11.3 相互獨立事件同時發(fā)生的概率

●知識梳理
1.相互獨立事件：事件A是否發(fā)生對事件B發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個事件叫相互獨立事件.
2.獨立重復(fù)實驗：如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率為p，那么在n次獨立重復(fù)試驗中，這個事件恰好發(fā)生k次的概率為Pn（k）=C pk（1－p）n－k.
3.關(guān)于相互獨立事件也要抓住以下特征加以理解：
第一，相互獨立也是研究兩個事件的關(guān)系；
第二，所研究的兩個事件是在兩次試驗中得到的；
第三，兩個事件相互獨立是從“一個事件的發(fā)生對另一個事件的發(fā)生的概率沒有影響”來確定的.
4.互斥事件與相互獨立事件是有區(qū)別的：
兩事件互斥是指同一次試驗中兩事件不能同時發(fā)生，兩事件相互獨立是指不同試驗下，二者互不影響；兩個相互獨立事件不一定互斥，即可能同時發(fā)生，而互斥事件不可能同時發(fā)生.
5.事件A與B的積記作A?B，A?B表示這樣一個事件，即A與B同時發(fā)生.
當(dāng)A和B是相互獨立事件時，事件A?B滿足乘法公式P（A?B）=P（A）?P（B），還要弄清 ? ， 的區(qū)別. ? 表示事件 與 同時發(fā)生，因此它們的對立事件A與B同時不發(fā)生，也等價于A與B至少有一個發(fā)生的對立事件即 ，因此有 ? ≠ ，但 ? = .
●點擊雙基
1.甲、乙兩人獨立地解同一問題，甲解決這個問題的概率是p1，乙解決這個問題的概率是p2，那么恰好有1人解決這個問題的概率是
A.p1p2B.p1（1－p2）+p2（1－p1）
C.1－p1p2D.1－（1－p1）（1－p2）
解析：恰有一人解決就是甲解決乙沒有解決或甲沒有解決乙解決，故所求概率是p1（1－p2）+p2（1－p1）.
答案：B
2.將一枚硬幣連擲5次，如果出現(xiàn)k次正面的概率等于出現(xiàn)k+1次正面的概率，那么k的值為
A.0B.1C.2D.3
解析：由C （ ）k（ ）5－k=C （ ）k+1?（ ）5－k－1，
即C =C ，k+（k+1）=5，k=2.
答案：C
3.從應(yīng)屆高中生中選出飛行員，已知這批學(xué)生體型合格的概率為 ，視力合格的概率為 ，其他幾項標(biāo)準(zhǔn)合格的概率為 ，從中任選一學(xué)生，則該生三項均合格的概率為（假設(shè)三項標(biāo)準(zhǔn)互不影響）
A. B. C. D.
解析：P= × × = .
答案：C
4.一道數(shù)學(xué)競賽試題，甲生解出它的概率為 ，乙生解出它的概率為 ，丙生解出它的概率為 ，由甲、乙、丙三人獨立解答此題只有一人解出的概率為________.
解析：P= × × + × × + × × = .
答案：
5.一出租車司機從飯店到火車站途中有六個交通崗，假設(shè)他在各交通崗遇到紅燈這一事件是相互獨立的，并且概率都是 .那么這位司機遇到紅燈前，已經(jīng)通過了兩個交通崗的概率是________.
解析：因為這位司機在第一、二個交通崗未遇到紅燈，在第三個交通崗遇到紅燈，所以P=（1－ ）（1－ ）× = .
答案：
●典例剖析
【例1】某班有兩個課外活動小組，其中第一小組有足球票6張，排球票4張；第二小組有足球票4張，排球票6張.甲從第一小組的10張票中任抽1張，乙從第二小組的10張票中任抽1張.
（1）兩人都抽到足球票的概率是多少?
（2）兩人中至少有1人抽到足球票的概率是多少?
解：記“甲從第一小組的10張票中任抽1張，抽到足球票”為事件A，“乙從第二小組的10張票中任抽1張，抽到足球票”為事件B；記“甲從第一小組的10張票中任抽1張，抽到排球票”為事件 ，“乙從第二小組的10張票中任抽1張，抽到排球票”為事件 ，
于是P（A）= = ，P（ ）= ；
P（B）= = ，P（ ）= .
由于甲（或乙）是否抽到足球票，對乙（或甲）是否抽到足球票沒有影響，因此A與B是相互獨立事件.
（1）甲、乙兩人都抽到足球票就是事件A?B發(fā)生，根據(jù)相互獨立事件的概率乘法公式，得到P（A?B）=P（A）?P（B）= ? = .
答：兩人都抽到足球票的概率是 .
（2）甲、乙兩人均未抽到足球票（事件 ? 發(fā)生）的概率為
P（ ? ）=P（ ）?P（ ）= ? = .
∴兩人中至少有1人抽到足球票的概率為
P=1－P（ ? ）=1－ = .
答：兩人中至少有1人抽到足球票的概率是 .
【例2】 有外形相同的球分別裝在三個不同的盒子中，每個盒子中有10個球.其中第一個盒子中有7個球標(biāo)有字母A，3個球標(biāo)有字母B；第二個盒子中有紅球和白球各5個；第三個盒子中有紅球8個，白球2個.試驗按如下規(guī)則進行：先在第一個盒子中任取一個球，若取得標(biāo)有字母A的球，則在第二個盒子中任取一球；若第一次取得標(biāo)有字母B的球，則在第三個盒子中任取一球.如果第二次取得的球是紅球，則稱試驗成功，求試驗成功的概率.
解：設(shè)事件A：從第一個盒子中取得一個標(biāo)有字母A的球；事件B：從第一個盒子中取得一個標(biāo)有字母B的球，則A、B互斥，且P（A）= ，P（B）= ；事件C：從第二號盒子中取一個紅球，事件D：從第三號盒子中取一個紅球，則C、D互斥，且P（C）= ，P（D）= = .
顯然，事件A?C與事件B?D互斥，且事件A與C是相互獨立的，B與D也是相互獨立的.所以試驗成功的概率為P=P（A?C+B?D）=P（A?C）+P（B?D）=P（A）?P（C）+P（B）?P（D）= .
∴本次試驗成功的概率為 .
【例3】冰箱中放有甲、乙兩種飲料各5瓶，每次飲用時從中任意取1瓶甲種或乙種飲料，取用甲種或乙種飲料的概率相等.
（1）求甲種飲料飲用完畢而乙種飲料還剩下3瓶的概率；
（2）求甲種飲料被飲用瓶數(shù)比乙種飲料被飲用瓶數(shù)至少多4瓶的概率.
解：（1）由題意知，甲種已飲用5瓶，乙種已飲用2瓶.
記“飲用一次，飲用的是甲種飲料”為事件A，
則p=P（A）= .
題（1）即求7次獨立重復(fù)試驗中事件A發(fā)生5次的概率為P7（5）=C p5（1－p）2=C （ ）7= .
（2）有且僅有3種情形滿足要求：
甲被飲用5瓶，乙被飲用1瓶；甲被飲用5瓶，乙沒有被飲用；甲被飲用4瓶，乙沒有被飲用.
所求概率為P6（5）+P5（5）+P4（4）=C p5（1－p）+C p5+C p4= .
答：甲飲料飲用完畢而乙飲料還剩3瓶的概率為 ，甲飲料被飲用瓶數(shù)比乙飲料被飲用瓶數(shù)至少多4瓶的概率為 .
●闖關(guān)訓(xùn)練
夯實基礎(chǔ)
1.若A與B相互獨立，則下面不相互獨立事件有
A.A與 B.A與 C. 與B D. 與
解析：由定義知，易選A.
答案：A
2.在某段時間內(nèi)，甲地不下雨的概率為0.3，乙地不下雨的概率為0.4，假設(shè)在這段時間內(nèi)兩地是否下雨相互無影響，則這段時間內(nèi)兩地都下雨的概率是
A.0.12 B.0.88C.0.28 D.0.42
解析：P=（1－0.3）（1－0.4）=0.42.
答案：D
3.某學(xué)生參加一次選拔考試，有5道題，每題10分.已知他解題的正確率為 ，若40分為最低分?jǐn)?shù)線，則該生被選中的概率是________.
解析：該生被選中，他解對5題或4題.
∴P=（ ）5+C ×（ ）4×（1－ ）= .
答案：
4.某單位訂閱大眾日報的概率為0.6，訂閱齊魯晚報的概率為0.3，則至少訂閱其中一種報紙的概率為________.
解析：P=1－（1－0.6）（1－0.3）=0.72.
答案：0.72
培養(yǎng)能力
5.在未來3天中，某氣象臺預(yù)報每天天氣的準(zhǔn)確率為0.8，則在未來3天中，
（1）至少有2天預(yù)報準(zhǔn)確的概率是多少？
（2）至少有一個連續(xù)2天預(yù)報都準(zhǔn)確的概率是多少？
解：（1）至少有2天預(yù)報準(zhǔn)確的概率即為恰有2天和恰有3天預(yù)報準(zhǔn)確的概率，即
C ?0.82?0.2+C ?0.83=0.896.
∴至少有2天預(yù)報準(zhǔn)確的概率為0.896.
（2）至少有一個連續(xù)2天預(yù)報準(zhǔn)確，即為恰有一個連續(xù)2天預(yù)報準(zhǔn)確或3天預(yù)報準(zhǔn)確的概率為
2?0.82?0.2+0.83=0.768.
∴至少有一個連續(xù)2天預(yù)報準(zhǔn)確的概率為0.768.
6.（2004年南京模擬題）一個通訊小組有兩套設(shè)備，只要其中有一套設(shè)備能正常工作，就能進行通訊.每套設(shè)備由3個部件組成，只要其中有一個部件出故障，這套設(shè)備就不能正常工作.如果在某一時間段內(nèi)每個部件不出故障的概率為p，計算在這一時間段內(nèi)，
（1）恰有一套設(shè)備能正常工作的概率；
（2）能進行通訊的概率.
解：記“第一套通訊設(shè)備能正常工作”為事件A，“第二套通訊設(shè)備能正常工作”為事件B.
由題意知P（A）=p3，P（B）=p3，
P（ ）=1－p3，P（ ）=1－p3.
（1）恰有一套設(shè)備能正常工作的概率為P（A? + ?B）=P（A? ）+P（ ?B）
=p3（1－p3）+（1－p3）p3=2p3－2p6.
（2）方法一：兩套設(shè)備都能正常工作的概率為
P（A?B）=P（A）?P（B）=p6.
至少有一套設(shè)備能正常工作的概率，即能進行通訊的概率為
P（A? + ?B）+P（A?B）=2p3－2p6+p6=2p3－p6.
方法二：兩套設(shè)備都不能正常工作的概率為
P（ ? ）=P（ ）?P（ ）=（1－p3）2.
至少有一套設(shè)備能正常工作的概率，
即能進行通訊的概率為1－P（ ? ）=1－P（ ）?P（ ）=1－（1－p3）2=2p3－p6.
答：恰有一套設(shè)備能正常工作的概率為2p3－2p6，能進行通訊的概率為2p3－p6.
7.已知甲袋中有3個白球和4個黑球，乙袋中有5個白球和4個黑球.現(xiàn)從兩袋中各取兩個球，試求取得的4個球中有3個白球和1個黑球的概率.
解：從甲袋中取2個白球，從乙袋中取1個黑球和1個白球的概率為 × = ；
從甲袋中取1個黑球和1個白球，從乙袋中取2個白球的概率為 × = .
所以，取得的4個球中有3個白球和1個黑球的概率為 + = = .
探究創(chuàng)新
8.甲、乙、丙三臺機床各自獨立地加工同一種零件，已知甲機床加工的零件是一等品而乙機床加工的零件不是一等品的概率為 ，乙機床加工的零件是一等品而丙機床加工的零件不是一等品的概率為 ，甲、丙兩臺機床加工的零件都是一等品的概率為 .
（1）分別求甲、乙、丙三臺機床各自加工的零件是一等品的概率；
（2）從甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗，求至少有一個一等品的概率.
解：（1）設(shè)A、B、C分別為甲、乙、丙三臺機床各自加工的零件是一等品的事件，
由題設(shè)條件有
即
由①③得P（B）=1－ P（C），
代入②得27［P（C）］2－51P（C）+22=0.
解得P（C）= 或 （舍去）.
將P（C）= 分別代入③②可得P（A）= ，P（B）= ，
即甲、乙、丙三臺機床各自加工的零件是一等品的概率分別是 ， ， .
（2）記D為從甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗至少有一個一等品的事件，則
P（D）=1－P（ ）=1－［1－P（A）］［1－P（B）］［1－P（C）］=1－ ? ? = .
故從甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗，至少有一個一等品的概率為 .
●思悟小結(jié)
1.應(yīng)用公式時，要注意前提條件，只有對于相互獨立事件A與B來說，才能運用公式P（A?B）=P（A）?P（B）.
2.在學(xué)習(xí)過程中，要善于將較復(fù)雜的事件分解為互斥事件的和及獨立事件的積，或其對立事件.
3.善于將具體問題化為某事件在n次獨立重復(fù)試驗中發(fā)生k次的概率.
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點睛
1.首先要搞清事件間的關(guān)系（是否彼此互斥、是否互相獨立、是否對立），當(dāng)且僅當(dāng)事件A和事件B互相獨立時，才有P（A?B）=P（A）?P（B）.
2.A、B中至少有一個發(fā)生：A+B.
（1）若A、B互斥：P（A+B）=P（A）+P（B），否則不成立.
（2）若A、B相互獨立（不互斥）.
法一：P（A+B）=P（A?B）+P（A? ）+P（ ?B）；
法二：P（A+B）=1－P（ ? ）；
法三：P（A+B）=P（A）+P（B）－P（AB）.
3.某些事件若含有較多的互斥事件，可考慮其對立事件的概率，這樣可減少運算量，提高正確率.要注意“至多”“至少”等題型的轉(zhuǎn)化，如例1.
4.n次獨立重復(fù)試驗中某事件發(fā)生k次的概率Pn（k）=C pk（1－p）n－k正好是二項式［（1－p）+p］n的展開式的第k+1項.
拓展題例
【例1】 把n個不同的球隨機地放入編號為1，2，…，m的m個盒子內(nèi)，求1號盒恰有r個球的概率.
解法一：用獨立重復(fù)試驗的概率公式.把1個球放入m個不同的盒子內(nèi)看成一次獨立試驗，其中放入1號盒的概率為P= .這樣n個球放入m個不同的盒子內(nèi)相當(dāng)于做n次獨立重復(fù)試驗.由獨立重復(fù)試驗中事件A恰好發(fā)生k次的概率公式知，1號盒恰有r個球的概率
Pn（r）=C pr（1－p）n－r=C ?（ ）r?（1－ ）n－r= .
解法二：用古典概型.把n個不同的球任意放入m個不同的盒子內(nèi)共有mn個等可能的結(jié)果.其中1號盒內(nèi)恰有r個球的結(jié)果數(shù)為C （m－1）n－r，故所求概率P（A）= .
答：1號盒恰有r個球的概率為 .
【例2】 假設(shè)每一架飛機引擎在飛行中故障率為1－P，且各引擎是否故障是獨立的，如果至少50%的引擎能正常運行，飛機就可以成功地飛行，問對于多大的P而言，4引擎飛機比2引擎的飛機更為安全？
分析：4引擎飛機可以看作4次獨立重復(fù)試驗，要能正常運行，即求發(fā)生k次（k≥2）的概率.同理，2引擎飛機正常運行的概率即是2次獨立重復(fù)試驗中發(fā)生k次（k≥1）的概率，由此建立不等式求解.
解：4引擎飛機成功飛行的概率為
C P2（1－P）2+C P3（1－P）+C P4=6P2（1－P）2+4P3（1－P）+P4.
2引擎飛機成功飛行的概率為C P（1－P）+C P2=2P（1－P）+P2.
要使4引擎飛機比2引擎飛機安全，只要6P2（1－P）2+4P3（1－P）+P4≥2P（1－P）+P2.
化簡，分解因式得（P－1）2（3P－2）≥0.
所以3P－2≥0，
即得P≥ .

本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/gaosan/59569.html

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