專(zhuān)題四 三角函數(shù)
【重點(diǎn)知識(shí)回顧】
三角函數(shù)是傳統(tǒng)知識(shí)內(nèi)容中變化最大的一部分，新教材處理這一部分內(nèi)容時(shí)有明顯的降調(diào)傾向，突出正、余弦函數(shù)的主體地位，加強(qiáng)了對(duì)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的考查，因此三角函數(shù)的性質(zhì)是本章復(fù)習(xí)的重點(diǎn)。第一輪復(fù)習(xí)的重點(diǎn)應(yīng)放在課本知識(shí)的重現(xiàn)上，要注重抓基本知識(shí)點(diǎn)的落實(shí)、基本方法的再認(rèn)識(shí)和基本技能的掌握，力求系統(tǒng)化、條理化和網(wǎng)絡(luò)化，使之形成比較完整的知識(shí)體系；第二、三輪復(fù)習(xí)以基本綜合檢測(cè)題為載體，綜合試題在形式上要貼近高考試題，但不能上難度。當(dāng)然，這一部分知識(shí)最可能出現(xiàn)的是“結(jié)合實(shí)際，利用少許的三角變換（尤其是余弦的倍角公式和特殊情形下公式的應(yīng)用）來(lái)考查三角函數(shù)性質(zhì)”的命題，因此，建議三角函數(shù)的復(fù)習(xí)應(yīng)控制在課本知識(shí)的范圍和難度上，這樣就能夠適應(yīng)未來(lái)高考命題趨勢(shì)�？傊�，三角函數(shù)的復(fù)習(xí)應(yīng)立足基礎(chǔ)、加強(qiáng)訓(xùn)練、綜合應(yīng)用、提高能力
方法技巧：
1.八大基本關(guān)系依據(jù)它們的結(jié)構(gòu)分為倒數(shù)關(guān)系、商數(shù)關(guān)系、平方關(guān)系，用三角函數(shù)的定義反復(fù)證明強(qiáng)化記憶，這是最有效的記憶方法。誘導(dǎo)公式用角度制和弧度制表示都成立，記憶方法可概括為“奇變偶不變，符號(hào)看象限”，變與不變是相對(duì)于對(duì)偶關(guān)系的函數(shù)而言的
2.三角函數(shù)值的符號(hào)在求角的三角函數(shù)值和三角恒等變換中，顯得十分重要，根據(jù)三角函數(shù)的，可簡(jiǎn)記為“一全正，二正弦，三兩切，四余弦”，其含義是：在第一象限各三角函數(shù)值皆為正；在第二象限正弦值為正；在第三象限正余切值為正；在第四象限余弦值為正
3.在利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡(jiǎn)、求值和證明恒等關(guān)系時(shí)，要注意用是否“同角”來(lái)區(qū)分和選用公式，注意切化弦、“1”的妙用、方程思想等數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用，在利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行三角式的化簡(jiǎn)、求值時(shí)，要注意正負(fù)號(hào)的選取
4.求三角函數(shù)值域的常用方法：
求三角函數(shù)值域除了判別式、重要不等式、單調(diào)性等方法之外，結(jié)合三角函數(shù)的特點(diǎn)，還有如下方法：
（1）將所給三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，通過(guò)配方法求值域；
（2）利用 的有界性求值域；
（3）換元法，利用換元法求三角函數(shù)的值域，要注意前后的等價(jià)性，不能只注意換元，不注意等價(jià)性
5. 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)
（一）列表綜合三個(gè)三角函數(shù) ， ， 的圖象與性質(zhì)，并挖掘：
⑴最值的情況；
⑵了解周期函數(shù)和最小正周期的意義．會(huì)求 的周期，或者經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的恒等變形可化為上述函數(shù)的三角函數(shù)的周期，了解加了絕對(duì)值后的周期情況；
⑶會(huì)從圖象歸納對(duì)稱(chēng)軸和對(duì)稱(chēng)中心；
的對(duì)稱(chēng)軸是 ，對(duì)稱(chēng)中心是 ；
的對(duì)稱(chēng)軸是 ，對(duì)稱(chēng)中心是
的對(duì)稱(chēng)中心是
注意加了絕對(duì)值后的情況變化.
⑷寫(xiě)單調(diào)區(qū)間注意 .
（二）了解正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象的畫(huà)法，會(huì)用“五點(diǎn)法”畫(huà)正弦、余弦函數(shù)和函數(shù) 的簡(jiǎn)圖，并能由圖象寫(xiě)出解析式．
⑴“五點(diǎn)法”作圖的列表方式；
⑵求解析式 時(shí)處相 的確定方法：代（最高、低）點(diǎn)法、公式 .
（三）正弦型函數(shù) 的圖象變換方法如下：
先平移后伸縮
的圖象
得 的圖象
得 的圖象
得 的圖象
得 的圖象．
先伸縮后平移
的圖象
得 的圖象
得 的圖象
得 的圖象 得 的圖象．
【典型例題】
例1.已知 ，求（1） ；（2） 的值.
解：（1） ；
(2)
.
說(shuō)明：利用齊次式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)（如果不具備，通過(guò)構(gòu)造的辦法得到），進(jìn)行弦、切互化，就會(huì)使解題過(guò)程簡(jiǎn)化
例2.已知向量
，且 ，
(1)求函數(shù) 的表達(dá)式；
(2)若 ，求 的最大值與最小值
解：(1) ， ， ，又 ，
所以 ，
所以 ，即 ；
(2)由(1)可得，令 導(dǎo)數(shù) ，解得 ，列表如下：
t－1(－1，1)1(1，3)
導(dǎo)數(shù)0－0+
極大值遞減極小值遞增
而 所以
說(shuō)明：本題將三角函數(shù)與平面向量、導(dǎo)數(shù)等綜合考察，體現(xiàn)了知識(shí)之間的融會(huì)貫通。
例3. 平面直角坐標(biāo)系有點(diǎn)
（1）求向量 和 的夾角 的余弦用 表示的函數(shù) ；
（2）求 的最值.
解：（1） ，
即
（2） ， 又 ，
， ， .
說(shuō)明：三角函數(shù)與向量之間的聯(lián)系很緊密，解題時(shí)要時(shí)刻注意
例4. 設(shè) q Î[0, ], 且 cos2q+2msinq-2m-2<0 恒成立, 求 m 的取值范圍.
解法 1 由已知 0≤sinq≤1 且 1-sin2q+2msinq-2m-2<0 恒成立.
令 t=sinq, 則 0≤t≤1 且 1-t2+2mt-2m-2<0 恒成立.
即 f(t)=t2-2mt+2m+1=(t-m)2-m2+2m+1>0 對(duì) tÎ[0, 1] 恒成立.
故可討論如下:
(1)若 m<0, 則 f(0)>0. 即 2m+1>0. 解得 m> , ∴
綜上所述 m> . 即 m 的取值范圍是 ( , +∞).
解法 2 題中不等式即為 2(1-sinq)m>-1-sin2q.∵qÎ[0, ], ∴0≤sinq≤1.
當(dāng) sinq=1 時(shí), 不等式顯然恒成立, 此時(shí) mÎR;
當(dāng) 0≤sinq<1 時(shí), 恒成立.
令 t=1-sinq, 則 tÎ(0, 1], 且 恒成立.
易證 g(t)=1- 在 (0, 1] 上單調(diào)遞增, 有最大值 - ,
∴m> . 即 m 的取值范圍是 ( , +∞).
說(shuō)明：三角函數(shù)與不等式綜合，注意“恒成立”問(wèn)題的解決方式
【模擬演練】
一、選擇
1．點(diǎn) 位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．函數(shù) 在區(qū)間( ， )內(nèi)的圖象大致是（ ）
A． B． C． D．
6．已知∠A．∠B．∠C為三角形的三個(gè)內(nèi)角，且 ，則△ABC是（ �。�
A．等邊三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．無(wú)法確定
7．關(guān)于函數(shù) 的圖象，有以下四個(gè)說(shuō)法：
①關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱(chēng)；②關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱(chēng)；
③關(guān)于直線 對(duì)稱(chēng)；④關(guān)于直線 對(duì)稱(chēng)
則正確的是（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
9.如圖，某走私船在航行中被我軍發(fā)現(xiàn)，我海軍艦艇在 處獲悉后，測(cè)出該走私船在方位角為 ，距離為 的 處，并測(cè)得走私船正沿方位角為 的方向，以 的速度向小島靠攏，我海軍艦艇立即以 的速度沿直線方向前去追擊.艦艇并在B處靠近走私船所需的時(shí)間為 （ ）
A．20 B． C．30 D．50
11．在 中， 分別為三個(gè)內(nèi)角 的對(duì)邊，設(shè)向量 ，若向量 ，則 的值為（ ）
A． B． C． D．
二、填空
13．已知向量 且 ，則與 方向相反的單位向量的坐標(biāo)為_(kāi)________。
原專(zhuān)題三的平面向量與三角函數(shù)的第15題
16．已知函數(shù) （ ， ， ）的一段圖象如圖所示，則這個(gè)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 。
18．（12分）已知 ，
（1）求 的最大值和最小值；
（2）若不等式 在 上恒成立，求m的取值范圍。
19．（12分）已知向量 ，且 分別為 的三邊 所對(duì)的角。
（1）求角C的大��；
（2）若 成等差數(shù)列，且 ，求c的邊長(zhǎng)。
21．（12）已知：向量 ， ，函數(shù)
（1）若 且 ，求 的值；
（2）求函數(shù) 的單調(diào)增區(qū)間以及函數(shù)取得最大值時(shí)，向量 與 的夾角．
專(zhuān)題訓(xùn)練答案
1．D 解析： ，易知 角終邊在第三象限，從而有 為正， 為負(fù)，所以點(diǎn) 位于第四象限。
2．A．解：y＝ ，所以，選A．。
6．B．解：因?yàn)?，所以
即： ，有
即 ＝ ，即
則 ，又因?yàn)?為三角形的內(nèi)角，則 ，所以為等腰三角形。
7．B．解：當(dāng) 時(shí)， ＝1，當(dāng)x＝ 時(shí)， ＝0，所以，②③正確。
9．B 解：設(shè)艦艇收到信號(hào)后 在 處靠攏走私船，則 ， ，又 nmile， .
由余弦定理，得
，
即
.
化簡(jiǎn)，得
，
解得 （負(fù)值舍去）.
答案：B
11．B 解析：由 ，得 ，又 ，所以 ，所以 。
13. 解：因?yàn)?，所以 ，解得： ，所以 ，所以 ，所以與 方向相反的單位向量的坐標(biāo)為 。
16． 解：由圖象可知： ；A＝ ＝3。所以，y＝3sin（2x＋ ），
將 代入上式，得： ＝1， ＝2k ＋ ，即 ＝2k ＋ ，
由｜ ｜＜ ，可得： 所以，所求函數(shù)解析式為： 。
∵當(dāng) 時(shí)， 單調(diào)遞增
∴
18．解：（1）
。 4分
所以當(dāng) =1時(shí) 。
所以當(dāng) =-1時(shí) 。 6分
（2） 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
只需 ， 。 8分
令 ， ，
。
所以當(dāng) 時(shí)， 有最小值 ， ，
故 。 12分
19．解：（1） ，
，
。 2分
又 ， ，
。 4分
， 。 6分
（2） 成等差數(shù)列， 。
。 8分
又 ， 。
， 。 10分
， ，
， 。 12分
21.解：∵ ＝ 。 2分
（1）由 得 即 ，
∵ ∴ 或
∴ 或 。 4分
（2）∵
＝
。 8分
由 得 ，
∴ 的單調(diào)增區(qū)間 . 10分
由上可得 ，當(dāng) 時(shí)，由 得
， ， ∴ 。 12分
本文來(lái)自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/gaosan/60042.html
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