高中數(shù)學復習講義 第六章 不等式
【知識圖解】

【方法點撥】
不等式是高中數(shù)學的重要內(nèi)容之一，不等式的性質(zhì)是解、證不等式的基礎，兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理及其變形在不等式的證明和解決有關(guān)不等式的實際問題中發(fā)揮著重要的作用.解不等式是研究方程和函數(shù)的重要工具，不等式的概念和性質(zhì)涉及到求最大（�。┲�，比較大小，求參數(shù)的取值范圍等，不等式的解法包括解不等式和求參數(shù)，不等式的綜合題主要是不等式與集合、函數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)、解析幾何、導數(shù)等知識的綜合，綜合性強，難度較大，是高考命題的熱點，也是高考復習的難點.
1.掌握用基本不等式求解最值問題，能用基本不等式證明簡單的不等式，利用基本不等式求最值時一定要緊扣“一正、二定、三相等”這三個條件。
2.一元二次不等式是一類重要的不等式，要掌握一元二次不等式的解法，了解一元二次不等式與相應函數(shù)、方程的聯(lián)系和相互轉(zhuǎn)化。
3.線性規(guī)劃問題有著豐富的實際背景，且作為最優(yōu)化方法之一又與人們?nèi)粘Ｉ�活密切相關(guān)，對于這部分內(nèi)容應能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組，能解決簡單的線性規(guī)劃問題。同時注意數(shù)形結(jié)合的思想在線性規(guī)劃中的運用。

第1課　基本不等式
【考點導讀】
1.能用基本不等式證明其他的不等式，能用基本不等式求解簡單的最值問題。
2.能用基本不等式解決綜合形較強的問題。
【基礎練習】
1.“a>b>0”是“ab< ”的充分而不必要條件(填寫充分而不必要條件、必要而不充分條件、充分必要條件、既不充分也不必要條件)
2. 的最小值為
3.已知 ，且 ，則 的最大值為
4.已知 ，則 的最小值是2
【范例導析】
例1.已知 ，求函數(shù) 的最大值.
分析：由于 ，所以首先要調(diào)整符號.
解：∵ ∴
∴y=4x-2+ = ≤-2+3=1
當且僅當 ，即x=1時，上式成立，故當x=1時， .
例2.（1）已知a，b為正常數(shù)，x、y為正實數(shù)，且 ，求x+y的最小值。
（2） 已知 ，且 ，求 的最大值．
分析：問題（1）可以采用常數(shù)代換的方法也可以進行變量代換從而轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)再利用基本不等式求解；問題（2）既可以直接利用基本不等式將題目中的等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于 的不等式，也可以采用變量代換轉(zhuǎn)換為一元函數(shù)再求解.
解:(1)法一：直接利用基本不等式： ≥ 當且僅當 ，即 時等號成立
法二：
由 得

∵ x>0，y>0，a>0 ∴ 由 >0得y-b>0 ∴ x+y≥
當且僅當 ，即 時，等號成立
（2）法一：由 ，可得， ．

注意到 ．可得， ．
當且僅當 ，即 時等號成立，代入 中得 ，故 的最大值為18．
法二： ， ，
代入 中得：
解此不等式得 ．下面解法見解法一，下略．
點撥：求條件最值的問題，基本思想是借助條件化二元函數(shù)為一元函數(shù)，代入法是最基本的方法，也可考慮通過變形直接利用基本不等式解決.

【反饋練習】
1.設a＞1,且 ,則 的大小關(guān)系為m＞p＞n
2.已知下列四個結(jié)論：
①若 則 ； ②若 ,則 ；
③若 則 ； ④若 則 。
其中正確的是④
3.已知不等式 對任意正實數(shù) 恒成立，則正實數(shù) 的最小值為6
4.（1）已知： ，且： ，求證： ，并且求等號成立的條件．
（2）設實數(shù)x，y滿足y+x2=0，0解： （1）分析：由已知條件 ，可以考慮使用均值不等式，但所求證的式子中有 ，無法利用 ，故猜想先將所求證的式子進行變形，看能否出現(xiàn) 型，再行論證．
證明：
等號成立
當且僅當 時．
由以上得
即當 時等號成立．
說明：本題是基本題型的變形題．在基本題型中，大量的是整式中直接使用的均值不等式，這容易形成思維定式．本題中是利用條件將所求證的式子化成分式后再使用均值不等式．要注意靈活運用均值不等式．
（2）∵ ≥ ，
≤ ，0∴ ≥ ∴ ≥
∴ ≤

第2課　一元二次不等式
【考點導讀】
1.會解一元二次不等式，了解一元二次不等式與相應函數(shù)、方程之間的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化。
2.能運用一元二次不等式解決綜合性較強的問題.
【基礎練習】
1.解不等式：
（1） （2）
（3） （4）
解：（1）原不等式化為 ，解集為
（2）原不等式化為 ，解集為R
（3）原不等式化為 ，解集為
（4）由
得

點撥：解一元二次不等式要注意二次項系數(shù)的符號、對應方程 的判斷、以及對應方程兩根大小的比較.
2. 函數(shù) 的定義域為
3..二次函數(shù)y=ax2+bx+c(x∈R)的部分對應值如下表：

x-3-2-101234
y60-4-6-6-406

則不等式ax2+bx+c>0的解集是
4.若不等式 的解集是 ，則b=__-2____ c=__-3____.
【范例導析】
例.解關(guān)于ｘ的不等式
分析：本題可以轉(zhuǎn)化為含參的一元二次不等式，要注意分類討論.

解:原不等式等價于 ∵ ∴等價于：
（*）
a>１時，（*）式等價于 >0∵ <１∴x< 或x>２
a<１時，（*）式等價于 <0由２－ ＝ 知：
當0２，∴２當a<0時， <２，∴ 當a＝0時，當 ＝２，∴x∈φ
綜上所述可知：當a<0時，原不等式的解集為（ ，2）；當a＝0時，原不等式的解集為φ；當0１時，原不等式的解集為（－∞， ）∪（2，＋∞）。
思維點撥:含參數(shù)不等式,應選擇恰當?shù)挠懻摌藴蕦λ�含字母分類討�?要做到不重不漏.

【反饋練習】
1.若關(guān)于x的不等式 的解集為R，則 的取值范圍是
2.不等式 解集為 ，則ab值分別為-12，-2
3.若函數(shù)f(x) = 的定義域為R，則 的取值范圍為
4.已知M是關(guān)于x的不等式2x2+(3a－7)x+3＋a－2a2<0解集，且M中的一個元素是0，求實數(shù)a的取值范圍，并用a表示出該不等式的解集.
解：原不等式即(2x－a－1)(x＋2a－3)<0，
由 適合不等式故得 ，所以 ，或 .
若 ，則 ，∴ ，
此時不等式的解集是 ；
若 ，由 ，∴ ，
此時不等式的解集是 。

第3課　線性規(guī)劃
【考點導讀】
1.會在直角坐標系中表示二元一次不等式、二元一次不等式組對應的區(qū)域，能由給定的平面區(qū)域確定所對應的二元一次不等式、二元一次不等式組.
2.能利用圖解法解決簡單的線性規(guī)劃問題，并從中體會線性規(guī)劃所體現(xiàn)的用幾何圖形研究代數(shù)問題的思想.
【基礎練習】
1.原點（0,0）和點P（1,1）在直線 的兩側(cè)，則a的取值范圍是02. 設集合 ，則A所表示的平面區(qū)域(不含邊界的陰影部分)是( A )

A B C D
3.下面給出四個點中，位于 表示的平面區(qū)域內(nèi)的點是（　C　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
4.由直線x+y+2=0，x+2y+1=0，2x+y+1=0圍成的三角形區(qū)域（不含邊界）用不等式表示為
5.在坐標平面上，不等式組 所表示的平面區(qū)域的面積為
【范例導析】
例1.設x,y滿足約束條件 ,求目標函數(shù)z=6x+10y的最大值，最小值。
分析：求目標函數(shù)的最值，必須先畫出準確的可行域，然后把線性目標函數(shù)轉(zhuǎn)化為一族平行直線，這樣就把線性規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為一族平行直線與一平面區(qū)域有交點，直線在y軸上截距的最大值與最小值問題.
解：先作出可行域，如圖所示中 的區(qū)域，
且求得A(5,2),B(1,1),C(1, )
作出直線L0：6x+10y=0，再將直線L0平移
當L0的平行線過B點時，可使z=6x+10y達到最小值
當L0的平行線過A點時，可使z=6x+10y達到最大值
所以zmin=16;zmax=50
點撥：幾個結(jié)論：(1)、線性目標函數(shù)的最大（�。┲狄话阍诳尚杏虻捻旤c處取得，也可能在邊界處取得。
（2）、求線性目標函數(shù)的最優(yōu)解，要注意分析線性目標函數(shù)所表示的幾何意義——在y軸上的截距或其相反數(shù)。

例2.已知 ，
（1）求 的最大和最小值。
（2）求 的取值范圍。
（3） 求 的最大和最小值。
解析：注意目標函數(shù)是代表的幾何意義.
解：作出可行域。
（1） ，作一組平行線l： ，解方程組 得最優(yōu)解B（3，1）， 。解 得最優(yōu)解C（7，9），
（2） 表示可行域內(nèi)的點（x,y）與（0，0）的連線的斜率。從圖中可得， ，又 ， 。
（3） 表示可行域內(nèi)的點（x,y）到（0，0）的距離的平方。從圖中易得， ，（OF為O到直線AB的距離）， 。 ， ， ， 。
點撥：關(guān)鍵要明確每一目標函數(shù)的幾何意義，從而將目標函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為某幾何量的取值范圍.
例3．本公司計劃2008年在甲、乙兩個電視臺做總時間不超過300分鐘的廣告，廣告總費用不超過9萬元，甲、乙電視臺的廣告收費標準分別為 元/分鐘和200元/分鐘，規(guī)定甲、乙兩個電視臺為該公司所做的每分鐘廣告，能給公司事來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元．問該公司如何分配在甲、乙兩個電視臺的廣告時間，才能使公司的收益最大，最大收益是多少萬元？
分析：本例是線性規(guī)劃的實際應用題，其解題步驟是：（1）設出變量，列出約束條件及目標函數(shù)；（2）畫出可行域（3）觀察平行直線系 的運動，求出目標函數(shù)的最值.
解：設公司在甲電視臺和乙電視臺做廣告的時間分別為 分鐘和 分鐘，總收益為 元，由題意得
目標函數(shù)為 ．
二元一次不等式組等價于
作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域．
如圖：
作直線 ，
即 ．
平移直線 ，從圖中可知，當直線 過 點時，目標函數(shù)取得最大值．
聯(lián)立 解得 ．
點 的坐標為 ．
（元）
答：該公司在甲電視臺做100分鐘廣告，在乙電視臺做200分鐘廣告，公司的收益最大，最大收益是70萬元．

【反饋練習】
1.不等式組 表示的平面區(qū)域是一個三角形，則 的取值范圍是
2.已知點P（x，y）在不等式組 表示的平面區(qū)域上運動，則z＝x－y的取值范圍是[－1，2]
3.設 、 滿足約束條件 則使得目標函數(shù) 的最大的點 是（2,3）．
4.已知實數(shù) 滿足 則 的取值范圍是
5.畫出以A（3，－1）、B（－1，1）、C（1，3）為頂點的△ABC的區(qū)域（包括各邊），寫出該區(qū)域所表示的二元一次不等式組，并求以該區(qū)域為可行域的目標函數(shù)z=3x－2y的最大值和最小值.
分析：本例含三個問題：①畫指定區(qū)域；②寫所畫區(qū)域的代數(shù)表達式——不等式組；③求以所寫不等式組為約束條件的給定目標函數(shù)的最值
解：如圖，連結(jié)點A、B、C，則直線AB、BC、CA所圍成的區(qū)域為所求△ABC區(qū)域
直線AB的方程為x+2y－1=0，BC及CA的直線方程分別為x－y+2=0，2x+y－5=0
在△ABC內(nèi)取一點P（1，1），
分別代入x+2y－1，x－y+2，2x+y－5
得x+2y－1>0，x－y+2>0，2x+y－5<0
因此所求區(qū)域的不等式組為
x+2y－1≥0，x－y+2≥0，2x+y－5≤0
作平行于直線3x－2y=0的直線系3x－2y=t（t為參數(shù)），即平移直線y= x，觀察圖形可知：當直線y= x－ t過A（3，－1）時，縱截距－ t最小 此時t最大，tmax=3×3－2×（－1）=11；當直線y= x－ t經(jīng)過點B（－1，1）時，縱截距－ t最大，此時t有最小值為tmin= 3×（－1）－2×1=－5
因此，函數(shù)z=3x－2y在約束條件x+2y－1≥0，x－y+2≥0，2x+y－5≤0下的最大值為11，最小值為－5
。

第4課　不等式綜合
【考點導讀】
能利用不等式性質(zhì)、定理、不等式解法及證明解決有關(guān)數(shù)學問題和實際問題，如最值問題、恒成立問題、最優(yōu)化問題等.
【基礎練習】
1.若函數(shù) ，則 與 的大小關(guān)系是
2.函數(shù) 在區(qū)間 上恒為正，則 的取值范圍是0＜a＜2
3.當點 在直線 上移動時， 的最小值是7
4.對于0≤m≤4的m，不等式x2+mx＞4x+m－3恒成立，則x的取值范圍是x＞3或x＜－1
【范例導析】
例1、已知集合 ，函數(shù) 的定義域為Q
（1）若 ，求實數(shù)a的取值范圍。
（2）若方程 在 內(nèi)有解，求實數(shù)a的取值范圍。
分析：問題（1）可轉(zhuǎn)化為 在 內(nèi)有有解；從而和問題（2）是同一類型的問題，既可以直接構(gòu)造函數(shù)角度分析，亦可以采用分離參數(shù).
解：（1）若 ， 在 內(nèi)有有解
令 當 時，
所以a>-4,所以a的取值范圍是
（2）方程 在 內(nèi)有解， 則 在 內(nèi)有解。

當 時，
所以 時， 在 內(nèi)有解
點撥：本題用的是參數(shù)分離的思想.

例2.甲、乙兩地相距 ，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不超過 ，已知汽車每小時的運輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度 的平方成正比，且比例系數(shù)為 ；固定部分為 元．
（1）把全程運輸成本 元表示為速度 的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域；
（2）為了使全程運輸成本最小，汽車應以多大速度行駛？
分析：需由實際問題構(gòu)造函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題求解
解：（1）依題意知汽車從甲地勻速行駛到乙地所用的時間為 ，全程運輸成本為
．故所求函數(shù)為 ，定義域為 ．
（2）由于 都為正數(shù)，
故有 ，即 ．
當且僅當 ，即 時上式中等號成立．
若 時，則 時，全程運輸成本 最��；
當 ，易證 ，函數(shù) 單調(diào)遞減，即 時， ．
綜上可知，為使全程運輸成本 最小，
在 時，行駛速度應為 ；
在 時，行駛速度應為 ．
點撥：本題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式、不等式性質(zhì)（公式）的應用．也是綜合應用數(shù)學知識、思想和方法解決實際問題的一道優(yōu)秀試題．

【反饋練習】
1.設 ，函數(shù) ，則使 的 的取值范圍是
2.如果函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞，a]，那么實數(shù)a的取值范圍是____ a<-1____
3.若關(guān)于 的不等式 對任意 恒成立，則實數(shù) 的取值范圍為
4已知二次函數(shù)f (x)= ,設方程f (x)=x的兩個實根為x1和x2．如果x1<2＜x2<4，且函數(shù)f (x)的對稱軸為x=x0，求證：x0＞—1．

本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/gaosan/58612.html

相關(guān)閱讀：第十二章立體幾何(高中數(shù)學競賽標準教材)