專題一：集合、常用邏輯用語、不等式、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)
第三講 函數(shù)與方程及函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用
【最新考綱透析】
1．函數(shù)與方程
（1）結(jié)合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系，判斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù)。
（2）根據(jù) 具體函數(shù)的圖象，能夠用二分法求相應(yīng)方程的近似解。
2．函數(shù)模型及其應(yīng)用
（1）了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長特征，知道直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義。
（2）了解函數(shù)模型（如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會(huì)生活中普遍使用的函數(shù)模型）的廣泛應(yīng)用。
【核心要點(diǎn)突破】
要點(diǎn)考向一：函數(shù)零點(diǎn)問題
考情聚焦：1.函數(shù)的零點(diǎn)是新課標(biāo)的新增內(nèi)容,其實(shí)質(zhì)是相應(yīng)方程的根,而方程是高考重點(diǎn)考查內(nèi)容, 因而函數(shù)的零點(diǎn)亦成為新課標(biāo)高考命題的熱點(diǎn).
2.常與函數(shù)的圖象、性質(zhì)等知識交匯命題，多以選擇、填空題的形式考查。
考向鏈接：1.函數(shù)零點(diǎn)（方程的根）的確定問題，常見的類型有（1）零點(diǎn)或零點(diǎn)存在區(qū)間的確定；（2）零點(diǎn)個(gè)數(shù)的確定；（3）兩函數(shù)圖象交戰(zhàn)的橫坐標(biāo)或有幾個(gè)交點(diǎn)的確定；解決這類問題的常用方法有：解方 程法、利用零點(diǎn)存在的判定或數(shù)形結(jié)合法，尤其是那些方程兩端對應(yīng)的函數(shù)類型不同的方程多以數(shù)形結(jié)合法求解。
2．函數(shù)零點(diǎn)（方程的根）的應(yīng)用問題，即已知函數(shù)零點(diǎn)的存在情況求參數(shù)的值或取值范圍問題，解決該類問題關(guān)鍵是利用函數(shù)方程思想或數(shù)形結(jié)合思想，構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的方程或不等式求解。
例1：（2010?福建高考文科?Ｔ7）函數(shù) 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
【命題立意】本題從分段函數(shù)的角度出發(fā)，考查了學(xué)生對基本初等函數(shù)的掌握程度。
【思路點(diǎn)撥】作出分段函數(shù)的圖像，利用數(shù)形結(jié)合解題。
【規(guī)范解答】選C， ，繪制出圖像大致如右圖，所以零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2。
【方法技巧】本題也可以采用分類討論的方法進(jìn)行求解。
令 ，則
（1）當(dāng) 時(shí)， ， 或 （舍去）；
（2）當(dāng) 時(shí)， ，
綜上述：函數(shù) 有兩個(gè)零點(diǎn)。
要點(diǎn)考向二：用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值
考情聚焦：1.該考向雖然在近幾年新課標(biāo)高考中從未涉及,但由于二分法是求方程根的近似值的重要方法,其又是新課標(biāo)新增內(nèi)容,預(yù)計(jì)在今后的新課標(biāo)高考中可能會(huì)成為新的亮點(diǎn).
2.該類問題常與函數(shù)的圖象、性質(zhì)交匯命題，考查學(xué)生的探究和計(jì)算能力。
考向鏈接：用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟
（1）確定區(qū)間[a,b]，驗(yàn)證f(a)?f(b)<0,給定精確度 ；（2）求區(qū)間(a,b)的中點(diǎn) ；（3）計(jì)算f( );
①當(dāng)f( )=0,則 就是函數(shù)的零點(diǎn)；
②若f(a)?f( )<0,則令b= (此時(shí)零點(diǎn) )，
③若f( )?f(b)<0,則令a= (此時(shí)零點(diǎn) )。
(4)判斷是否達(dá)到其精確度 ，則得零點(diǎn)近似值，否則重復(fù)以上步驟。
例2：已知函數(shù)
（1）求證函數(shù) 在區(qū)間[0，1]上存在惟一的極值點(diǎn)。
（2）用二分尖求函數(shù)取得極值時(shí)相應(yīng) 的近似值。（誤差不超過0.2;參數(shù)數(shù)據(jù) ）
【思路解析】求導(dǎo)數(shù)→ → 在[0,1]上單調(diào)→得出結(jié)論→取初始區(qū)間→用二分法逐次計(jì)算→得到符合誤差的近似值.
【解答】
（2）取區(qū)間 [0，1]作為起始區(qū)間，用二分法逐次計(jì)算如下：
區(qū)間中點(diǎn)坐標(biāo)中點(diǎn)對應(yīng)導(dǎo)數(shù)值取值區(qū)間
[0，1]1
[0，0.5]0.5
[0.25,0.5]0.25
由上表可知區(qū)間[0.25,0.5]的長度為0.25,所以該區(qū)間的中點(diǎn) ,到區(qū)間端點(diǎn)距離小于0.2,因此可作為誤差不超過0.2的一個(gè)極值點(diǎn)的相應(yīng) 的值.
函數(shù) 取得極值時(shí),相應(yīng)
要點(diǎn)考向二：函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用
考情聚焦：1.函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用歷年來一直是高考的熱點(diǎn)，考查現(xiàn)實(shí)生活中的熱點(diǎn)問題，如生產(chǎn)經(jīng)營，環(huán)境保護(hù)，工程建設(shè)等相關(guān)的增長率、最優(yōu)化問題。
2．常用導(dǎo)數(shù)、基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性等重要知識求解。
例3：（2010?湖北高考理科?Ｔ17）為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂 和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C（單位：萬元）與隔熱層厚度 （單位：cm）滿足關(guān)系： ，若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬元．設(shè) 為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和．
（Ⅰ）求 的值及 的表達(dá)式；
（Ⅱ）隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用 達(dá)到最小，并求最小值．
【命題立意】本題主要考查由實(shí)際問題求函數(shù)解析式、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值，考查考生的閱讀理解及運(yùn)算求解能力．
【思路點(diǎn)撥】 的表達(dá)式 的最小值
【規(guī)范解答】（Ⅰ）設(shè)隔熱層厚度 cm，由題意建筑物每年的能源消耗費(fèi)用為 ，再由 得 ，故 ；又 厘米厚的隔熱層建造費(fèi)用為 ，所以由題意 = + = + 。
（Ⅱ） ，令 0
得 （舍去），當(dāng) 時(shí)， ，當(dāng) 時(shí)， ，故 時(shí) 取得最小值，且最小值 = =70
.因此當(dāng)隔熱層修建5cm厚時(shí)，總費(fèi)用達(dá)到最小，且最小值為70萬元。
【方法技巧】解 函數(shù)應(yīng)用題的第一關(guān)是：正確理解題意，將實(shí)際問題的要求轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，找出函數(shù)關(guān)系式，注明函數(shù)定義域；第二關(guān)是：針對列出的函數(shù)解析式按題目要求，選擇正確的數(shù)學(xué)思想將其作為一個(gè)純數(shù)學(xué)問題進(jìn)行解答。
【高考真題探究】
1．（2010上海文數(shù)）17.若 是方程式 的解，則 屬于區(qū)間 [答]（ ）
（A）（0，1）. （B）（1，1.25）. （C）（1.25，1.75） （D）（1.75，2）
解析：
知 屬于區(qū)間（1.75，2）
2．（2010天津理數(shù)）（2）函數(shù)f(x)= 的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是
(A)（-2，-1）(B)（-1,0）(C)（0,1）(D)（1,2）
【答案】B
【解析】本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的概念與零點(diǎn)定理的應(yīng)用，屬于容易題。
由 及零點(diǎn)定理知f(x)的零點(diǎn)在區(qū)間（-1，0）上。
【溫馨提示】函數(shù)零點(diǎn)附近函數(shù)值的符號相反，這類選擇題通常采用代入排除的方法求解。
3．（2010福建文數(shù)）21．(本小題滿分12分)
某港口 要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上，在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口 北偏西30°且與該港口相距20海里的 處，并正以30海里/小時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛。假設(shè)該小艇沿直線方向以 海里/小時(shí)的航行速度勻速行駛，經(jīng)過 小時(shí)與輪船相遇。
(Ⅰ)若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？
(Ⅱ)為保證小艇在30分鐘內(nèi)(含30分鐘)能與輪船相遇，試確定小艇航行速度的最小值；
(Ⅲ)是否存在 ，使得小艇以 海里/小時(shí)的航行速度行駛，總能有兩種不同的航行方向與輪船相遇？若存在，試確定 的取值范圍；若不存在，請說明理由。
21.本小題主要考查解三角形、二次函數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、抽象概括能力、運(yùn)算求解能力、應(yīng)用意識，考查函數(shù)函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想。
解法一：
設(shè)相遇時(shí)小艇的航行距離為S海里，則
于是
小艇總能有兩種不同的航行方向與輪船相遇，等價(jià)于方程 應(yīng)有兩個(gè)不等正根，即：
解法二：
（I）若相遇時(shí)小艇的航行距離最小，又輪船沿正東方向勻速行駛，則小艇航行方向?yàn)檎狈较�。設(shè)小艇與輪船在C處相遇。
則在Rt?OAC中，OC=20cos300=10- ,AC=30t,OC=vt.此時(shí)，輪船航行時(shí)間t= , 。即，小艇以30 海里/小時(shí)的速度航行時(shí)，相遇時(shí)小船的航行距離最小。
【跟蹤模擬訓(xùn)練】
一、選擇題（每小題6分，共36分）
1. 若函數(shù)f(x)=x3+x2-2x-2的一個(gè)正數(shù)零點(diǎn)附近的函數(shù)值用二分法計(jì)算，參考數(shù)據(jù)如下：
那么方程x3+x2-2x-2=0的一個(gè)近似根（精確度0.1)為( )
(A)1.25(B)1.375(C)1.437 5 (D)1.5
2．對于函數(shù)f(x)=x2+mx+n,若f(a)>0,f(b)>0,則函數(shù)f(x)在區(qū)間（a,b)內(nèi)( )
(A)一定有零點(diǎn)
(B)一定沒有零點(diǎn)
(C)可能有兩個(gè)零點(diǎn)
(D)至多有一個(gè)零點(diǎn)
3．如圖，A、B、C、D是某煤礦的四個(gè)采煤點(diǎn)，l為公路，圖中所示線段為道路，ABQP，BCRQ，CDSR近似于正方形，已知A，B，C，D四個(gè)采煤點(diǎn)每天的采煤量之比約為3∶2∶1∶5,運(yùn)煤的費(fèi)用與運(yùn)煤的路程、所運(yùn)煤的重量都成正比.現(xiàn)要從P，Q，R，S中選出一處設(shè)立一個(gè)運(yùn)煤中轉(zhuǎn)站，使四個(gè)采煤點(diǎn)的煤運(yùn)到中轉(zhuǎn)站的費(fèi)用最少，則地點(diǎn)應(yīng)選在( )
(A)P(B)Q(C)R(D)S
4． 已知函數(shù)
若方程f(x)=x+a有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
(A)（-∞，0］ (B)(-∞,1)
(C)［0,1］ (D)［0,+∞)
5．若x1滿足2x+2x=5,x2滿足2x+2log2(x-1)=5,則x1+x2=( )
（A） （B）3 （C） （D）4
6．已知甲、乙兩車由同一起點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，并沿同一路線（假定為直線）行駛.甲車、乙車的速度曲線分別為v甲和v乙（如圖所示）.那么對于圖中給定的t0和t1，下列判斷中一定正確的是( )
(A)在t1時(shí)刻，甲車在乙車前面
(B)t1時(shí)刻后，甲車在乙車后面
(C)在t0時(shí)刻，兩車的位置相同
(D)t0時(shí)刻后，乙車在甲車前面
二、填空題(每小題6分，共18分)
7.為緩解南方部分地區(qū)電力用煤緊張的局面，某運(yùn)輸公司提出五種運(yùn)輸方案，據(jù)預(yù)測，這五種方案均能在規(guī)定時(shí)間T完成預(yù)期的運(yùn)輸任務(wù)Q0，各種方案的運(yùn)煤總量Q與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系如下圖所示.在這五種方案中，運(yùn)煤效率（單位時(shí)間的運(yùn)煤量）逐步提高的是_________.（填寫所有正確的圖象的編號）
8.在用二分法求方程x3-2x-1=0的一個(gè)近似解時(shí)，已經(jīng)將一根鎖定在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則下一步可斷定該根所在的區(qū)間為______.
9.關(guān)于x的方程cos2x-sinx+a=0在(0, ］上有解，則a的取值范圍為_____.
三、解答題(10、11題每題15分，12題16分，共46分)
10.已知函數(shù)f(x)=4x+m?2x+1有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍，并求出零點(diǎn).
11.某電腦生產(chǎn)企業(yè)生產(chǎn)一品牌筆記本電腦的投入成本是4 500元/臺.當(dāng)筆記本電腦銷售價(jià)為6 000元/臺時(shí)，月銷售量為a臺;根據(jù)市場分析的結(jié)果表明，如果筆記本電腦的銷售價(jià)提高的百分率為x(0
（2）試確定筆記本電腦的銷售價(jià)，使得電腦企業(yè)的月利潤最大.
12.已知f(x)是二次函數(shù)，不等式f(x)<0的解集是(0,5),且f(x)在區(qū)間［-1,4］上的最大值是12.
（1）求f(x)的解析式；
（2）是否存在自然數(shù)m，使得方程f(x)+ =0在區(qū)間(m,m+1)內(nèi)有且只有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由.
參考答案
1．【解析】選C.根據(jù)題意知函數(shù)的零點(diǎn)在
1.406 25至1.437 5之間，
因?yàn)榇藭r(shí)1.437 5-1.406 25=0.031 25<0.1，故方程的一個(gè)近似根可以是1.437 5.
2．【解析】選C.由于f(a)>0,f(b)>0，且拋物線開口向上，所以可能有兩個(gè)零點(diǎn).
3．【解析】選C.設(shè)正方形邊長為a，采煤量比例系數(shù)為x，費(fèi)用比例系數(shù)為k,對于A，中轉(zhuǎn)站選在P點(diǎn)時(shí)，費(fèi)用y1=3kxa+4kxa+3kxa
+20kxa=30kxa;對于B，中轉(zhuǎn)站選在Q點(diǎn)時(shí)，費(fèi)用y2=6kxa+2kxa+
2kxa+15kxa=25kxa;對于C，中轉(zhuǎn)站選在R點(diǎn)時(shí)，費(fèi)用y3=9kxa+
4kxa+kxa+10kxa=24kxa;對于D，中轉(zhuǎn)站選在S點(diǎn)時(shí)，費(fèi)用
y4=12kxa+6kxa+2kxa+5kxa=25kxa.而24kxa<25kxa< 30kxa，故選C.
4．【解析】選B.在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)y=f(x)和y=x+a的圖象.由圖可知a<1.
5．【解析】選C.∵2x+2x=5?2x=5-2x,
2x+2log2(x-1)=5?2log2(x-1)=5-2x.
∴可抽象出三個(gè)函數(shù)y=2x,y=2log2(x-1),y=5-2x, 在同一坐標(biāo)系中分別作出它們的圖象（如圖所示）.
觀察知：
6．【解析】選A.由圖象可知，速度圖象與t軸圍成的面積表示汽車行駛的位移，在t0時(shí)刻，甲車的位移大于乙車的位移，故在t0時(shí)刻甲車應(yīng)在乙車的前面，且t0時(shí)刻兩車速度相同，故C、D不對，t1時(shí)刻甲車的位移大于乙車的位移，故A對.
7．【解析】由于要求運(yùn)煤效率逐步提高，因此反映到圖象上各點(diǎn)處的切線的斜率即導(dǎo)數(shù)應(yīng)逐漸增大，而只有②符合.
答案：②
8．【解析】令f(x)=x3-2x-1,
顯然f(1)＜0,f(2)＞0,
又
答案：( ,2)
9．【解析】原方程可化為a=sin2x+sinx-1，方程有解當(dāng)且僅當(dāng)a屬
于函數(shù)y=sin2x+sinx-1的值域時(shí)，而y=sin2x+sinx-1=(sinx+ )2- ,∵x∈(0, ]，∴sinx∈(0,1］.可求得值域?yàn)?-1,1］,即a的取值范圍是(-1,1］.
答案：(-1,1］
10．【解析】由題 知：方程4x+m?2x+1=0只有一個(gè)零點(diǎn).
令2x=t(t>0),
∴方程t2+m?t+1=0只有一個(gè)正根，
∴由圖象可知，
當(dāng)m=-2時(shí)t=1,∴x=0.
∴函數(shù)的零點(diǎn)為x=0.
11．【解析】（1）依題意，銷售價(jià)提高后為6 000(1+x)元/臺，月銷售量為a(1-x2)臺，
則y=a(1-x2)［6 000(1+x)-4 500］
即y=1 500a(-4x3-x2+4x+1)(0
令y′=0,得6x2+x-2=0,
解得，x=1/2,x=-2/3(舍去).
當(dāng)0
當(dāng)x=1/2時(shí)，y取得最大值。
此時(shí)銷售價(jià)為6000×（3/2）=9000元.
答：筆記本電腦的銷售價(jià)為9 000元時(shí)，電腦企業(yè)的 月利潤最大.
12．【解析】（1）∵f(x)是二次函數(shù)，且f(x)<0的解集是(0,5)，
∴可設(shè)f(x)=ax(x-5)(a>0)，
∴f(x)在區(qū)間［- 1,4］上的最大值是f(-1)=6a.
由已知，得6a=12，
∴a=2,∴f(x)=2x(x-5)=2x2-10x(x∈R).
【備課資源】
1. 定義域和值域均為［-4,4］的函數(shù)y=f(x)和y=g(x)的圖象如圖所示，下列命題正確的是( )
(A)方程f(g(x))=0有且僅有三個(gè)根
(B)方程g(f(x ))=0有且僅有三個(gè)根
(C)方程f(f(x))=0有且僅有兩個(gè)根
(D)方程g(g(x))=0有且僅有兩個(gè)根
【解析】選A.由于f(x)=0有3個(gè)根，且g(x)∈［-4,4］，則f(g(x))=0有且僅有三個(gè)根.
2. 已知a是使表達(dá)式2x+1>42-x成立的最小整數(shù)，則方程1-2x-1=ax-1實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為( )
(A)0(B)1(C)2(D)3
3.若方程2ax2-x-1=0在(0,1)內(nèi)恰有一解，則a∈_____.
【解析】令f(x)=2ax2-x-1,由題意 知：
f(0)?f(1)<0,∴(-1)?(2a-2)<0,∴a>1.
答案：(1,+∞)
6.設(shè) 為實(shí)數(shù)，已知函數(shù)
（1）當(dāng) =1時(shí)，求函數(shù) 的極值。
（2）若方程 =0有三個(gè)不等實(shí)數(shù)根，求 的取值范圍。
（2）因?yàn)閒′(x)=x2-2ax+(a2-1)=［x-(a-1)］［x-(a+1)］,所以方程f′(x)=0的兩根為a-1和a+1，
顯然，函數(shù)f(x)在x=a-1處取得極大值，在x=a+1處取得極小值.因?yàn)榉匠蘤(x)=0有三個(gè)不等實(shí)根，
解得-2
7.設(shè)函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上滿足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在閉區(qū)間［0,7］上，只有f(1)=f(3)=0.
(1)試判斷函數(shù)y=f(x)的奇偶性；
(2)試求方程f(x)=0在閉區(qū)間［-2 009, 2 009］上的根的 個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論.
【解析】(1)由已知得f(0)≠0，故f(x)不是奇函數(shù)，
又f(-1)=f(5)≠0,故y軸不是函數(shù)y=f(x)的對稱軸，即f(x)不是偶函數(shù).
綜上知，函數(shù)y=f(x)既不是奇 函數(shù)又不是偶函數(shù).
又f(3)=f(1)=0,
∴f(11)=f(13)=f(-7)=f(-9)=0.
故f(x)在［0,10］和［-10,0］上均有2個(gè)根，從而可知函數(shù)y=f(x)在［0,2 000］上有400個(gè)根，在［2 000,2 009］上有2個(gè)根，在［-2 000,0］上有400個(gè)根，在［-2 009,-2 000］上有2個(gè)根.
所以函數(shù)y=f(x)在［-2 009,2 009］上有804個(gè)根.
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