值240;
②當(dāng)x∈[144,500)時,yx=12x+80 000x-200≥212x•80 000x-200=200.
當(dāng)且僅當(dāng)12x=80 000x,即x=400時,yx取得最小值200.∵200<240,
∴當(dāng)每月處理量為400噸時,才能使每噸的平均處理成本最低
21. 解:(Ⅰ)函數(shù) 的定義域為 , .
當(dāng) 時,
當(dāng) 變化時, , 的變化情況如下表:
???
當(dāng) 時,
當(dāng) 變化時, , 的變化情況如下表:
綜上所述,
當(dāng) 時, 的單調(diào)遞增區(qū)間為 ,單調(diào)遞減區(qū)間為 , ;
當(dāng) 時, 的單調(diào)遞增區(qū)間為 , ,單調(diào)遞減區(qū)間為 .
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,當(dāng) 時,
在 上單調(diào)遞增, ; 在 上單調(diào)遞減,且 .
所以 時, .
因為 ,所以 ,令 ,得 .
①當(dāng) 時,由 ,得 ;由 ,得 ,
所以函數(shù) 在 上單調(diào)遞增,在 上單調(diào)遞減.
所以 .
因為 ,
所以對于任意 ,總有 .
②當(dāng) 時, 在 上恒成立,
所以函數(shù) 在 上單調(diào)遞增, .
所以對于任意 ,仍有 .
綜上所述,對于任意 ,總有
22證明:(Ⅰ)如圖,連接OC, OA =OB,CA=CB,
是圓的半徑, 是圓的切線. (3分)
(Ⅱ) 是直徑,
又
2 (5分)
∽ (7分)
設(shè) ,則 , ….(9分)
(10)分
23.選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
解:(Ⅰ)將點 化為直角坐標(biāo),得 ,…………………………(2分)
直線 的普通方程為 ,顯然點 不滿足直線 的方程,
所以點 不在直線 上.………………………………………………………………(5分)
(Ⅱ)因為點 在曲線 上,故可設(shè)點 ,…………………(6分)
點 到直線 : 的距離為
,…………………(8分)
所以當(dāng) 時, ,
當(dāng) 時, .
故點 到直線 的距離的最小值為 ,最大值為 .………………(10分)
24.選修4-5:不等式選講
5 Y
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